1、第 1 页 共 9 页 “哥德巴赫猜想”讲义（第 20 讲）“哥德巴赫猜想”证明（15）主讲 王若仲第 19 讲我们分析了“哥德巴赫猜想 ”问题中第（）和第（）的情形，我们现在接着往下分析：（） 、现在我们对偶数的所有情形进行全面的分析： 在集合1，3，5，7，9， （2m-1）中筛除属于集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1中的全体奇数，以及筛除集合（2m-p 1） ， （2m-3p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-7p 1） ， （2m-9p 1） ， （2m-11p1） ，2m-（2m 1-1）p 1中的全体奇数，其中（ 2m1-1）p 1为
2、该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，我们把集合1，3，5，7，9， （2m-1）中全体奇数的总个数记为 W 个。（a） 、当偶数 2m 中含有奇素数因子 p1时，对于集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1中任一奇数 g，奇数（2m-g）仍能被奇素数 p1整除，那么在集合1，3，5，7，9， （2m-1）中只须筛除属于集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1中的全体奇数就可以了。那么由引理 5，引理 7，引理 9，推论 1，推论 2，推论 3，推论 4，推论 5 可知，这样筛除后集合中剩下的全体奇数的总个数可以转化为
3、下面这种计算方式：Y 1=W-【Wp 1】W（1-1 p1） 。第 2 页 共 9 页 （b） 、当偶数 2m 中不含有奇素数因子 p1时，对于集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1中任一奇数 g，奇数（2m-g）不能被奇素数 p1整除，同时把（2m-p 1）看成是奇合数，那么除了在集合1，3，5，7，9， （2m-1） 中要筛除属于集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1中的全体奇数，同时还要在集合1，3，5，7，9， （2m-1）中筛除属于集合 （2m-p 1） ，（2m-3p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-
4、7p 1） ， （2m-9p 1） ， （ 2m-11p1） ，2m-（2m 1-1）p 1中的全体奇数，又因为集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1中全体奇数的总个数与集合（2m-p 1） ， （2m-3p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-7p 1） ， （2m-9p 1） ， （2m-11p1） ，2m-（2m 1-1）p 1中全体奇数的总个数相等；我们令【W p1】表示集合（2m-p 1） ， （2m-3p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-7p 1） ，（2m-9p 1） ， （2m-11p 1） ，2m-（2m 1-1）p 1中全
5、体元素的个数，由推论 2 可知，显然【Wp 1】=【Wp 1】 ，那么筛除后集合中剩下的全体奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y 1=W-【Wp 1】-【W p1】=W-2【Wp 1】W（1-2p 1） 。 在集合1，3，5，7，9， （2m-1）中筛除属于集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1中的全体奇数，筛除属于集合p 2，3p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （2m 2-1） p2中的全体奇数，以及筛除属于（2m-p 1） ， （2m-3p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-7p 1） ， （2m-9p 1） ，（2m-11p 1）
6、，2m-（2m 1-1）p 1中的全体奇数，以及筛除属于集合（2m-p 2） ， （2m-2p 2）, （2m-3p 2） ， （ 2m-4p2） ， （2m-5p 2） ，第 3 页 共 9 页 ， （2m-m 2p2）中的全体奇数，其中奇数（2m 1-1）p 1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m 2-1）p 2为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数。（a） 、当偶数 2m 中既含有奇素数因子 p1又含有奇素数因子 p2时，那么在集合1，3，5，7，9， （2m-1）中只须筛除属于集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1中的全
7、体奇数以及只须筛除属于集合p 2，3p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （ 2m2-1）p 2中的全体奇数就可以了，由引理 5，引理 7，引理 9，推论 1，推论 2，推论3，推论 4，推论 5 可知，这样筛除后集合中剩下的全体奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y 2=W-【Wp 1】-【Wp 2】+【W（p 1p2） 】W（1-1p 1） -【W（1-1p 1）p 2】W（1-1p1） （1-1p 2） ；其中为什么要加上【W（p 1p2） 】呢？这是因为在【W p1】中就减了一次【W（p 1p2） 】 ，在【Wp 2】中又减了一次【W （p 1p2） 】 。说明多减了一次【W（p
8、 1p2） 】 ，所以要加上【W （p 1p2） 】 。下面类似的情形与此同理。（b） 、当偶数 2m 中不含有奇素数因子 p1而含有奇素数因子 p2时，在集合1，3，5，7，9， （2m-1）中只要筛除属于集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1中的全体奇数，筛除属于集合（2m-p 1） ， （2m-3p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-7p 1） ， （2m-9p 1） ， （2m-11p1） ，2m-（2m 1-1）p 1中的全体奇数以及筛除属于集合p2，3p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （2m 2-1）p2中的全体奇数就可以了，我们用
