浅谈“哥德巴赫猜想”证明方法.doc

1、1浅谈“哥德巴赫猜想”证明方法务川自治县实验学校 王若仲 贵州 564300 摘要：对于“哥德巴赫猜想” ，我们来探讨一种证明方法，要证明任一不小于 6的偶数均存在有“奇素数+奇素数”的情形，如果我们把“奇素数+奇素数”这样的情形若能转换到利用奇合数的情形来加以分析，也就是任意给定一个比较大的偶数 2m，通过顺筛和逆筛的办法，顺筛就是筛除掉集合1，3，5，7，9， （2m-1）中的全体奇合数；逆筛就是在集合1，3，5，7，9， （2m-1）中再筛除掉偶数 2m分别减去集合1，3，5，7，9， （2m-1）中的每一个奇合数而得到的全体奇数；以及筛除掉 1和（2m-1） 。通过这样筛除后，如果集合

2、中还剩下有奇数，那么剩下的奇数必为奇素数，并且必定只满足“奇素数+奇素数=2m”的情形。关 键 词 ： 哥德巴赫猜想；奇素数；奇合数；顺筛；逆筛。德国数学家哥德巴赫在 1742 年提出“哥德巴赫猜想” ， 即任何一不小于 6的偶数均可表为两个奇素数之和。历 史上研究“哥德巴赫猜想” 的方法及 进展。(一) 比 较有名的方法大致有下面四种：（1）筛法， （2）圆法， （3）密率法， （4）三角求和法。其中：筛法是求不超过自然数（1）的所有素数的一种方法，2m=a+b，a=p1p2p3pi，b=q1q2q3qj，筛法的基本出发点，即加 权筛法；圆法是三角和（指数和）估计方法；密率法（概率法）是函数

3、估 值法。(二) 研究的进展途 径 一 ：殆 素 数 ，即 2m= a1a2a3ai+ b1b2b3bj。殆 素 数 就 是 素 因 子 个 数 不 多 的 正 整 数 。现 设 N 是 偶 数 ，虽 然 现 在不 能 证 明 N 是 两 个 素 数 之 和 ，但 是 可 以 证 明 它 能 够 写 成 两 个 殆 素数 的 和 ，即 N=A+B，其 中 A 和 B 的 素 因 子 个 数 都 不 太 多 ，譬 如 说素 因 子 个 数 不 超 过 10。现 在 用 “a+b”来 表 示 如 下 命 题 ：每 个 大 偶数 N 都 可 表 为 A+B，其 中 A 和 B 的 素 因 子 个 数

4、 分 别 不 超 过 a 和b。显 然 ，哥 德 巴 赫 猜 想 就 可 以 写 成 “1+1”。在 这 一 方 向 上 的 进 展 都是 用 所 谓 的 筛 法 得 到 的 。“a+b”问 题 的 推 进 21920 年 ，挪 威 的 布 朗 证 明 了 “9+9”。 1924 年 ，德 国 的 拉 特 马 赫 证 明 了 “7+7”。 1932 年 ，英 国 的 埃 斯 特 曼 证 明 了 “6+6”。 1937 年 ，意 大 利 的 蕾 西 先 后 证 明 了 “5+7”, “4+9”, “3+15”和“2+366”。 1938 年 ，苏 联 的 布 赫 夕 太 勃 证 明 了 “5+5

5、”。 1940 年 ，苏 联 的 布 赫 夕 太 勃 证 明 了 “4+4”。 1956 年 ，中 国 的 王 元 证 明 了 “3+4”。稍 后 证 明 了 “3+3”和 “2+3”。1948 年 ，匈 牙 利 的 瑞 尼 证 明 了 “1+c”，其 中 c 是 一 很 大 的 自 然数 。 1962 年 ，中 国 的 潘 承 洞 和 苏 联 的 巴 尔 巴 恩 证 明 了 “1+5”， 中国 的 王 元 证 明 了 “1+4”。 1965 年 ，苏 联 的 布 赫 夕 太 勃 和 小 维 诺 格 拉 多 夫 ，及 意 大 利 的朋 比 利 证 明 了 “1+3 ”。 1966 年 ，中 国

