1、2015-2016 学年安徽省皖北片高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若命题“x 0R 使得 x02+mx0+2m+50”为假命题，则实数 m 的取值范围是( )A10，6 B （ 6，2 C2，10 D （2，10）2若不等式 ax2+bx+20 的解集为 x|x ，或 x ，则 的值为( )A B C D3已知 p：x k，q： 1，如果 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 k 的取值范围是( )A2，+ ） B （2，+ ） C1，+） D （，1）4已知偶函数 f（x）
2、对于任意 xR 都有 f（x+1）=f（x） ，且 f（x）在区间0，2上是递增的，则 f（ 6.5） ，f（1） ，f （0）的大小关系是( )Af（0）f （ 6.5）f（1） Bf（6.5）f（0）f（1） Cf（1）f（6.5）f（0） Df（1）f（0）f（6.5）5已知函数 f（x）= ，则 y=f（x）的图象大致为( )A B C D6设函数 f（x）= ，则满足 f（f（a） ）=2 f（a） 的 a 的取值范围是( )A ，1 B0，1 C ，+） D1 ，+ ）7设 a（0a1）是给定的常数，f（x）是 R 上的奇函数，且在（0，+）上是增函数，若 ，f（log at）0，
3、则 t 的取值范围是( )A B C D8已知函数 f（x）= x2+2ax+1a 在区间0，1 上的最大值为 2，则 a 的值为( )A2 B1 或3 C2 或 3 D1 或 29已知函数 f（x）=2 x1，g（x）=1x 2，构造函数 F（x）定义如下：当|f（x）|g（x）时，F（x）=|f（x）|，当|f（x）| g（x）时，F （x）= g（x） ，那么 F（x）( )A有最小值 0，无最大值 B有最小值 1，无最大值C有最大值 1，无最小值 D无最小值，也无最大值10设 f（x）= 若 f（x）=x+a 有且仅有三个解，则实数 a 的取值范围是( )A1，2 B （ ，2） C1
4、，+） D （，1）11在平面直角坐标系中，若两点 P，Q 满足条件：P，Q 都在函数 y=f（x）的图象上；P，Q 两点关于直线 y=x 对称，则称点对 P，Q 是函数 y=f（x）的一对“ 和谐点对”（注：点对P ，Q与Q，P看作同一对“和谐点对” ）已知函数 f（x）= ，则此函数的“和谐点对”有( )A0 对 B1 对 C2 对 D3 对12已知实数 x，y 分别满足：（x3） 3+2016（x3）=a ， （2y3） 3+2016（2y 3）=a，则x2+4y2+4x 的最小值是( )A0 B26 C28 D30二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案填写
5、在答题卷的横线上13已知幂函数 f（x）=k x的图象过点（ ， ） ，则 k+=_14计算：（log 52016） 0（2 ） +lg +|lg31|=_15已知函数 f（x）=x 22x，g（x）=ax+2（a0） ，若x 11，2，x 21，2，使得f（x 1）=g （x 2） ，则实数 a 的取值范围是 _16已知函数 f（x）= ，若存在实数 a，b，c，d，满足 f（a）=f（b）=f（c）=f（d） ，其中 dcba 0，则 abcd 的取值范围是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设函数 f（x）=|x 24x5|（）作出函
6、数 f（x）的图象；（）设集合 A=x|f（x） 5，B=（ ，20，46，+） 试判断集合 A 和 B 之间的关系，并给出证明18已知函数 f（x）=x 22ax+5（a1） （1）若 f（x）的定义域和值域均是 1，a，求实数 a 的值；（2）若对任意的 x1，x 21，a+1，总有|f（x 1）f（x 2）|4，求实数 a 的取值范围19某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C（x） ，当年产量不足 80 千件时，C（ x）= （万元） 当年产量不小于 80 千件时，C（x）=51x+ （万元） 每件商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产
