1、1.2.1平面的基本性质与推论,象这些桌面、平静的湖面、镜面、黑板面等都给我们以_的印象,一.平面的概念：,光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉的.,二.平面的特征：,平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延展的。,数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果,就是处处平直的面。,平面,复习,A,D,C,B,平面,、平面ABCD,三.平面的表示方法,几何画法：通常用平行四边形来表示平面,符号表示：通常用希腊字母 等来表示，如：平面 也可用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如：平面AC,、平面AC,（1）水平放置的平面：,（2）垂直放置的平面：,一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放
2、置的平面的直观图,（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。,【例1】已知命题：10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚；有一个平面的长是50m，宽是20m；黑板面是平面；平面是绝对的平，没有大小、没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确的的命题是_.,我们把空间看作点的集合，也就是说，点是空间的基本元素，直线和平面都是空间的子集，直线是它所在平面的子集。于是，我们可以用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。,新知讲解,四.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：,点A在直线a上：,记为：Aa,点B不在直线a上：,点A在平面
3、内：,记为：A,点B不在平面上：,(1)点与直线的位置关系：,(2)点与平面的位置关系：,(3)直线与平面的位置关系：,直线a上的所有点都在平面上，称直线a在平面内，或称平面通过直线a.记为：,直线a与平面只有一个公共点A时，称直线a与平面相交。 记为：aA,如果把桌面看作一个平面，把笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上？,思考：,公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。,观察上面问题，你能得到什么结论？,五.平面的基本性质,公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点
4、都在这个平面内（即直线在平面内）。,文字语言：,图形语言：,符号语言：,一 是可以用来判定一条直线是否在平面内，即要判定直线在平面内，只需确定直线上两个点在平面内即可；,二 是可以用来判定点在平面内，即如果直线在平面内、点在直线上，则点在平面内.,三 是表明平面是“平的”,公理1的作用有三：,公理2.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。,观察下列问题，你能得到什么结论？,天花板,墙面,墙面,文字语言：,图形语言：,符号语言：,公理2.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。,如果两个
5、平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线。,一 是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面相交；,二 是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公共点，那么这点就在这两个平面的交线上.,公理2的作用有二：,三.两平面两个公共点的连线就是它们的交线,O,【例2】在长方体ABCDA1B1C1D1中，画出平面A1C1D与平面B1D1D的交线.,D,A,B,C,E,【例3】如图画出平面 与平面ADE的交线 画出DE与平面 的交点,P,A,变式：如图，已知ABC三边所在的直线分别交平面 于点P、Q、R，求证：P、Q、R三点在同一直线上。,证明：,（公理2）
6、,同理可证：,要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相交平面内，则落在它们的交线上.,A,用手指头将一本书平衡地摆方在空间某一位置，至少需要几个手指头？,思考：,手指的位置需要满足什么条件？,公理3.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,文字语言：,图形语言：,符号语言：,公理3.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,或记为平面ABC,公理3是确定平面的依据;,判定点或线的共面,推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。,数学语言表示:,已知：点A,求证：过点A和直线a有且只有一个平面.,过不共线的三点A,B,C有一个平面,（公理3）,B,，C,a,（公理1）,过点A和
7、直线a有一个平面,证明:,（存在性）,（唯一性）,推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面., 在a上任取两点B、C，,又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面,只有一个,经过a和点A的平面只有一个.,B,C,推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。,数学语言表示:,推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。,数学语言表示:,思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？ 思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面?,【例4】如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由
8、.,共面, A、B、C三点不在一条直线上,证明：,过A、B、C三点可以确定平面,(公理3),AB,(公理1), AC,AB、AC、BC共面,1.已知下列四个说法：,很平的桌面是一个平面 平面ABCD的面积为10cm2 平面是矩形或平行四边形 空间图形中，后引的辅助线是虚线其中正确的命题有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,练习,（）,（）,（）,（）,练3.直线l 与过点P的三条直线a1 , a2 , a3 分别交于 A，B，C三点（A，B，C异于点P），求证：这四条直线共面。,6.如图找平面BA 1C 1与平面B 1AC的交线,7.P、Q分别是正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱
9、AA1、CC1上的点，画出过B、P、Q三点的截面,C1,D1,Q,想一想:,两个平面能将空间分成几部分?,3 或 4,三个平面能将空间分成几部分?,6,7,8,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）,1、异面直线,判断：,(1)图中直线m和l是异面直线吗?,(2) ,则a与b是异面直线吗？,(3) a,b不同在平面内,则a与b是异面吗？,异面直线的画法:,通常用一个或两个平面来衬托, 异面直线不同在任何一个平面的特点.,(1)相交,(2)平行,只有一个公共点,没有公共点,在同一平面,2、空间中两直线的三种位置关系,(3)异面直线,没有公共点,不同在任一平面,一个正方体的展开图如上，则AB,CD, EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对?相交直线有几对?平行直线有几对?,再 见,证法2：,过点A和直线BC确定平面,AB、AC、BC共面,证法3：,ABAC=A,直线AB、AC确定一个平面,BAB ,CAC,BC,(推论2),(公理1),即它们共面,4根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形,点A在直线l上,点A在直线l外,点A在平面 内,点A在平面 外,直线l在平面 外,直线l在平面 内,填空,