6、 的 陈 景 润 证 明 了 “1+2 ”。 途 径 二 ：例 外 集 合 ，即 寻 找 使 得 哥 德 巴 赫 猜 想 不 成 立 的 那 些偶 数 。在 数 轴 上 取 定 大 整 数 x，再 从 x 往 前 看 ，寻 找 使 得 哥 德 巴 赫猜 想 不 成 立 的 那 些 偶 数 ，即 例 外 偶 数 。x 之 前 所 有 例 外 偶 数 的 个数 记 为 E(x)。我 们 希 望 ，无 论 x 多 大 ，x 之 前 只 有 一 个 例 外 偶 数 ，那 就 是 2，即 只 有 2 使 得 猜 想 是 错 的 。这 样 一 来 ，哥 德 巴 赫 猜 想 就等 价 于 E(x)永 远 等

7、 于 1。当 然 ，直 到 现 在 还 不 能 证 明 E(x)=1；但 是能 够 证 明 E(x)远 比 x 小 。在 x 前 面 的 偶 数 个 数 大 概 是 x/2；如 果 当x 趋 于 无 穷 大 时 ，E(x)与 x 的 比 值 趋 于 零 ，那 就 说 明 这 些 例 外 偶 数密 度 是 零 ，即 哥 德 巴 赫 猜 想 对 于 几 乎 所 有 的 偶 数 成 立 。这 就 是 例3外 集 合 的 思 路 。 维 诺 格 拉 多 夫 的 三 素 数 定 理 发 表 于 1937 年 。第 二 年 ，在 例 外集 合 这 一 途 径 上 ，就 同 时 出 现 了 四 个 证 明

8、，其 中 包 括 华 罗 庚 先 生的 著 名 定 理 。 途 径 三 ：小 变 量 的 三 素 数 定 理 ，即 已 知 奇 数 N 可 以 表 成 三 个素 数 之 和 ，假 如 又 能 证 明 这 三 个 素 数 中 有 一 个 非 常 小 ，譬 如 说 第一 个 素 数 可 以 总 取 3，那 么 我 们 也 就 证 明 了 偶 数 的 哥 德 巴 赫 猜 想 。如 果 偶 数 的 哥 德 巴 赫 猜 想 正 确 ，那 么 奇 数 的 猜 想 也 正 确 。我 们可 以 把 这 个 问 题 反 过 来 思 考 。已 知 奇 数 N 可 以 表 成 三 个 素 数 之 和 ，假 如 又

9、能 证 明 这 三 个 素 数 中 有 一 个 非 常 小 ，譬 如 说 第 一 个 素 数 可以 总 取 3，那 么 我 们 也 就 证 明 了 偶 数 的 哥 德 巴 赫 猜 想 。这 个 思 想就 促 使 潘 承 洞 先 生 在 1959 年 ，即 他 25 岁 时 ，研 究 有 一 个 小 素 变数 的 三 素 数 定 理 。这 个 小 素 变 数 不 超 过 N 的 次 方 。我 们 的 目 标是 要 证 明 可 以 取 0，即 这 个 小 素 变 数 有 界 ，从 而 推 出 偶 数 的 哥德 巴 赫 猜 想 。潘 承 洞 先 生 首 先 证 明 可 取 1/4。后 来 的 很 长

10、 一 段 时间 内 ，这 方 面 的 工 作 一 直 没 有 进 展 ，直 到 1995 年 展 涛 教 授 把 潘 老师 的 定 理 推 进 到 7/120。这 个 数 已 经 比 较 小 了 ，但 是 仍 然 大 于 0。 途 径 四 ：几 乎 哥 德 巴 赫 问 题 ，即 2m=p+q+2k。p 和 q 均 为 奇 素数 。1953 年 ，林 尼 克 发 表 了 一 篇 长 达 70 页 的 论 文 。在 文 中 ，他 率先 研 究 了 几 乎 哥 德 巴 赫 问 题 ，证 明 了 ，存 在 一 个 固 定 的 非 负 整 数k，使 得 任 何 大 偶 数 都 能 写 成 两 个 素 数