7、的商品能全部售完（）写出年利润 L（x） （万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式；（）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20已知函数 f（x）= 是奇函数：（1）求实数 a 和 b 的值；（2）判断函数 y=f（x）在区间（1，+）上的单调性；（3）已知 k0 且不等式 f（ t22t+3）+f（k1）0 对任意的 tR 恒成立，求实数 k 的取值范围21已知集合 M 是满足下列性质的函数 f（x）的全体：在定义域内存在 x0，使得f（x 0+1）=f （ x0）+f（1）成立（1）函数 是否属于集合 M？说明理由；（2）设函数 ，求 a 的取值范围；（3）设函数 y
8、=2x 图象与函数 y=x 的图象有交点，证明：函数 f（x）=2 x+x2M22已知函数 f（x）=lnx ax22x（a0） （）若函数 f（x）在定义域内单调递增，求实数 a 的取值范围；（）若 a= ，且关于 x 的方程 f（x）= x+b 在1，4 上恰有两个不等的实根，求实数 b的取值范围；（）设各项为正数的数列a n满足 a1=1，a n+1=lnan+an+2（nN） ，求证：a n2n12015-2016 学年安徽省皖北片高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若命题
9、“x 0R 使得 x02+mx0+2m+50”为假命题，则实数 m 的取值范围是( )A10，6 B （ 6，2 C2，10 D （2，10）【考点】特称命题 【专题】简易逻辑【分析】首先，求解该命题的否定成立时实数 m 的取值范围，从而得到所求实数 m 的取值范围【解答】解：命题“x 0R，x 02+mx0+2m+50”，它的否定为xR，x 02+mx0+2m+50，是真命题，此时满足：0，m28m200，2m10，命题：xR，x 02+mx0+2m+50，成立时，实数 m 的取值范围为 2，10，m2，10，故选：C【点评】本题采用“正难则反”的思想进行求解，注意保持命题的等价性和转化思想
10、的灵活运用，属于中档题2若不等式 ax2+bx+20 的解集为 x|x ，或 x ，则 的值为( )A B C D【考点】一元二次不等式的解法；基本不等式 【专题】不等式的解法及应用【分析】根据已知不等式的解集得到方程 ax2+bx+2=0 的两根为 与 ，利用韦达定理求出，将所求式子变形后代入计算即可求出值【解答】解：由题意得：方程 ax2+bx+2=0 的两根为 与 ， = + = ，则 =1 =1 = 故选 A【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，其中根据题意得出方程 ax2+bx+2=0 的两根为 与 是解本题的关键3已知 p：x k，q： 1，如果 p 是 q 的充分不必要条件，则
11、实数 k 的取值范围是( )A2，+ ） B （2，+ ） C1，+） D （，1）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】求出不等式 q 的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解： 1， 1= 0，即（x2） （x+1）0，x 2 或 x 1，p 是 q 的充分不必要条件，k 2，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础4已知偶函数 f（x）对于任意 xR 都有 f（x+1）=f（x） ，且 f（x）在区间0，2上是递增的，则 f（ 6.5） ，f（1） ，f （0）的大小关系是(
12、)Af（0）f （ 6.5）f（1） Bf（6.5）f（0）f（1） Cf（1）f（6.5）f（0） Df（1）f（0）f（6.5）【考点】函数单调性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数单调性和周期性的性质进行比较即可【解答】解：由 f（x+1 ）= f（x） ，得 f（x+2）= f（x+1）=f（x） ，则函数的周期是 2，函数 f（x）为偶函数，f（ 6.5）=f（ 0.5）=f（0.5） ，f（ 1）=f （1） ，f（ x）在区间0，2上是递增的，f（ 0）f（0.5）f（1） ，即 f（0）f （6.5）f（1） ，故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件
13、判断函数的周期性，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键5已知函数 f（x）= ，则 y=f（x）的图象大致为( )A B C D【考点】对数函数图象与性质的综合应用；对数函数的图像与性质 【专题】计算题【分析】考虑函数 f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除 A，C ，由 f（x）的定义域能排除 D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则 g（x）=g（ x）在（ 1，0）上为增函数，在（0，+）上为减函数g（ x） g（0）=0f（ x）= 0得：x0 或1 x0 均有 f（x）0 排除 A，C ，又 f（x）= 中， ，能排除 D故选 B【点评】本题主要考查了函数解析式
