1、数学学院,王素云 2018年4月13日星期五,数论与哥德巴赫猜想,数论与哥德巴赫猜想,一. 陈景润与哥德巴赫猜想二. 对陈景润的成果的质疑三.关于哥德巴赫猜想四. 对质疑的回应五. 关于数论,初中语文（七年级 下册）,28哥德巴赫猜想（节选）,1966年5月，一颗璀璨的讯号弹升上了数学的天空，陈景润在中国科学院的刊物科学通报第17期上宣布他已经证明了（12）。 自从陈景润被选调到数学研究所以来，他的才智的蓓蕾一朵朵地烂漫开放了。在圆内整点问题，球内整点问题，华林问题，三维除数问题等等之上，都改进了中外数学家的结果。单是这一些成果，他那贡献就已经很大了。 但当他已具备了充分依据，他就以惊人的顽强
2、毅力，来向哥德巴赫猜想挺进了。他废寝忘食，昼夜不舍，潜心思考，探测精蕴，进行了大量的运算。一心一意地搞数学，搞得他发呆了。有一次，自己撞在树上，还问是谁撞了他。 ,他向着目标，不屈不挠；继续前进，继续攀登。他只知攀登，在千仞深渊之上；他只管攀登，在无限风光之间。一张又一张的运算稿纸，像漫天大雪似的飞舞，铺满了大地。数字、符号、定理、公式、逻辑、推理，积在楼板上，有三尺深。忽然化为膝下群山，雪莲万千。他终于登上了攀登顶峰的必由之路，登上了（12）的台阶。 他证明了这个命题，写出了厚达二百多页的长篇论文。,一 陈景润与哥德巴赫猜想,第二天，新华社记者来访。她见到了陈景润，谈了话，进他房间看了看。回
3、去就写出一篇报道，立即在内部刊物上发表。,伟大领袖和导师毛主席看到了这篇报道，立即作出了指示。,敬爱的周总理曾亲自和华国锋副总理安排了陈景润的全国人民代表席位。在第四届全国人民代表大会上，陈景润见到了周总理，并和总理在一个小组里开会。,早在他的论文发表时，西方记者迅即获悉，电讯传遍全球。国际上的反响非常强烈。英国数学家哈勃斯丹和西德数学家李希特的著作筛法正在印刷所校印。他们见到了陈景润的论文立即要求暂不付印，并在这部书里加添了一章，第十一章：“陈氏定理”。他们誉之为筛法的“光辉的顶点”。在国外的数学出版物上，诸如“杰出的成就”“辉煌的定理”，等等，不胜枚举。一个英国数学家给他的信里还说：“你移
4、动了群山！”,数论与哥德巴赫猜想,一 陈景润与哥德巴赫猜想,数学是自然科学皇后，“哥德巴赫猜想”则是皇后王冠上的明珠！,1999年，中国发表纪念陈景润的邮票。,紫金山天文台将一颗行星命名为“陈景润星”，以此纪念。,这项工作还使他与王元、潘承洞在1978年共同获得中国自然科学奖一等奖。,世界级的数学大师、美国学者阿 威尔(AWeil)曾这样称赞他：“陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。”,陈景润于1978年和1982年两次收到国际数学家大会请他作45分钟报告的邀请。这是中国人的自豪和骄傲。,1966年屈居于六平方米小屋的陈景润，借一盏昏暗的煤油灯，伏在床板上，用一支笔，耗去了几麻
5、袋的草稿纸，居然攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2)，创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+ 1)只是一步之遥的辉煌。他证明了“每个大偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，使他在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位。这一结果国际上誉为“陈氏定理”，受到广泛征引。, ,数论与哥德巴赫猜想,社会反响与评价,一 陈景润与哥德巴赫猜想,数论与哥德巴赫猜想,中华传奇1999年第3期哥德巴赫猜想的传奇王晓明,“陈景润的结论是虚假成果属于科研作伪”、“在申报奖项时偷换了概念”、“陈的思维混乱，不适合搞数学”、“对荣誉进行了掠夺，对真理进行了歪曲和涂改，对是非进行了颠倒”，“背后还隐
6、藏着危险的政治斗争”。,一、陈景润证明的不是哥德巴赫猜想二、陈景润使用了错误的推理形式三、陈景润大量使用错误概念四、陈景润的结论不能算定理五、陈景润的工作严重违背认识规律,二 对陈景润的成果的质疑,哥德巴赫（ Goldbach C.1690.3.181764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。,数论与哥德巴赫猜想
7、,三 关于哥德巴赫猜想,数论与哥德巴赫猜想,哥德巴赫猜想的由来,1729年1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道：“我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数(就是质数)之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检
8、验。欧拉回信说：“这个命题看来是正确的”。但是他也给不出严格的证明。,三 关于哥德巴赫猜想,数论与哥德巴赫猜想,同时，欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)4。若欧拉的命题成立，则偶数2N可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。 但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。 现在通常把这两个命题统称为哥
9、德巴赫猜想。,任何一个大于2的偶数都是两个素数之和；任何大于5的奇数都是三个素数之和。,三 关于哥德巴赫猜想,数论与哥德巴赫猜想,哥德巴赫猜想的进展,叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, 等等。有人对33108以内且大过6之偶数一一
