1、1“哥德巴赫猜想”讲义（第 12 讲）“哥德巴赫猜想”证明（7 ）主讲 王若仲第 11 讲我们讲解了核心部分的定理 1，这一讲我们讲核心部分的定理 2。定理 2：对于任何一个比较大的偶数 2m，设奇素数p1，p 2，p 3，p t均为不大于2m 的全体奇素数（ pi pj ，ij，i、j=1，2，3，t） ，tN，且偶数 2m 均不含有奇素数因子 p1，p 2，p 3，p t；那么集合 pi，2p i,3pi，4p i，5p i，m ipi pj，2p j,3pj，4p j，5p j，m jpj p r，2p r,3pr，4p r，5p r，m rprp s，2p s,3ps，4p s，5p
2、s，m s ps 中正整数的总个数与集合（2m-p i） ， （2m-2p i）,（2m-3p i） ， （2m-4p i） ， （2m-5p i） ， （2m-mipi）（2m-p j） ， （2m-2p j）,（2m-3p j） ， （ 2m-4pj） ， （2m-5p j） ， （2m-m jpj）（2m-p r） ， （2m-2p r） ,（2m-3p r） ， （2m-4p r） ，（2m-5p r） ， （2m-m rpr）（2m-p s） ， （2m-2p s）,（2m-3p s） ，（2m-4p s） ， （2m-5p s） ， （2m-m sps）中正整数的总个数相等。其中
3、pi，p j，p r，p s为两两互不相同的奇素数，且均小于2m；m ipi为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数，m jpj2为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数，m rpr为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数，m sps为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数。证明：对于集合（2m-p i） ， （2m-2p i）,（2m-3p i） ， （2m-4p i） ，（2m-5p i） ， （2m-m ipi），我们令 2m-mipi=hi，因为 mipi为对应的集合情形下不大于偶数 2m 的最大正整数，显然 hip i，则 2m-（m i-1）p i=
4、2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（m i-2）p i=2m-mip i+2pi=2pi+hi， （2m-2p i）= 2m-mi-（ mi-2）p 1=（m i-2）p i+2m-mipi=（m i-2）p i+hi， （2m-p i）=2m-m i-（m i-1）p 1 =（m i-1）p i+2m-mipi =（ mi-1）p i+hi；那么集合（2m-p i） ， （2m-2p i）,（2m-3p i） ，（2m-4p i） ， （2m-5p i） ， （2m-m ipi）=h i， （p i+hi） ， （2p i+hi） ，（m i-2）p i+hi，（m i-1）p i+h
5、i；我们令 2m-mjpj=hj；2m-m rpr=hr；2m-m sps=hs。同理可得：（2m-p j） ， （2m-2p j）,（2m-3p j） ， （2m-4p j） ， （2m-5p j） ， （2m-mjpj）=h j， （p j+hj） ， （2p j+hj） ，（m j-2）p j+hj，（m j-1）pj+hj，（2m-p r） ， （2m-2p r）,（2m-3p r） ， （2m-4p r） ， （2m-5pr） ， （2m-m rpr）=h r， （p r+hr） ， （2p r+hr） ，（m r-2）pr+hr，（m r-1）p r+hr，（2m-p s） ， （
6、2m-2p s）,（2m-3p s） ， （2m-4ps） ， （2m-5p s） ， （2m-m sps）=h s， （p s+hs） ， （2p s+hs） ，（m s-2）p s+hs，（m s-1）p s+hs。因为前面令 2m-mipi=hi，2m-m jpj=hj；2m-m rpr=hr；2m-msps=hs。那么有 2mh i（modp i） ，2mh j（modp j） ，3，2mh r（modp r） ，2mh s（modp s） ；所以集合（2m-p i） ， （2m-2pi）,（2m-3p i） ， （2m-4p i） ， （2m-5p i） ， （2m-m ipi）对应
7、同余方程 xih i（modp i） ；集合（2m-p j） ， （2m-2p j）,（2m-3p j） ， （2m-4pj） ， （2m-5p j） ， （2m-m jpj）对应同余方程 xjh j（modp j） ；集合（2m-p r） ， （2m-2p r）,（2m-3p r） ， （2m-4p r） ， （2m-5p r） ， （2m-m rpr）对应同余方程 xrh r（modp r） ；集合（2m-p s） ，（2m-2p s）,（2m-3p s） ， （2m-4p s） ， （2m-5p s） ， （2m-m sps）对应同余方程 xsh s（modp s） 。由孙子高斯定理可知
8、，同余方程组 xih i（modp i） ，xjh j（modp j） ，x rh r（modp r） ，x sh s（modp s）有无穷多解,且这些解关于模 M=pipjprps同余，又因为偶数 2m 是同余方程xih i（modp i）的解，偶数 2m 也是同余方程 xjh j（modp j）的解，偶数 2m 也是同余方程 xrh r（modp r）的解，偶数 2m 也是同余方程 xsh s（modp s）的解；那么偶数 2m 也是同余方程组xih i（modp i） ，x jh j（modp j） ，x rh r（modp r） ，xsh s（modp s）的一个解。那么同余方程组 x
9、ih i（modp i） ，xjh j（modp j） ，x rh r（modp r） ，x sh s（modp s）的解总可以转化为同余方程 yk（modp ipjprps）的解, k 为小于 pipjprps的正整数，且 k=2m-pipjprpsu，p ipjprpsu 为小于偶数 2m 的最大正整数。那么 2m-（u-1）p ipjprps=2m-pipjprpsu+pipjprps=pipjprps+k，2m-（u-2）p ipjprps=2m-pipjprpsu+2pipjprps=2pipjprps+k， （2m-2p ipjprps）=2m-4u-（u-2） pipjprps=
10、（u-2）p ipjprps+2m-pipjprpsu=（u-2）pipjprps+k， （2m-p ipjprps）=2m-u-（u-1） pipjprps=（u-1）p ipjprps +2m-pipjprpsu=（u-1）p ipjprps+k；那么集合（2m-p ipjprps） ， （2m-2p ipjprps）,（2m-3p ipjprps） ， （2m-4pipjprps） ， （2m-5p ipjprps） ， （2m-up ipjprps）= k， （p ipjprps+k） ， （2p ipjprps+ k） ，（u-2）p ipjprps+k，（u-1）p ipjprps
