1、1“哥德巴赫猜想”讲义（第 16 讲）“哥德巴赫猜想”证明（11）主讲 王若仲第 15 讲我们讲解了核心部分的定理 5，目前产止，前面我们已经学习了定理 1，定理 2，定理 3，定理 4，定理 5。我们的目的是什么呢？我们的目的就是要利用前面的 5 个定理来获得后面的 5 个推论。所以这一讲我们讲核心部分的推论 1 和推论 2。推论 1：对于任何一个比较大的偶数 2m，设奇素数p1，p 2，p 3，p t均为不大于2m 的全体奇素数（ pi pj ，ij，i、j=1，2，3，t） ，tN，且偶数 2m 均不含有奇素数因子 p1，p 2，p 3，p t；那么集合p1，3p 1,5p1，7p 1，
2、9p 1， （2m 1-1）p 1p 2，3p 2,5p2，7p 2，9p 2， （2m 2-1）p 2p 3，3p 3,5p3，7p 3，9p 3， （2m 3-1）p 3p t，3p t,5pt，7p t，9p t， （2m t-1） pt中奇数的总个数与集合（2m-p 1） ， （2m-3p 1）,（2m-5p 1） ， （2m-7p 1） ， （2m-9p 1） ，2m-（2m 1-1）p 1（2m-p 2） ， （2m-3p 2）,（2m-5p 2） ， （2m-7p2） ， （2m-9p 2） ，2m-（2m 2-1）p 2（ 2m-p3） ， （2m-3p 3）,（2m-5p 3
3、） ， （2m-7p 3） ， （2m-9p 3） ，2m-（ 2m3-1）p 3（2m-p t） ， （2m-3p t）,（2m-5p t） ， （2m-7p t） ， （2m-9p t） ，2，2m-（2m t-1）p t中奇数的总个数相等。其中（2m 1-1）p 1为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大奇数， （2m 2-1）p 2为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大奇数， （2m 3-1）p 3为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大奇数， （2m t-1）p t为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大奇数。证明：由定理 1 可知，集合p 1，2p 1,3p1，4p 1，
4、5p 1，m 1p1p 2，2p 2,3p2，4p 2，5p 2，m 2p2p 3，2p 3,3p3，4p 3，5p 3，m 3p3p t，2p t,3pt，4p t，5p t，m tpt中正整数的总个数与集合（2m-p 1） ， （2m-2p 1）, （2m-3p 1） ， （2m-4p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-m1p1）（2m-p 2） ， （2m-2p 2）, （2m-3p 2） ， （ 2m-4p2） ， （2m-5p 2） ， （2m-m 2p2）（2m-p 3） ， （2m-2p 3）,（2m-3p 3） ， （2m-4p 3） ，（2m-5p 3） ， （2m-
5、m 3p3）（2m-p t） ， （2m-2p t）,（2m-3pt） ， （2m-4p t） ， （2m-5p t） ， （2m-m tpt）中正整数的总个数相等。其中 m1p1为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数， m2p2为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数， m3p3为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数，m tpt为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数。我们不妨令集合p 1，2p 1,3p1，4p 1，5p 1，m 1p1p 2，2p 2,3p2，4p 2，5p 2，m 2p2p 3，2p 3,3p3，4p 3，5p 3，m 3p3p t，
6、2p t,3pt，4p t，5p t，m tpt3=a1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a r ，令集合（2m-p 1） ， （2m-2p 1）,（2m-3p 1） ， （2m-4p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-m 1p1）（2m-p 2） ，（2m-2p 2）,（2m-3p 2） ， （2m-4p 2） ， （2m-5p 2） ， （2m-m 2p2）（2m-p 3） ， （2m-2p 3）,（2m-3p 3） ， （2m-4p 3） ， （2m-5p 3） ， （2m-m 3p3）（2m-p t） ， （2m-2p t）,（2m-3p t） ， （2m-4p t）
7、，（2m-5p t） ， （2m-m tpt）=b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，b r ，又因为集合a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a r 和集合b1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，b r 均为等差数列，我们把集合a1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a r 和集合b1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，b r 中的奇数按从小到大的顺序分别进行编号，说明集合a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a r 中奇数项元素的总个数与集合b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，b r 中奇数项元素的总个数相等，所以集合p 1，3p
8、 1,5p1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1p 2，3p 2,5p2，7p 2，9p 2， （2m 2-1）p 2p 3，3p 3,5p3，7p 3，9p 3， （2m 3-1）p 3p t，3p t,5pt，7p t，9p t， （2m t-1）p t中奇数的总个数与集合（2m-p 1） ， （2m-3p 1）,（2m-5p 1） ， （2m-7p 1） ， （2m-9p 1） ，2m-（2m 1-1）p 1（2m-p 2） ， （2m-3p 2）,（2m-5p 2） ， （2m-7p2） ， （2m-9p 2） ，2m-（2m 2-1）p 2（2m-p 3） ， （2m-3p
9、 3）,（2m-5p 3） ， （2m-7p 3） ， （2m-9p 3） ，2m-（2m 3-1）p 3（2m-p t） ， （2m-3p t）,（2m-5p t） ， （2m-7p t） ， （2m-9p t） ，2m-（2m t-1）p t中奇数的总个数相等。故推论 1 成立。4推论 2：对于任何一个比较大的偶数 2m，设奇素数p1，p 2，p 3，p t均为不大于2m 的全体奇素数（ pi pj ，ij，i、j=1，2，3，t） ，tN，且偶数 2m 均不含有奇素数因子 p1，p 2，p 3，p t；那么集合 pi，3p i,5pi，7p i，9p i， （2m i-1）p i pj，