9、【W（p 1p2)】表示集合第 4 页 共 9 页 p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1p 2，3p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （2m 2-1）p 2中奇数的总个数，【W（p 1p2)】表示集合 （2m-p 1） ， （2m-3p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-7p 1） ，（2m-9p 1） ， （2m-11p 1） ，2m-（2m 1-1）p 1p 2，3p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （2m 2-1）p 2中奇数的总个数，由推论 1，推论 2，推论 3，推论 4，推论 5 可知， 【W（p 1p2） 】=【W（p 1p2）
10、】 ，那么这样筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y 2=W-【Wp 1】-【Wp 1】-【Wp 2】+【W（p 1p2） 】+ 【W（p 1p2） 】= W-【Wp 1】-【Wp 1】-【Wp 2】+【W（p 1p2） 】+ 【W（p 1p2） 】= W-2【Wp 1】-【Wp 2】+2【W（p 1p2） 】 W（1-2p 1） -【W（1-2p 1）p 2 】W（1-2p 1） （1-1p 2） ； （c） 、当偶数 2m 中含有奇素数因子 p1而不含有奇素数因子 p2时，同理可得筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y 2= W-【Wp 1】-2
11、【Wp 2】+2【W（p 1p2） 】W（1-1p 1）（1-2p 2） ；（d） 、当偶数 2m 中既不含有奇素数因子 p1又不含有奇素数因子p2时，同理可得筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y 2= W-2【Wp 1】-2【Wp 2】+4【W（p 1p2） 】W（1-2p 1） （1-2p 2） ，对于下面的情形同理分析讨论。 在集合1，3，5，7，9， （2m-1）中筛除属于集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1中的全体奇数，筛除属第 5 页 共 9 页 5于集合p 2，3p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （2m 2-1）
12、p 2中的全体奇数，筛除属于集合p 3，3p 3，5p 3，7p 3，9p 3， （2m 3-1）p 3中的全体奇数，以及筛除属于集合（2m-p 1） ， （2m-3p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-7p1） ， （2m-9p 1） ， （2m-11p 1） ，2m-（2m 1-1）p 1 中的全体奇数，筛除属于集合（2m-p 2） ， （2m-2p 2）, （2m-3p 2） ， （2m-4p 2） ， （2m-5p2） ， （2m-m 2p2）中的全体奇数，筛除属于集合（2m-p 3） ，（2m-2p 3）, （2m-3p 3） ， （2m-4p 3） ， （2m-5p 3）
13、， （2m-m 3p3）中的全体奇数，其中（2m 1-1）p 1为该形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数， （2m 2-1）p 2为该形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，（2m 3-1）p 3为该形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数。（a） 、当偶数 2m 中既含有奇素数因子 p1又含有奇素数因子 p2又含有奇素数因子 p3时，由引理 5，引理 7，引理 9，推论 1，推论2，推论 3，推论 4，推论 5 可知，那么筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y 3=W-【W p1】- 【Wp 2】-【W p3】+【W （p 1p2） 】+【W（p 1p3） 】+ 【W
14、（ p2p3） 】-【W （p 1p2p3） 】W（1-1p 1） （1-1p 2） （1-1 p3） ；（b） 、当偶数 2m 中不含有奇素数因子 p1而含有奇素数因子 p2又含有奇素数因子 p3时，由引理 5，引理 7，引理 9，推论 1，推论2，推论 3，推论 4，推论 5 可知，那么筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y 3=W-【W p1】- 【Wp 1】-【W p2】-【Wp 3】+【W（p 1p2） 】+【W（p 1p2） 】+【W（p 1p3） 】+【W（p 1p3） 】+ 【W （p 2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】第
15、 6 页 共 9 页 W（1-2p 1） （1-1p 2） （1-1p 3） ；（c） 、当偶数 2m 中含有奇素数因子 p1而不含有奇素数因子 p2又含有奇素数因子 p3时，由引理 5，引理 7，引理 9，推论 1，推论2，推论 3，推论 4，推论 5 可知，那么筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y 3=W-【W p1】- 【Wp 2】-【W p2】-【Wp 3】+【W（p 1p2） 】+【W（p 2p1） 】+【W（p 1p3） 】+【W（p 2p3） 】+ 【W （p 2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】W（1-1p 1） （1-2