11、 与 k 个 2 的 方 幂 之 和 。这 个定 理 ，看 起 来 好 像 丑 化 了 哥 德 巴 赫 猜 想 ，实 际 上 它 是 非 常 深 刻 的 。我 们 注 意 ，能 写 成 k 个 2 的 方 幂 之 和 的 整 数 构 成 一 个 非 常 稀 疏 的集 合 ；事 实 上 ，对 任 意 取 定 的 x，x 前 面 这 种 整 数 的 个 数 不 会 超 过4log x 的 k 次 方 。因 此 ，林 尼 克 定 理 指 出 ，虽 然 我 们 还 不 能 证 明 哥德 巴 赫 猜 想 ，但 是 我 们 能 在 整 数 集 合 中 找 到 一 个 非 常 稀 疏 的 子 集 ，每 次

12、从 这 个 稀 疏 子 集 里 面 拿 一 个 元 素 贴 到 这 两 个 素 数 的 表 达 式 中去 ，这 个 表 达 式 就 成 立 。这 里 的 k 用 来 衡 量 几 乎 哥 德 巴 赫 问 题 向哥 德 巴 赫 猜 想 逼 近 的 程 度 ，数 值 较 小 的 k 表 示 更 好 的 逼 近 度 。显然 ，如 果 k 等 于 0，几 乎 哥 德 巴 赫 问 题 中 2 的 方 幂 就 不 再 出 现 ，从而 ，林 尼 克 的 定 理 就 是 哥 德 巴 赫 猜 想 。林 尼 克 1953 年 的 论 文 并 没 有 具 体 定 出 k 的 可 容 许 数 值 ，此 后四 十 多 年

13、 间 ，人 们 还 是 不 知 道 一 个 多 大 的 k 才 能 使 林 尼 克 定 理 成立 。但 是 按 照 林 尼 克 的 论 证 ，这 个 k 应 该 很 大 。其 中 有 个 结 果 必 须提 到 ，即 李 红 泽 、王 天 泽 独 立 地 得 到 k=2000。目 前 最 好 的 结 果k=13 是 英 国 数 学 家 希 思 -布 朗 (D. R. Heath-Brown)和 德 国 数 学 家普 赫 塔 (Puchta)合 作 取 得 的 ，这 是 一 个 很 大 的 突 破 。数 学 家 们 经 过 上 面 四 个 途 径 的 不 断 探 索 求 证 ，仍 然 没 有 彻

14、底解 决 哥 德 巴 赫 问 题 。现在我们介绍探讨求证“哥德巴赫猜想” 的另一种新方法， 我在前人筛法的基础上作出了进一步的改进，定义了“顺筛” 和“逆筛” 这两个基本概念。就是任意给定一个比较大的偶数 2m，通过顺筛和逆筛的办法来达到目的。顺筛就是筛除掉集合1，3， 5，7，9， （2m-1）中的全体奇合数；逆筛就是在集合1，3， 5，7，9， （2m-1）中再筛除掉偶数 2m分别减去集合1，3， 5，7，9， （2m-1）中的每一个奇合数而得到的全体奇数；如果我们设奇素数p1，p 2，p 3，p t均为不大于2m 的全体奇素数（ pi pj ，ij，i、j=1，2，3，t） ，tN。对于

15、 “2m=奇数+奇数”（m3）来说 ，就只有下面几种情形：5（1）2m=奇合数+奇合数，（2）2m=奇合数+奇素数，（3）2m=奇素数+奇素数，（4）2m=1+奇合数，（5）2m=1+奇素数。我们的目的就是要筛除掉（1）和（2）以及（4）或（5）情形中的所有奇数（因为对于偶数 2m，（4）和（5）的情形不可能同 时成立）。但是下面这两种情形我们不必分析讨论：偶数 2m=p+p，p 为奇素数；集合 （2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），（2m-pt）中至少有一个奇数为奇素数。假若（2m-p 2）为奇素数，那么 2m=（2m-p2）+p2。所以 和这两种情形，偶数 2m 已经可表为“奇素