14、与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题6设函数 f（x）= ，则满足 f（f（a） ）=2 f（a） 的 a 的取值范围是( )A ，1 B0，1 C ，+） D1 ，+ ）【考点】分段函数的应用 【专题】创新题型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】令 f（a）=t ，则 f（t）=2 t，讨论 t1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论 t1 时，以及 a1，a 1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围【解答】解：令 f（a）=t ，则 f（t）=2 t，当 t1 时，3t1=2 t，由 g（t）=3t12 t 的导数为 g（t）
15、=3 2tln2，在 t1 时，g（t）0，g（t ）在（，1）递增，即有 g（t）g（1）=0，则方程 3t1=2t 无解；当 t1 时，2 t=2t 成立，由 f（a） 1，即 3a11，解得 a ，且 a1；或 a1，2 a1 解得 a0，即为 a1综上可得 a 的范围是 a 故选 C【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键7设 a（0a1）是给定的常数，f（x）是 R 上的奇函数，且在（0，+）上是增函数，若 ，f（log at）0，则 t 的取值范围是( )A B C D【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合 【专
16、题】计算题【分析】由 f（x）是 R 上的奇函数，且在（0，+）上是增函数，可知函数在（，0）上单调递增，且有 f（ ）= ，则 f（log at） 0 转化为 logat 或 log at0，再利用底数小于 1 的对数函数是减函数即可求 t 的取值范【解答】解：f（x）是 R 上的奇函数，且在（0，+）上是增函数，在（ ，0）上是减函数，又 f（ ）=0，可得 f（ ）=f（ ）=0，f（ x）在（ ，0）和（ ，+）上函数值为正f（ logat）0 转化为 logat 或 log at0，又 0 a1logat =logaa ，可得 0 a ， logat0，1a ，故选 D【点评】本题考
17、查了奇函数的单调性的性质：对称区间上的单调性相同的应用，指数函数的单调性的应用，解题的关键是根据已知 得到 f（x）在（ ，0）和（ ，+）上函数值为正8已知函数 f（x）= x2+2ax+1a 在区间0，1 上的最大值为 2，则 a 的值为( )A2 B1 或3 C2 或 3 D1 或 2【考点】二次函数在闭区间上的最值 【专题】函数的性质及应用【分析】利用二次项系数为1，函数 f（x）=x 2+2ax+1a 的图象的开口方向是向下，对称轴为 x=a，因此需要按对称轴与区间的关系进行分类讨论【解答】解：函数 f（x）= x2+2ax+1a 的对称轴为 x=a，图象开口向下，当 a0 时，函数
18、 f（x）= x2+2ax+1a 在区间0，1 是减函数，fmax（x）=f（0）=1 a，由 1a=2，得 a=1，当 0a1 时，函数 f（x）= x2+2ax+1a 在区间0，a是增函数，在 a，1上是减函数，fmax（x）=f（a ）= a2+2a2+1a=a2a+1，由 a2a+1=2，解得 a= 或 a= ，0 a1， 两个值都不满足；当 a1 时，函数 f（x） =x2+2ax+1a 在区间0 ，1是增函数，fmax（ x）=f （1）= 1+2a+1a=a，a=2综上可知，a=1 或 a=2故选：D【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查了数形结合、分类讨论的数学思想
19、也可以利用回代验证法判断选项9已知函数 f（x）=2 x1，g（x）=1x 2，构造函数 F（x）定义如下：当|f（x）|g（x）时，F（x）=|f（x）|，当|f（x）| g（x）时，F （x）= g（x） ，那么 F（x）( )A有最小值 0，无最大值 B有最小值 1，无最大值C有最大值 1，无最小值 D无最小值，也无最大值【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 【分析】在同一坐标系中先画出 f（x）与 g（x）的图象，然后根据定义画出 F（x） ，就容易看出 F（x）无最大值，有最小值1【解答】解：在同一坐标系中先画出 f（x）与 g（x）的图象，然后根据定义画出 F（x） ，就容易