10、进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。,从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可即的“明珠”。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。哥德巴赫猜想的传奇实际上是科学史上最传奇的历史。,三 关于哥德巴赫猜想,皇冠明珠：歌德巴赫猜想,自然科学的皇后是数学,数学的皇冠是数论,歌德巴赫猜想是皇冠上的明珠,三 关于哥德巴赫猜想,数论与哥德巴赫猜想,到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年挪威数
11、学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比5大偶数n（不小于6）的偶数都可以表示为九个质数的积加上九个质数的积，简称9+9。 需要说明的是，这个9不是确切的9，而是指1，2，3，4，5，6，7，8，9中可能出现的任何一个。又称为“殆素数”，意思是很像素数。与哥德巴赫猜想没有实质的联系。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。,目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。
12、”,三 关于哥德巴赫猜想,数论与哥德巴赫猜想,关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:,1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。,1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。,1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。,1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。,1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。,1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。,1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数。,1956年，中国的王元证明
13、了“3 + 4”。,1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。,1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。,1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。,1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。,三 关于哥德巴赫猜想,数论与哥德巴赫猜想,中国数学家的贡献,华罗庚是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学家。19361938年，他赴英国剑桥大学留学，在哈代的指导下从事数论研究，并开始研究哥德巴赫猜想，取得了很好的成果，证明了对于“几乎所有”的偶数，猜想（1）都是正确的。,19
14、50年，华罗庚从美国回国，在中科院数学研究所组织数论研究讨论班，选择哥德巴赫猜想作为讨论的主题，倡议并指导他的一些学生研究这一问题。他曾对学生们说：“我并不是要你们在这个问题上作出成果来。我的着眼点是哥德巴赫猜想跟解析数论中所有的重要方法都有联系，以哥德巴赫猜想为主题来学习，将可以学会解析数论中所有的重要方法哥德巴赫猜想真是美极了，现在还没有一个方法可以解决它。” 参加这个数论讨论班的学生有王元、潘承洞和陈景润等。,出乎华罗庚的意料，学生们在哥德巴赫猜想的证明上取得了相当好的成绩。1956年，王元证明了“34”；同年，原苏联数学家阿维诺格拉朵夫证明了“33”；1957年，王元又证明了“23”；
15、潘承洞于1962年证明了“15”；1963年，潘承洞、巴尔巴恩与王元又都证明了“14”；1966年，陈景润在对筛法作了新的重要改进后，证明了“12”。 1974年，由英国数学家哈勃斯坦和西德数学家李希特合著的筛法一书出版，书中以“陈氏定理”作为最后一章的标题。书中写道：“我们本章的目的是为了证明陈景润下面的惊人定理，我们在前10章已经复印时才注意到这一结果。从筛法的任何方面来说，它都是光辉的顶点。” 华罗庚曾对王元说：“在我的学生的工作中，最使我感动的是12。”,三 关于哥德巴赫猜想,数论与哥德巴赫猜想,我国有许多数学爱好者称自己证明了“哥德巴赫猜想”，故意哗众取宠，别有用心的说“陈景润当年的
16、证明是造假”“陈景润、王元、潘承洞偷换概念申报奖项”的谣言，歪曲事实，以达到炒作自己“成果”的目的。如“质疑”缺乏基本的数学知识，偷换概念严重，论证违背科学，很多都是主观判断，缺乏根据。,声明：,刘招荣事件,目前，国际数学界对“陈氏定理”的正确性仍然没有任何争议，公认“陈氏定理”是哥德巴赫猜想研究的最佳成果。“陈氏定理”在外国很多数论书籍上被引用，读者可以自己查证相关信息。这也提醒我们，在这个信息发达的时代一定要注意判断信息来源和正确性。,农民成功证明哥德巴赫猜想,拖拉机手摘得皇冠上的明珠,数论与哥德巴赫猜想,辨析：,1、陈景润证明的不是“哥德巴赫猜想”，这一点不需质疑。国际数学界一直就有公论