16、数+奇素数” 。 如果我们能够明确的判定在任意设定的集合1 ，3，5，7，9，（2m-1）中，通过顺筛筛除掉集合1，3，5，7， 9，（2m-1）中的全体奇合数，通过逆筛筛除掉偶数 2m 分别减去集合1，3， 5，7，9，（2m-1）中的每一个奇合数而得到的全体奇数；以及筛除掉 1 和（2m-1） 。集合1，3，5，7，9，（2m-1）通过这样筛除后， 如果集合中还剩下有奇数，那么剩下的奇数必为奇素数，并且必定只满足“奇素数+奇素数=2m”的情形。下面我们举实例阐述这种解决“哥德巴赫猜想”新的基本思想方法。首先我们回顾一下 2000多年前埃拉托斯特尼筛法，埃拉托斯特尼筛法可以用来寻找一定范围内

17、的素 数（比如说 m这个数，m 这6个数不是太大）：操作的程序是先将第一个数 2留下，将它的倍数全部划掉；再将剩余数中最小的 3留下，将它的倍数全部划掉；继续将剩余数中最小的 5留下，将它的倍数全部划掉，如此直到没有可划的数为止。例如在 100内进行这样的操作，可得素数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。我们暂且把前人的这种筛法称为埃拉托斯特尼顺筛，简称顺筛。就是通过顺筛，能够把某个很大的偶数 M范围内的素 数全部筛出来，也未必好确定不大于偶数 M的所有偶数均可表为两个奇素 数之和。顺筛实

18、际上就是筛出偶数 M范围内的所有偶数（除 2外）和所有奇合 数。如果我们在顺筛的基础上，再配合另外一种筛法，我们暂且把这种筛法称为埃拉托斯特尼逆筛，简称逆筛。逆筛就是筛除掉偶数 2m 分别减集合1，3，5，7，9，（2m-1）中的每一个奇合数而得到的全体奇数；对于偶数 M范围内的所有正整数，通过顺筛和逆筛配合筛出后，一定能够判定偶数 M是否可表为两个奇素 数之和。我们以偶数 100为例来阐述，因为“哥德巴赫猜想”针对的是奇素数，而奇素数是从奇数中分离出来的概念，所以我们就排出偶数的情形，只考虑奇数的情形。对于偶数 100以内的全体奇数，首先进行顺筛：（1）筛出 3的倍数，可得集合 A1=1，3

19、，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，35，37，41，43，47，49，53，55，59，61， 65，67，71，73，77，79，83，85，89，91，95，97。7（2）在集合 A1中筛出 5的倍数，可得集合A2=1，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，49，53，59，61，67，71，73，77，79，83，89，91，97。（3）在集合 A2中筛出 7的倍数，可得集合A3=1，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。偶数

20、 100以内的全体奇数，经过顺筛后，可以得出下面这样的结论：满足“奇合数+奇合数=100”中的全体奇合数，满足“奇合数+奇素数=100”中的全体奇合数，满足“1+奇合数=100”中的奇合数，全部被筛除。又因为区间100，100以内的任一奇合数均能被奇素数3，5，7 中的某一个奇素数整除，这种情形扩展开来的一般情形完全可以证明。其次进行逆筛：（4）在集合 A3中筛出集合（100-9） ， （100-15） ， （100-21） ，（100-27） ， （100-33） ， （100-39） ， （100-45） ， （100-51） ， （100-57） ，（100-63） ， （100-69）

21、 ， （100-75） ， （100-81） ， （100-87） ， （100-93） ，（100-99）=91，85，79，73，67，61，55，49，43，37，31，25，19，13，7，1 中的奇数，可得集合 A4=3，5，11，17，23，29， 841，47，53，59，71，83，89，97。（5）在集合 A4中筛出集合（100-21） ， （100-35） ， （100-49） ，（100-63） ， （100-77） ， （100-91）=79，65，51，37，23，9中的奇数，可得集合 A5=3，5，11，17，29， 41，47，53，59，71，83，89，97。

22、（6）因为 100含有奇素数因子 5，所以奇素数 5要直接筛出。最后得到集合A6=3，11，17，29，41，47，53，59，71，83，89，97。所以再经过逆筛后，我们可以得出这样的结论：满足“奇合数+奇素数=100”中的全体奇素数，满足“1+奇素数=100”中的奇素数，全部被筛除。显然可得到偶数 100=3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53。虽然我们前面阐述了利用顺筛和逆筛配合筛法的妙处。但是对于很大很大的偶数 2m，这种配合筛法的技术难度仍然相当大，怎样克服这个技术性难题呢？下面我们再阐述解决这个技术性难题的 基本思想方法。我们还是以偶数 100为例来