20、看出 F（x）无最大值，有最小值1故选 B【点评】此题考查阅读能力和函数图象的画法，必须弄懂 F（x）是什么先画出|f（x）|及 g（x）与g（ x）的图象再比较 |f（x）| 与 g（x）的大小，然后确定 F（x）的图象这是一道创新性较强的试题10设 f（x）= 若 f（x）=x+a 有且仅有三个解，则实数 a 的取值范围是( )A1，2 B （ ，2） C1，+） D （，1）【考点】函数的零点与方程根的关系 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】要求满足条件关于 x 的方程 f（x）xa=0 有三个实根时，实数 a 的取值范围，我们可以转化求函数 y=f（x）与函数 y=x+a 的图象
21、有三个交点时实数 a 的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察法可得出 a 的取值范围【解答】解：函数 f（x）= ，若的图象如图所示， （当 x0 时，函数的图象呈现周期性变化）由图可知：（1）当 a3 时，两个图象有且只有一个公共点；（2）当 2a3 时，两个图象有两个公共点；（3）当 a2 时，两个图象有三个公共点；即当 a2 时，f （x）=x+a 有三个实解故选 B【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，根据方程的根即为对应函数零点，将本题转化为求函数零点个数，进而利用图象法进行解答是解答本题的关键11在平面直角坐标系中，若两点 P，Q 满足条件：P，Q 都在函数 y
22、=f（x）的图象上；P，Q 两点关于直线 y=x 对称，则称点对 P，Q 是函数 y=f（x）的一对“ 和谐点对”（注：点对P ，Q与Q，P看作同一对“和谐点对” ）已知函数 f（x）= ，则此函数的“和谐点对”有( )A0 对 B1 对 C2 对 D3 对【考点】进行简单的合情推理；奇偶函数图象的对称性；反函数 【专题】新定义【分析】作出 f（x）=log 2x（x0）关于直线 y=x 对称的图象 C，判断 C 与函数 f（x）=x2+3x+2（x0）的图象交点个数，可得答案【解答】解：作出函数 f（x）的图象，然后作出 f（x）=log 2x（x0）关于直线 y=x 对称的图象 C，如下图
23、所示：由 C 与函数 f（x）=x 2+3x+2（x0）的图象有 2 个不同交点，所以函数的 “和谐点对”有 2对故选 C【点评】本题考查的知识点是函数零点个数及判断，数形结合思想是解答本题的关键，而解答的核心在于将问题转化为函数图象的交点个数问题12已知实数 x，y 分别满足：（x3） 3+2016（x3）=a ， （2y3） 3+2016（2y 3）=a，则x2+4y2+4x 的最小值是( )A0 B26 C28 D30【考点】函数奇偶性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】构造函数 f（x）=x 3+2016x，判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性的性质建立方程关系，可得 x+2y
24、6=0，把 2y=6x 代入 z=x2+4y2+4x 再利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：设 f（x）=x 3+2016x，则 f（x）=f（x） ，即函数 f（x）是奇函数，且函数为增函数，（ x3） 3+2014（x3）=a， （ 2y3） 3+2014（2y 3）=a，（ x3） 3+2014（x3）= （2y3） 3+2014（2y3），即 f（x 3）=f （ 2y3） ，即 f（x 3）=f（3 2y） ，f（ x）=x 3+2016x 为增函数，x3=32y，即 x+2y6=0，把 2y=6x 代入 z=x2+4y2+4x 得到z=x2+（ 6x） 2+4x=2x28x+3
25、6=2（x2） 2+2828，当且仅当 x=2，y=2 时取得最小值故选：C【点评】本题考查了函数奇偶性和二次函数的单调性的应用，根据条件构造函数 f（x）=x3+2016x，判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案填写在答题卷的横线上13已知幂函数 f（x）=k x的图象过点（ ， ） ，则 k+= 【考点】幂函数的图像 【专题】计算题【分析】根据幂函数系数为 1，可以求出 k 的值，又由幂函数 f（x）=kx 的图象过点（ ， ） ，我们将点的坐标代入函数解析式，易求出 a 值，进而得到 k+ 的值【解答】解：由幂函数的定