11、+k。又从前面可知，偶数 2m 是同余方程 yk（modp ipjprps）的一个解,则偶数 2m=upipjprps+k。所以 k 对应pipjprpsu， （p ipjprps+k）对应 pipjprps（ u-1） ，（2p ipjprps+k）对应 pipjprps（u-2） ， （3p ipjprps+k）对应pipjprps（u-3） ，（u-1）p ipjprps+k对应 pipjprps。故集合 pi， 2pi,3pi，4p i，5p i，m ipi pj，2p j,3pj，4p j，5p j，m jpj p r，2p r,3pr，4p r，5p r，m rprp s，2p s
12、,3ps，4p s，5p s，m s ps 中正整数的总个数与集合（2m-p i） ， （2m-2p i）,（2m-3p i） ， （2m-4p i） ， （2m-5p i） ， （2m-mipi）（2m-p j） ， （2m-2p j）,（2m-3p j） ， （ 2m-4pj） ， （2m-5p j） ， （2m-m jpj）（2m-p r） ， （2m-2p r） ,（2m-3p r） ， （2m-4p r） ，（2m-5p r） ， （2m-m rpr）（2m-p s） ， （2m-2p s）,（2m-3p s） ，（2m-4p s） ， （2m-5p s） ， （2m-m sps）中
13、正整数的总个数相等。故定理 2 成立。5例 5：证明集合3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，997，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98中正整数的总个数与（100-3） ， （100-6） ， （100-9） ， （100-12） ，（100-15） ， （100-18） ， （100-21） ， （100-24） ， （100-27） ， （100-30） ，（100-33） ， （100-36） ， （
14、100-39） ， （100-42） ， （100-45） ， （100-48） ，（100-51） ， （100-54） ， （100-57） ， （100-60） ， （100-63） ， （100-66） ，（100-69） ， （100-72） ， （100-75） ， （100-78） ， （100-81） ， （100-84） ，（100-87） ， （100-90） ， （100-93） ， （100-96） ， （100-99）（100-7） ， （100-14） ， （100-21） ， （100-28） ， （100-35） ， （100-42） ， （100-49） ，
15、（100-56） ， （100-63） ， （100-70） ， （100-77） ，（100-84） ， （100-91） ， （100-98）中正整数的总个数相等。证明：因为集合3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33 ，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78 ，81，84，87，90，93，96，997，14，21，28，35，42，49，56，63，70 ，77，84，91，98=21，42，63，84。又因为集合（100-3） ， （100-6） ， （100-9） ， （100-12） ， （100-15） ， （
16、100-18） ， （100-21） ， （100-24） ， （100-27 ） ， （100-30） ，6（100-33） ， （100-36） ， （100-39） ， （100-42） ， （100-45） ， （100-48） ，（100-51） ， （100-54） ， （100-57） ， （100-60） ， （100-63） ， （100-66） ，（100-69） ， （100-72） ， （100-75） ， （100-78） ， （100-81） ， （100-84） ，（100-87） ， （100-90） ， （100-93） ， （100-96） ， （100-9
17、9）（100-7） ， （100-14） ， （100-21） ， （100-28） ， （100-35） ， （100-42） ， （100-49） ， （100-56） ， （100-63） ， （100-70） ， （100-77） ，（100-84） ， （100-91） ， （100-98）=（100-21） ， （100-42） ， （100-63） ， （100-84）。所以集合3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33 ，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78 ，81，84，87，90，93，96，997，14，
18、21，28，35，42，49，56，63，70 ，77，84，91，98中正整数的总个数与（100-3） ， （100-6） ， （100-9 ） ， （100-12） ，（100-15） ， （100-18） ， （100-21） ， （100-24） ， （100-27） ， （100-30） ，（100-33） ， （100-36） ， （100-39） ， （100-42） ， （100-45） ， （100-48） ，（100-51） ， （100-54） ， （100-57） ， （100-60） ， （100-63） ， （100-66） ，（100-69） ， （100-72）
19、 ， （100-75） ， （100-78） ， （100-81） ， （100-84） ，（100-87） ， （100-90） ， （100-93） ， （100-96） ， （100-99）（100-7） ， （100-14） ， （100-21） ， （100-28 ） ， （100-35） ， （100-42） ， （100-49） ， （100-56） ， （100-63） ， （100-70 ） ， （100-77） ，（100-84） ， （100-91） ， （100-98）中正整数的总个数均为 4 个。7（证毕）参考文献1戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版2闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版3刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版4王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983 年 2 月第 1 版二一四年四月十八日