23、阐述解决这个技术难题巧妙的基本思想方法：对于偶数 100以内的全体奇数组成的集合 A，那么集合A=1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43，45，47，49，51，53，55，57，59，61，63，695，67，69，71，73，75，77，79，81，83，85，87，89，91，93，95，97，99，集合 A中元素的总个数为 50个。因为区间100，100以内的任一奇合数均能被奇素数3，5，7 中的某一个奇素数整除，对于偶数 100，我们只需用奇素数3，5，7 来设定一些集合就能达到目的了。设集合A1=9，

24、15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，99，集合 A1=（100-9） ， （100-15） ， （100-21） ， （100-27） ，（100-33） ， （100-39） ， （100-45） ， （100-51） ， （100-57） ， （100-63） ，（100-69） ， （100-75） ， （100-81） ， （100-87） ， （100-93） ， （100-99）=91，85，79，73，67，61，55，49，43，37，31，25，19，13，7，1 ，集合 A2=15，25，35，45，55， 65，75，85，

25、95，集合A2=（100-15） ， （100-25） ， （100-35） ， （100-45） ， （100-55） ，（100-65） ， （100-75） ， （100-85） ， （100-95）=85，75，65，55，45，35，25，15，5，集合A3=21，35，49，63，77，91，集合 A3=（100-21） ， （100-35） ，（100-49） ， （100-63） ， （100-77） ， （100-91）=79，65，51，37，23，9。（1）因为偶数 100含有奇素数因子 5，所以我们只需考虑集合B=A2A 2=5，15，55，35，45，55，65，75

26、，85，95的情形。又因为偶数 100不含有奇素数因子 3和 7，所以集合 A1和 A1无公共元10素，集合 A3和 A3无公共元素。（2）集合 A1B=15，45，75，集合 A1B=25，55，85，集合 A1A 3=21，63，集合 A1A 3=49，91，集合A1A 3=9，51，集合 A1A 3=37，79，集合 A3B=35，集合A3B=65，集合 A1A 3B=，集合 A1A 3B=，集合A1A 3B=，集合 A1A 3B=。（3）有了上面（1）和（2）的准备工作，我们下面就开始从集合中元素的数量着手，展开阐述解决这个技术性难题的基本思想方法。（4）因为集合 A中元素的总个数为

27、50个，在集合 A中筛除集合 A1和 A1中的元素，可以转换到从集合中元素的数量来着手，即得 50-16-16=18（个） （集合 A1和 A1中元素的总个数均为 16个） 。（5）再在集合 A中筛除集合 B中的元素，转换到从集合中元素的数量着手，即得 50-16-16-10+3+3=14（个） ，因为在 50-16-16-10中集合 A1B=15，45，75中元素的总个数多减了一次，所以要加上 3；又因为在 50-16-16-10中集合 A1B=25，55，85中元素的总个数多减了一次，所以要再加上 3。（6）再在集合 A中筛除 A3和 A3中的元素，转换到从集合中元素的数量着手，即得 50

28、-16-16-10+3+3-6-6+2+2+2+2+1+1=12（个） ，因为在 50-16-16-10+3+3-6-6中集合 A1A 3=21，63中元素的总个数，集合 A1A 3=49，91中元素的总个数，集合 A1A 3=9，51中元素的总个数，集合 A1A 3=37，79中元素的总个数，集合11A3B=35中元素的总个数，集合 A3B=65中元素的总个数，均被多减了一次，所以要加上 4个 2和 2个 1。（7）从前面这个实例，我们不难得出这样一个结论：对于偶数M，利用顺筛和逆筛配合筛，再转换到利用集合中元素的数量来处理，就容易处理多了。当然对于很大很大的偶数 2m，也是肯定容易处理多了

29、，这就是解决技术性难题的基本思想方法。因为集合 A13与集合 A1（100-3）中元素的个数相等，并且均约等于 503个；集合 B中元素的个数等于 505个；集合A37与集合 A3（100-7）中元素的个数相等，并且均约等于507个；以偶数 100为例各种算法验证如下：算法一：50-16-16-10+3+3-6-6+2+2+2+2+1+1=12（个） 。算法二：50-5032-505+50152-5072+50214+50352-50105450-33.3333333-10+6.6666667-14.2857143+9.52380952+2.85714286-1.904761969.04761