26、义得 k=1，再将点（ ， ）代入得 =（ ） ，从而 = ，故 k+= 故答案为：【点评】本题考查的知识点是幂函数的定义及幂函数的图象，其中利用幂函数的定义，得到 k=1 是解答本题的关键14计算：（log 52016） 0（2 ） +lg +|lg31|= 【考点】对数的运算性质 【专题】函数的性质及应用【分析】化 0 指数幂为 1，化带分数为假分数，化负指数为正指数，然后结合对数的运算性质化简求值【解答】解：（log 52016） 0（2 ） +lg +|lg31|=1 +lg31+1lg3=1 故答案为： 【点评】本题考查有理指数幂的化简与求值，考查了对数的运算性质，是基础的计算题15
27、已知函数 f（x）=x 22x，g（x）=ax+2（a0） ，若x 11，2，x 21，2，使得f（x 1）=g （x 2） ，则实数 a 的取值范围是 3，+） 【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数的零点 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由任意的 x11，2 ，都存在 x21，2 ，使得 f（x 1）=g（x 2） ，可得 f（x）=x22x 在 x11，2的值域为 g（x）=ax+2 在 x21，2 的值域的子集，构造关于 a 的不等式组，可得结论【解答】解：当x 11，2时，由 f（x）=x 22x 得，对称轴是 x=1，f（1）=1 是函数的最小值，且 f（ 1）=3 是函数
28、的最大值，f（ x1）=1， 3，又 任意的 x11，2 ，都存在 x21，2，使得 f（x 1）=g（x 2） ，当 x21，2时，g（x 2） 1，3a0，g（x）=ax+2 是增函数， ，解得 a3综上所述实数 a 的取值范围是3，+） 故答案为：3，+） 【点评】本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，其中根据已知分析出“f （x）=x22x 在 x11，2的值域为 g（x）=ax+2 在 x21，2 的值域的子集”是解答的关键16已知函数 f（x）= ，若存在实数 a，b，c，d，满足 f（a）=f（b）=f（c）=f（d） ，其中 dcba 0，则 abcd 的取值范围是（21
29、，24） 【考点】对数函数图象与性质的综合应用 【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得log 3a=log3b= c2 c+8= d2 d+8，可得 log3（ab）=0，ab=1结合函数 f（x）的图象，在区间3，+）时，令 f（x）=1 可得 c=3、d=7、cd=21令 f（x）=0 可得 c=4 d=6、cd=24由此求得 abcd 的范围【解答】解：由题意可得log 3a=log3b = c2 c+8= d2 d+8，可得 log3（ab） =0，故 ab=1结合函数 f（x）的图象，在区间 3，+）上，令 f（x）=1 可得 c=3、d=7 、cd=21令 f（x）=0 可得
30、c=4、d=6 、cd=24故有 21abcd24，故答案为（21，24） 【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，属于中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设函数 f（x）=|x 24x5|（）作出函数 f（x）的图象；（）设集合 A=x|f（x） 5，B=（ ，20，46，+） 试判断集合 A 和 B 之间的关系，并给出证明【考点】二次函数的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】 （）结合二次函数的图象和函数图象的纵向对折变换，可得函数 f（x）的图象；（）令 f（x）=5，求出方程的根，进而结合（）中图象可得集合 A
31、，由集合包含关系的定义，可得 A，B 之间的关系【解答】解：（）函数 f（ x）=|x 24x5|的图象如下图所示：（）BA 理由如下：令 f（x）=5 ，则 x24x5=5 或 x24x5=5，解得：x=2 ，或 x=2+ ，或 x=0，或 x=4，结合（）中图象可得集合 A=x|f（x） 5=（，2 0，42+ ，+） 2 2，2+ 6，故 BA【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键18已知函数 f（x）=x 22ax+5（a1） （1）若 f（x）的定义域和值域均是 1，a，求实数 a 的值；（2）若对任意的 x1，x 21，a+1，总