10、3p j,5pj，7p j，9p j， （2m j-1）p j p r，3p r,5pr，7p r，9p r， （2m r-1） prp s，3p s,5ps，7p s，9p s， （2m s-1）p s 中正整数的总个数与集合（2m-p i） ， （2m-3p i）,（2m-5p i） ， （2m-7p i） ， （2m-9p i） ，2m-（2m i-1）p i（2m-p j） ， （2m-3p j）,（2m-5p j） ， （2m-7pj） ， （2m-9p j） ，2m-（2m j-1）p j （2m-p r） ， （2m-3pr）,（2m-5p r） ， （2m-7p r） ， （2
11、m-9p r） ， 2m-（2m r-1）p r （2m-p s） ， （2m-3p s）,（2m-5p s） ， （2m-7p s） ， （2m-9p s） ，2m-（2m s-1）p s 中正整数的总个数相等。其中pi，p j，p r，p s为两两互不相同的奇素数，且均小于 2m ；（2m i-1）p i为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数，2mj-1）p j为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数， （2m r-1）p r为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数，（2m s-1）p s为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数。证明：由定理 2 可知，集
12、合 p i，2p i,3pi，4p i，5p i，m ipi pj， 2pj,3pj，4p j，5p j，m jpj p r，2p r,3pr，4p r，5p r，m rpr5p s，2p s,3ps，4p s，5p s，m s ps 中正整数的总个数与集合（2m-p i） ， （2m-2p i）,（2m-3p i） ， （2m-4p i） ， （2m-5p i） ， （2m-mipi）（2m-p j） ， （2m-2p j）,（2m-3p j） ， （2m-4p j） ， （2m-5p j） ， （2m-m jpj）（2m-p r） ， （2m-2p r）,（2m-3p r） ， （2m-4
13、p r） ，（2m-5p r） ， （2m-m rpr）（2m-p s） ， （2m-2p s）,（2m-3p s） ，（2m-4p s） ， （2m-5p s） ， （2m-m sps）中正整数的总个数相等。其中 mipi为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数，m jpj为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数，m rpr为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数，m sps为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数。我们不妨令集合 pi，2p i,3pi，4p i，5p i，m ipi pj，2p j,3pj，4p j，5p j，m jpj p r，2p r,
14、3pr，4p r，5p r，m rprp s，2p s,3ps，4p s，5p s，m sps =a1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a u，令集合（2m-p i） ， （2m-2p i）,（2m-3p i） ， （2m-4p i） ， （2m-5p i） ， （2m-m ipi）（2m-p j） ，（2m-2p j）,（2m-3p j） ， （2m-4p j） ， （2m-5p j） ， （2m-m jpj）（2m-p r） ， （2m-2p r）,（2m-3p r） ， （2m-4p r） ， （2m-5p r） ， （2m-m rpr）（2m-p s） ， （2m-2p s）,
15、（2m-3p s） ， （2m-4p s） ，（2m-5p s） ， （2m-m sps）=b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，b u，又因为集合a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a u和集合b1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，b u 均为等差数列，我们把集合6a1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a r 和集合b1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，b r 中的奇数按从小到大的顺序分别进行编号，说明集合a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a u中奇数项元素的总个数与集合b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，b u中奇数项
16、元素的总个数相等，所以集合 p i，3p i,5pi，7p i，9p i， （2m i-1）p i pj，3p j,5pj，7p j，9p j， （2m j-1）p j p r，3p r,5pr，7p r，9p r， （2m r-1）p rp s，3p s,5ps，7p s，9p s， （2m s-1）p s 中正整数的总个数与集合（2m-p i） ， （2m-3p i）,（2m-5p i） ， （2m-7p i） ， （2m-9p i） ，2m-（2m i-1）p i（2m-p j） ， （2m-3p j）,（2m-5p j） ， （2m-7pj） ， （2m-9p j） ，2m-（2m j
17、-1）p j （2m-p r） ， （2m-3pr）,（2m-5p r） ， （2m-7p r） ， （2m-9p r） ，2m-（2m r-1）p r （2m-p s） ， （2m-3p s）,（2m-5p s） ， （2m-7p s） ， （2m-9p s） ，2m-（2m s-1）p s 中正整数的总个数相等。故推论 2 成立。参考文献1戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版2闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版3刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版4王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983 年 2 月第 1 版二一四年四月二十日