30、91-59.52380959.52380969（个） 。算法三：50-5032-505+50152-5072+50214+50352-501054=50（1-23）-（505） （1-23）+（507）2（1-23）+50352（1-23）=50（1-23） （1-15）-（507）2（1-23） （1-15）=50（1-23） （1-15） （1-27）=50（13） （45）（57）95077（个） 。对于第三种验算方法，关于偶数 100，说明通过顺筛和逆筛配12合筛后，被筛除的集合中至少还有 7个奇数未被筛除，就是把 1和99再筛除还计算在内，被筛除的集合中至少还有 5个奇数未被筛除，剩

31、下的奇数必然只能满足“奇素数+奇素数=100”的情形，这就说明偶数 100能表为两个奇素数之和。现在我们开始阐述解决“哥德巴赫猜想”的基本思想方法：（1）为了解决无穷的情形，我们必须从极限这一基本点着手，解决了极限成立的情形，其它情形显然成立。（2）因为偶数 2m=1+（2m-1）=3+（2m-3）=5+（2m-5）=7+（2m-7）=（2m-7）+7=（2m-5）+5=（2m-3 ）+3=（2m-1）+1。对于“偶数 2m=奇数+奇数”来说，只有下面几种情形：偶数 2m=奇合数+奇合数，偶数 2m=奇合数+奇素数，偶数 2m=奇素数+奇素数，偶数 2m=1+奇合数，偶数 2m=1+奇素数。（

32、3）极限的情形无外孚是对于一个非常大的偶数 2m，设奇素数p1，p 2，p 3，p t均为不大于2m 的全体奇素数（p i pj ，ij，i、j=1，2，3，t） ，tN；并且假设偶数 2m均不含有奇素数因子 p1，p 2，p 3，p t，集合（2m-p 1） ， （2m-p 2） ， （2m-p 3） ， （2m-p t）中的奇数均为奇合数；这就保证了集合（2m-p 1） ，（2m-p 2） ， （2m-p 3） ， （2m-p t）中的奇数只能是前面（2）中13“偶数 2m=奇合数+奇素数”的情形。（4）设置集合 A=1，3，5，7，9， （2m-3） ， （2m-1），又设置集合 A1=

33、 p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1，集合A1=（2m-p 1） ， （2m-3p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-7p 1） ， （2m-9p 1） ， （2m-11p1） ，2m-（2m 1-1）p 1，集合A2=p2，3p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （2m 2-1）p 2，集合 A2=（2m-p 2） ，（2m-3p 2） ， （2m-5p 2） ， （2m-7p 2） ， （2m-9p 2） ， （2m-11p 2） ，2m-（2m 2-1）p 2，集合 A3=p3，3p 3，5p 3，7p 3，9p 3， （2m 3-1）p 3

34、，集合 A3=（2m-p 3） ， （2m-3p 3） ， （2m-5p 3） ， （2m-7p 3） ， （2m-9p 3） ，（2m-11p 3） ，2m-（2m 3-1）p 3，集合At=pt，3p t，5p t，7p t，9p t， （2m t-1）p t，集合 At=（2m-p t） ，（2m-3p t） ， （2m-5p t） ， （2m-7p t） ， （2m-9p t） ， （2m-11p t） ，2m-（2m t-1）p t；其中奇数（2m 1-1）p 1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m 2-1）p 2为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，

35、奇数（2m 3-1）p 3为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m t-1-1）p t-1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m t-1）p t为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数。（5）我们令集合 B=集合A1A 1A 2A 2A 3A 3A tA t1， （2m-1），只要我们在集合 A=1，3，5，7，9， （2m-3） ， （2m-1）中筛除了属于集14合 B中的全体奇数，即集合 A与集合 B的差集 C中如果完全筛除了和以及 或中 这样的所有奇数，即满足上面（2）中“偶数2m=奇合数+奇合数” ，偶数 2m=奇合数+奇素数，偶数 2m=1