32、有|f（x 1）f（x 2）|4，求实数 a 的取值范围【考点】函数的最值及其几何意义；函数的定义域及其求法；函数的值域 【专题】计算题；转化思想【分析】 （1）先将函数进行配方得到对称轴，判定出函数 f（x）在1 ，a上的单调性，然后根据定义域和值域均为1， a建立方程组，解之即可；（2）将 a 与 2 进行比较，将条件“对任意的 x1，x 21，a+1 ，总有|f（x 1）f（x 2）|4” 转化成对任意的 x1，x 21，a+1，总有 f（x） maxf（x） min4 恒成立即可【解答】解：（1）f（x）=（x a） 2+5a2（a1） ，f（ x）在1，a 上是减函数，又定义域和值域
33、均为1，a， ，即 ，解得 a=2（2）若 a2，又 x=a1，a+1 ，且， （a+1） aa1f（ x） max=f（1）=6 2a，f（x） min=f（a ）=5a 2对任意的 x1，x 21，a+1，总有 |f（x 1）f （x 2）| 4，f（ x） maxf（x） min4，即（62a） （5a 2）4，解得 1a3，又 a2，2a3若 1a2，f max（x）=f（a+1）=6 a2，f（x） min=f（a）=5a 2，f（x） maxf（x） min4 显然成立，综上 1a3【点评】本题主要考查了函数的最值及其几何意义，同时考查了转化与划归的数学思想，属于中档题之列19某工
34、厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C（x） ，当年产量不足 80 千件时，C（ x）= （万元） 当年产量不小于 80 千件时，C（x）=51x+ （万元） 每件商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完（）写出年利润 L（x） （万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式；（）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【考点】函数最值的应用 【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】 （）分两种情况进行研究，当 0x80 时，投入成本为 C（x）= （万元） ，根据年利润=销售收入成本，列出函数关系式，当 x80 时，投
35、入成本为 C（x）=51x+ ，根据年利润=销售收入成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当 0x80 时，利用二次函数求最值，当 x80 时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案【解答】解：（）每件商品售价为 0.05 万元，x 千件商品销售额为 0.051000x 万元，当 0x80 时，根据年利润=销售收入 成本，L（ x）=（0.05 1000x） 10x250= +40x250；当 x80 时，根据年利润 =销售收入成本，L（ x）=（0.05 1000x）51x +1450250=1200（x+ ）
36、综合可得，L（x）= （）由（）可知， ，当 0x80 时，L（x）= +40x250= ，当 x=60 时，L（x）取得最大值 L（60）=950 万元；当 x80 时， L（x）=1200（x+ ）12002 =1200200=1000，当且仅当 x= ，即 x=100 时，L（x）取得最大值 L（100）=1000 万元综合，由于 9501000 ，当产量为 100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为 1000 万元【点评】考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力20已知函数 f（x）= 是奇函数：（1）求实数 a 和 b 的值；（2）判
37、断函数 y=f（x）在区间（1，+）上的单调性；（3）已知 k0 且不等式 f（ t22t+3）+f（k1）0 对任意的 tR 恒成立，求实数 k 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合 【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】 （1）利用奇函数的定义，列出等式，即可求实数 a 和 b 的值；（2）求导函数，确定导数小于 0，即可确定函数 y=f（x）在区间（1，+）上的单调性；（3）利用函数的单调性与奇偶性，不等式可转化为 t22t+31k 任意的 tR 恒成立，由此可求实数 k 的取值范围【解答】解：（1）函数 f（ x）= 是奇函数由定义 =