17、，陈景润证明的“1+2”，只是“最好的成果”，而并非对于“1+1”的证明，两者之间不能划等号。这一点，在过去一直是清晰的。,2、“陈氏定理”是独立的定理，证明的只是陈氏想要证明的结果。因此“相容选言”的论断在这里并不适用。因为陈氏并不想用自己的结果推出其他的结果。只要陈氏在得出这个结果之前的其他步骤没有问题，证明本身就不存在问题。也就是说，陈氏想要得到的就是“或者A，或者B”的结果。而在陈氏之前，没有人能够证明这个结果，陈氏通过严格的证明得到了这个结果，尽管这个结果目前还是不能解决其他问题，但不能说证明本身就是有问题的。,3、由2，相关的“质疑”并没有拿出充分的证据和合理的逻辑来说明陈景润的工
18、作“违背认识律”。因此得出的结论暂时不成立。而“陈景润的结论不能称为定理”这个命题跟哥德巴赫猜想一样，目前暂时也还无解。,四 对质疑的回应,数论与哥德巴赫猜想,4、质疑者提出陈景润使用“殆素数”和“充分大”的概念是违背数学规律的，这一点质疑者没有进行具体的论证。而反“质疑”者则拿出了“殆素数”和“充分大”概念已经在国际上被广泛承认的证据。,5、质疑者目前暂时对反对“质疑”者的这个证据没有拿出有力的反面证据。 反“质疑”者认为陈景润没有使用过“殆素数”这个概念，但没有出现这个词，并不代表事实上这个概念没有被使用。因为根据“殆素数”的定义，陈景润的“1+2”成果本身就是为“殆素数”服务的但反对“质
19、疑”者的这点小错误对整个问题的是非曲直没有影响。关键还在于4。,6、有关陈景润“造假”，除此之外，没有任何其他证据。,7、质疑者拿不出充分的证据，却歪曲事实，肆意指责，反“质疑”者认为质疑者“别有用心”，是有一定道理的。在这次事件中，所谓“质疑”者，捏造事实，侵犯了陈景润以及相关科学研究人员的人格尊严、名誉权，是对科学家人权的践踏。尽管因为其捏造的事实太离题，经过辨析也真假立辨，但这种网络上胡乱捏造事实诽谤他人的行为却已经泛滥成风。在我国的法制体系中，有必要对相关内容进行完善。,四 对质疑的回应,数论与哥德巴赫猜想,相关数论知识,数论就是指研究整数性质的一门理论。整数的基本元素是素数，所以数论
20、的本质是对素数性质的研究。2000年前，欧几里得证明了有无穷多个素数。既然有无穷多个，就一定有一个表示所有素数的素数通项公式，或者叫素数普遍公式。它是和平面几何学同样历史悠久的学科。高斯誉之为“数学中的皇冠” 按照研究方法的难易程度来看，数论大致上可以分为初等数论（古典数论）和高等数论（近代数论）。,初等数论主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质。 初等数论也可以理解为用初等数学方法研究的数论。 其中最高的成就包括高斯的“二次互反率”等。,数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中
21、一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费马大定理、孪生素数问题、哥德巴赫猜想、梅森素数问题、黎曼猜想,五 关于数论,数论与哥德巴赫猜想,数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当
22、大的比重。,五 关于数论,数论与哥德巴赫猜想,在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召、潘承洞等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。陈景润、王元等在“筛法”和“哥德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩；周海中在著名数论难题梅森素数分布的研究中取得了世界领先的卓著成绩。,数论与哥德巴赫猜想,整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行，利用这一性质人们发明了大数密码体系。至今仍然关系
23、着国家的安全。,“实际上，今天我们上个网、发个电子邮件就离不开数论的成果，”美国艾奥瓦大学数学教授叶杨波说。他说，数论与实际结合最紧密的例子就是网络信息的加密和解密问题。网上信息的安全性、隐私性差，某种程度上已经妨碍了网络在商业、金融等领域的进一步推广，因此信息的编码和加密技术受到了重视。而现在最多应用的加密方法就是用素数作为编码的密钥。素数是只能被1和它自身整除的正整数，作为密钥的素数越大，就意味着破解的可能性越小。叶杨波说：“比如常用的因特网浏览软件，经常有128位加密这样的字眼出现，这就是指密钥的位数。”,数论与哥德巴赫猜想,数论的应用,星期几的确定 循环比赛的程序表 仿射加密方法 RS
24、A加密方法背包型加密方法,数论与哥德巴赫猜想,电 子 签 章,电子签章是电子签名的一种表现形式，利用图像处理技术将电子签名操作转化为与纸质文件盖章操作相同的可视效果，同时利用电子签名技术保障电子信息的真实性和完整性以及签名人的不可否认性。,随着Internet的普及、各种电子商务活动和电子政务活动的飞速发展，电子签章开始广泛地应用到各个领域之中，目前主要包括：发送安全电子邮件、访问安全站点、网上招标投标、网上签约、网上订购、安全网上公文传送、网上缴费、网上缴税、网上炒股、网上购物和网上报关等。,一般情況下，使用公匙加密，再用私匙解密。电子签章则反其道而行。签署者使私匙签名，验证者再用公匙验证。,数论与哥德巴赫猜想,自动提款卡中的晶片,近年来，随着银行提款机出现盗款事件，银行业正在尝试将磁带提款卡换作晶片卡，在提款卡内加入晶片，以防不法分子利用磁带读卡器，盗取客户资料。银行首先为客户准备一支密匙，并且配给客户明文pin。然后银行使用密匙加密得到密文pin，同时把密匙及密文pin存在晶片中。银行电脑只储存客户的账号及密匙。,数论与哥德巴赫猜想,谢 谢！,