36、+奇合数或者偶数 2m=1+奇素数的全体奇数，只要能证明集合 A与集合 B的差集 C中还有奇数就达到目的了；也就是说集合 C中的奇数只能满足上面（2）中“偶数 2m=奇素数+奇素数”的情形。（6）为了证明集合 C中还有奇数，我们还应一步一步着手：1在集合 A中筛除属于集合 A1和集合 A1中的奇数，得到集合 B1；2在集合 B1中筛除属于集合 A2和集合 A2中的奇数，得到集合 B2；3在集合 B2中筛除属于集合 A3和集合 A3中的奇数，得到集合 B3；t-1在集合 Bt-2中筛除属于集合 At-1和集合 At-1中的奇数，得到集合 Bt-1；t在集合 Bt-1中筛除属于集合 At和集合 A

37、t中的奇数，得到集合 Bt。如果我们把（6）的这种筛除方法再转换一下方式，即利用集合A1，A 1，A 2，A 2，A 3，A 3，A t，A t中元素的数量来加以分析探讨，可能会得到意想不到的形情。由此我们再分析如下：（7）对于正实数 x，如果我们设置符号【x】表示为不大于 x15的最大正整数。设集合1，3，5，7，9， （2m-3） ， （2m-1）中元素的总个数为 W；我们用【Wp 1】表示集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1中全体奇数的总个数，【Wp 1】表示集合（2m-p 1） ， （2m-3p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-7p 1）

38、 ，（2m-9p 1） ， （2m-11p 1） ，2m-（2m 1-1）p 1 中全体奇数的总个数， 【Wp 2】表示集合p 2，3p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （2m 2-1）p 2中全体奇数的总个数， 【Wp 2】表示集合（2m-p 2） ， （2m-3p 2） ，（2m-5p 2） ， （2m-7p 2） ， （2m-9p 2） ， （2m-11p 2） ，2m-（2m 2-1）p 2中全体奇数的总个数， 【W（p 2p1） 】表示集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1p 2，3p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （2m 2-1）p 2

39、中全体奇数的总个数，【W（p 2p1） 】表示集合（2m-p 1） ， （2m-3p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-7p 1） ，（2m-9p 1） ， （2m-11p 1） ，2m-（2m 1-1）p 1p 2，3p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （2m 2-1）p 2中全体奇数的总个数，【W（p 2p1） 】表示集合p 1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1（2m-p 2） ， （2m-3p 2） ， （2m-5p 2） ， （2m-7p 2） ， （2m-9p 2） ， （2m-11p2） ，2m-（2m 2-1）p 2 中全体奇数的总个数

40、， 【W（p 2p1） 】表示集合（2m-p 1） ， （2m-3p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-7p 1） ， （2m-9p 1） ，（2m-11p 1） ，2m-（2m 1-1）p 1（2m-p 2） ， （2m-3p 2） ， （2m-5p2） ， （2m-7p 2） ， （2m-9p 2） ， （2m-11p 2） ，2m-（2m 2-1）p 2 中全体奇数的总个数， 【W（p tpt-1p3p2p1） 】表示集合（2m-p 1） ， （2m-3p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-7p 1） ， （2m-9p 1） ， （2m-11p 1） ，16，2m-（2m

41、 1-1）p 1（2m-p 2） ， （2m-3p 2） ， （2m-5p 2） ， （2m-7p2） ， （2m-9p 2） ， （2m-11p 2） ，2m-（2m 2-1）p 2（2m-p 3） ，（2m-3p 3） ， （2m-5p 3） ， （2m-7p 3） ， （2m-9p 3） ， （2m-11p 3） ，2m-（2m 3-1）p 3（2m-p t） ， （2m-3p t） ， （2m-5p t） ， （2m-7p t） ，（2m-9p t） ， （2m-11p t） ，2m-（2m t-1）p t 中全体奇数的总个数。为了达到筛除的最大极限，我们假定偶数 2m中均不含有奇素数

42、因子 p1，p 2，p 3，p t；并且把奇数 p1， （2m-p 1） ，p 2， （2m-p 2） ，p3， （2m-p 3） ，p t， （2m-p t）等等均看作要筛除；就是在集合1，3，5，7，9， （2m-1）中筛除属于集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1中的全体奇数，筛除属于集合（2m-p 1） ， （2m-3p 1） ， （2m-5p 1） ， （2m-7p 1） ， （2m-9p 1） ， （2m-11p1） ，2m-（2m 1-1）p 1 中的全体奇数，筛除属于集合p2，3p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （2m 2-1）p 2中