38、，a=b=0；（2）由（1）知 ，x 1， f（x ）0， y=f（x）在区间（1，+）上的单调递减；（3）由 f（t 22t+3）+f（k1）0 及 f（x）为奇函数得：f （t 22t+3）f（1k）因为 t22t+32， 1k1，且 y=f（x）在区间（1，+ ）上的单调递减，所以 t22t+31k 任意的 tR 恒成立，因为 t22t+3 的最小值为 2，所以 21k，k 1k 0， 1k0【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查恒成立问题，确定函数的单调性，转化为具体不等式是关键，21已知集合 M 是满足下列性质的函数 f（x）的全体：在定义域内存在 x0，使得f（x 0+1）=f
39、 （ x0）+f（1）成立（1）函数 是否属于集合 M？说明理由；（2）设函数 ，求 a 的取值范围；（3）设函数 y=2x 图象与函数 y=x 的图象有交点，证明：函数 f（x）=2 x+x2M【考点】对数的运算性质 【专题】综合题；压轴题【分析】 （1）集合 M 中元素的性质，即有 f（x 0+1）=f（x 0）+f（1）成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是 M 的元素，若有解则此函数是 M 的元素；（2）根据 f（x 0+1）=f（x 0）+f（1）和对数的运算，求出关于 a 的方程，再根据方程有解的条件求出 a 的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的
40、情况；（3）利用 f（x 0+1）=f（x 0）+f（1）和 f（x）=2 x+x2M，整理出关于 x0 的式子，利用y=2x 图象与函数 y=x 的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明【解答】解：（1）若 f（x） = M，在定义域内存在 x0，则+1=0，方程 x02+x0+1=0 无解， f（x）= M；（2）由题意得，f（x）=lg M，lg +2ax+2（a1）=0，当 a=2 时，x= ；当 a2 时，由0，得 a26a+40，a 综上，所求的 ；（3）函数 f（x）=2 x+x2M， 3= ，又 函数 y=2x 图象与函数 y=x 的图象有交点，设交点的横坐标为
41、 a，则 ，其中 x0=a+1f（ x0+1）=f（x 0）+f（1） ，即 f（x）=2 x+x2M （16 分）【点评】本题的考点是元素与集合的关系，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力22已知函数 f（x）=lnx ax22x（a0） （）若函数 f（x）在定义域内单调递增，求实数 a 的取值范围；（）若 a= ，且关于 x 的方程 f（x）= x+b 在1，4 上恰有两个不等的实根，求实数 b的取值范围；（）设各项为正数的数列a n满足 a1=1，a n+1=lnan+an+2（nN）
42、，求证：a n2n1【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；数学归纳法 【分析】 （1）对函数 f（x）进行求导，令导数大于等于 0 在 x0 上恒成立即可（2）将 a 的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与 x 轴的交点的问题（3）设 h（x）=lnx x+1 然后求导，可判断函数 h（x）的单调性，再由数学归纳法得证【解答】解：（I）f（x）= （x0）依题意 f（x） 0 在 x0 时恒成立，即 ax2+2x10 在 x0 恒成立则 a = 在 x0 恒成立，即 a （x0）当 x=1 时， 取最小值1a 的取值范围是（，1（II）a= ，f（ x）= x
43、+b设 g（x）= 则 g（x）= 列表：g（ x）极小值=g （2）=ln2 b2，g（x）极大值=g （1）=b ，又 g（4）=2ln2 b2方程 g（x）=0 在1，4 上恰有两个不相等的实数根则 ，得 ln22b （III）设 h（x ）=lnx x+1，x 1，+） ，则 h（x）=h（ x）在 1，+ ）为减函数，且 h（x） max=h（1）=0，故当 x1 时有 lnxx1a1=1假设 ak1（kN） ，则 ak+1=lnak+ak+21，故 an1（nN）从而 an+1=lnan+an+22an+11+an+12（1+a n） 2n（1+a 1）即 1+an2n，an 2n1【点评】本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减