16、p 2） （1-1p 3） ；（d） 、当偶数 2m 中既不含有奇素数因子 p1又不含有奇素数因子p2而含有奇素数因子 p3时，由引理 5，引理 7，引理 9，推论 1，推论 2，推论 3，推论 4，推论 5 可知，那么那么筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y 3=W-【Wp 1】-【W p2】-【Wp 3】- 【W p3】+ 【W（p 1p2） 】+【W （p 1p3） 】+【W（p 2p3） 】+ 【W（ p2p3） 】+【W（p 2p3） 】-【W （p 1p2p3） 】-【W （p 1p2p3） 】W（1-1p 1） （1-1p 2） （1-2p 3） ；（e）
17、 、当偶数 2m 中既不含有奇素数因子 p1又不含有奇素数因子p2而含有奇素数因子 p3时，由引理 5，引理 7，引理 9，推论 1，推论 2，推论 3，推论 4，推论 5 可知，那么那么筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y 3=W-【Wp 1】-【W p1】- 【Wp 2】-【W p2】-【Wp 3】+【W（p 1p2） 】+【W（p 1p2） 】+【W（p 1p2） 】+ 【W （p 1p2） 】+【W（p 1p3） 】+【W（p 1p3） 】+【W（p 2p3） 】+ 【W（ p2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】-第 7 页 共
18、9 页 【W（p 1p2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】W（ 1-2p1） （1-2p 2） （1-1p3） ；（f） 、当偶数 2m 中不含有奇素数因子 p1而含有奇素数因子 p2不含有奇素数因子 p3时，由引理 5，引理 7，引理 9，推论 1，推论2，推论 3，推论 4，推论 5 可知，那么那么筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y 3=W-【Wp 1】- 【Wp 1】-【W p2】-【Wp 3】- 【W p3】+ 【W（p 1p2） 】+【W （p 1p2） 】+【W（p 1p3） 】+ 【W（ p1p3） 】+【W（p 1p3） 】 +【W（p 1p3）
19、】+【W（p 2p3） 】+ 【W（ p2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】-【W （p 1p2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】W（ 1-2p1） （1-1p 2） （1-2p3） ；（g） 、当偶数 2m 中含有奇素数因子 p1不含有奇素数因子 p2又不含有奇素数因子 p3时，由引理 5，引理 7，引理 9，推论 1，推论2，推论 3，推论 4，推论 5 可知，那么那么筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y 3=W-【Wp 1】- 【Wp 2】-【W p2】- 【Wp 3】-【W p3】+【W（p 1p2） 】 +【W（p 1p2）
20、 】+【W（p 1p3） 】+ 【W（ p1p3） 】+【W（p 2p3） 】+【W（p 2p3） 】+【W（p 2p3） 】+ 【W （p 2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】-【W （p 1p2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】W（ 1-1p1） （1-2p 2） （1-2p3） ；（h） 、当偶数 2m 中既不含有奇素数因子 p1又不含有奇素数因子p2而又不含有奇素数因子 p3时，由引理 5，引理 7，引理 9，推论第 8 页 共 9 页 1，推论 2，推论 3，推论 4，推论 5 可知，那么那么筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式
21、：Y 3=W-【Wp 1】-【Wp 1】-【Wp 2】-【W p2】-【Wp 3】-【Wp 3】+【W（p 1p2） 】+【W（p 1p2） 】+ 【W（p 1p2） 】+【W（p 1p2） 】+【W（p 1p3） 】+【W（p 1p3） 】+ 【W（p 1p3） 】+【W（p 1p3） 】+【W（p 2p3） 】+【W（p 2p3） 】+ 【W（p 2p3） 】+【W（p 2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】-【W （p 1p2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】-【W（p 1p2p3） 】-【W（p
22、1p2p3） 】W（1-2p1） （1-2p 2） （1-2p 3） 。t 在集合1，3，5，7，9， （2m-1）中筛除属于集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1中的全体奇数，筛除属于集合p 2，3p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （2m 2-1） p2中的全体奇数，筛除属于集合p 3，3p 3，5p 3，7p 3，9p 3， （ 2m3-1）p 3中的全体奇数，筛除属于集合p t，3p t，5p t，7p t， 9pt， （2m t-1）p t中的全体奇数，以及筛除关于偶数 2m 的全体虚合数；根据前面一步一步分析的情形，由引理 5，引理 7，引理
23、 9，推论 1，推论 2，推论3，推论 4，推论 5 可知；筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Yt =W-【Wp 1】-+（-1） t【W（p 1p2p3pt）】W（1-d 1p1）（1-d 2p2） （1-d 3p3）（1-d t-1pt-1） （1-d tpt） ，其中 di=1 或2， （i=1，2，3，t） 。当偶数 2m 中含有奇素数因子 pi时，那么第 9 页 共 9 页 5di取值为 1；当偶数 2m 中不含有奇素数因子 pi时，那么 di取值为2。参考文献1戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版2闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版3刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版4王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983 年 2 月第 1 版二一四年四月二十日