43、的全体奇数，筛除属于集合（2m-p 2） ， （2m-3p 2） ， （2m-5p 2） ， （2m-7p 2） ， （2m-9p 2） ， （2m-11p2） ，2m-（2m 2-1）p 2中的全体奇数，筛除属于集合p3，3p 3，5p 3，7p 3，9p 3， （2m 3-1）p 3中的全体奇数筛除属于集合（2m-p 3） ， （2m-3p 3） ， （2m-5p 3） ， （2m-7p 3） ， （2m-9p 3） ， （2m-11p3） ，2m-（2m 3-1）p 3中的全体奇数， ，筛除属于集合pt，3p t，5p t，7p t，9p t， （2m t-1）p t中的全体奇数，筛除属

44、于集合（2m-p t） ， （2m-3p t） ， （2m-5p t） ， （2m-7p t） ， （2m-9p t） ， （2m-11pt） ，2m-（2m t-1）p t中的全体奇数。17那么集合1，3，5，7，9， （2m-1）经过上面这样筛除后集合中最终剩下奇数的总个数可以转化为下面这种计算形式：Y=W-【Wp 1】-【Wp 1】-【Wp 2】-【Wp 2】+【W（p 2p1） 】+【W （p 2p1） 】+【W（p 2p1） 】+【W（p 2p1） 】-【Wp 3】-【W p3】+【W（p 3p1） 】+【W（p 3p1） 】+【W（p 3p2） 】+【W （p 3p2） 】+【W（

45、p 3p1） 】+【W（p 3p1） 】+【W（p 3p2） 】+【W （p 3p2） 】-【W（p 3p2p1） 】-【W（p 3p2p1） 】-【W （p 3p2p1） 】-【W（p 3p2p1） 】-【W（p 3p2p1） 】-【W （p 3p2p1） 】-【W（p 3p2p1） 】-【W（p 3p2p1） 】-【Wp 4】-【W p4】+-【Wp t】-【Wp t】+（-1） t【W（p tpt-1p3p2p1） 】 。只要我们能证明【W（p 2p1） 】=【W（p 2p1） 】=【W（p 2p1） 】=【W （p 2p1） 】 ；【W（p 3p2p1） 】=【W（p 3p2p1） 】

46、= 【W （p 3p2p1） 】=【W（p 3p2p1） 】=【W（p 3p2p1） 】=【W （p 3p2p1） 】=【W（p 3p2p1） 】=【W（p 3p2p1） 】 ；【W（p tpt-1p3p2p1） 】=【W（p tpt-1p3p2p1） 】=【W（p tpt-1p3p2p1） 】=【W（p tpt-1p3p2p1） 】=【W（p tpt-1p3p2p1） 】 。那么就有 Y= W-【W p1】-【Wp 1】-【Wp 2】-【W p2】+【W（p 2p1） 】+【W（p 2p1） 】+【W（p 2p1） 】+【W （p 2p1） 】-【Wp 3】-【Wp 3】+ 【W（p 3p1

47、） 】+【W（p 3p1） 】+【W （p 3p2） 】+【W（p 3p2） 】+【W（p 3p1） 】+【W（p 3p1） 】+ 【W （p 3p2） 】+【W（p 3p2） 】-【W（p 3p2p1） 】-【W（p 3p2p1） 】18-【W（p 3p2p1） 】-【W（p 3p2p1） 】-【W（p 3p2p1） 】-【W（p 3p2p1） 】-【W（p 3p2p1） 】-【W（p 3p2p1） 】-【Wp 4】-【Wp 4】+-【Wp t】-【Wp t】+（-1） t【W（p tpt-1p3p2p1） 】=W-【Wp 1】-【Wp 1】-【Wp 2】-【Wp 2】+【W（p 2p1） 】+【W（p 2p1） 】+【W（p 2p1） 】+【W（p 2p1） 】-【Wp 3】-【Wp 3】+【 W（p 3p1） 】+【W（p 3p1） 】+【 W（p 3p2） 】+【W（p 3p2）