1、1“哥德巴赫猜想”讲义（第 8 讲）“哥德巴赫猜想”证明（3 ）主讲 王若仲第 7 讲我们讲解到了 引理 5，这一讲我们开始从定义 5 讲起。定义 5：对于某一偶数 2m，mN，m4，若 p+a=2m，其中 p 为奇素数，a 为奇合数或者 1，则称奇素数 p 为关于偶数 2m 的虚合数，记为 2m（p） 。比如：5+95=100，1+97=98 等，称奇素数 5 为关于偶数 100 的虚合数，称奇素数 97 为关于偶数 98 的虚合数。定义 6：在集合1，3，5，7，9， （M-3） ， （M-1）中筛除属于集合3p，5p，7p，9p， （2m-1）p中的全体元素，这种筛除方式，称之为埃拉托斯
2、特尼顺筛（简称顺筛） ；其中 M 为比较大的偶数，p 为小于偶数 M 的奇素数， （2m-1）p 为该形式下小于偶数 M 的最大奇数。定义 7：在集合1，3，5，7，9， （M-3） ， （M-1）中筛除属于集合（M-3p） ， （M-5p） ， （M-7p） ， （M-9p） ， ，M-（2m-1）p中的全体元素，这种筛除方式，称之为埃拉托斯特尼逆筛（简称逆筛） ；其中 M 为比较大的偶数，p 为小于偶数 M 的奇素数， （2m-1）p为该形式下小于偶数 M 的最大奇数。定义 8：对于正实数 x，符号x表示为不小于 x 的最小正整数；符号【x】表示为不大于 x 的最大正整数。2引理 6：对于
3、一个相当大的奇数 M，关于任何两个均小于正整数M 的奇素数 p 和 q（pq） ，若在集合1，3，5 ，7，9，M中筛除属于集合p，3p，5p，7p，9p， （2m-1） p中的全体元素和筛除属于集合q，3q，5q，7q，9q， （2m-1 ）q中的全体元素，则有下列不等式成立：W-【Wp】-【Wq】+【W（pq） 】W（1-1p） （1-1q） 。其中 W 为集合1，3，5，7，9，M中元素的个数， （2m-1）p 为该形式下不大于奇数 M 的最大奇数， （2m-1）q 为该形式下不大于奇数 M 的最大奇数。证明：对于一个相当大的奇数 M，由引理 4 可知，关于任一小于奇数 M 的奇素数 g
4、，那么集合g，3g，5g，7g， 9g， （2m-1）g中奇数的总个数与集合1，3，5，7，9， M中奇数的总个数的比值约等于 1g，其中（2m-1）g 为该形式下不大于奇数 M 的最大正整数；那么任何两个均小于正整数 M 的奇素数 p 和 q（pq） ，若要在集合1，3，5，7，9，M中筛除属于集合p，3p，5p，7p，9p， （2m-1）p中的全体奇数和筛除属于集合q，3q，5q，7q，9q， （2m-1）q中的全体奇数，则有 W-【W p】-【Wq】+【W（pq） 】W（1-1p） -【W q（1-1p） 】W（1-1p） （1-1q） ，其中 W 为集合1， 3，5，7，9，M中奇数的
5、总个数。故引理 6 成立。引理 7：对于一个相当大的奇数 M，设奇素数p1，p 2，p 3，p t均为不大于M 的全体奇素数（ pi pj 3，ij，i、j=1，2，3，t） ，若需在集合1，3，5，7，9，M中筛除全体奇合数，那么只需在集合1，3，5，7，9，M中筛除属于集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m-1）p 1中的全体元素，筛除属于集合p 2，3p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （2m-1）p 2中的全体元素，筛除属于集合p 3，3p 3，5p 3，7p 3，9p 3， （2m-1）p 3中的全体元素，筛除属于集合p t，3p t，5p t，7p t，9p
6、 t， （2m-1）p t中的全体元素；则有下列不等式成立：W-（【Wp 1】+【Wp 2】+【Wp 3】+【Wp t】 ）+【W（p 1p2） 】+【W（p 1p3） 】+【W（p 1p4） 】+【W（p t-1pt） 】- （【W（p 1p2p3） 】+【W（p 1p2p4） 】+【W（p 1p2p5） 】+【W（p t-2pt-1pt） 】+（-1）t【W（p 1p2p3pt-2pt-1pt） 】W（1-1p 1） （1-1 p2） （1-1p3）（1-1p t-1） （1-1p t） 。其中 W 为集合1，3，5，7，9，M中奇数的总个数， （2m-1 ）p 1为该形式下不大于奇数 M
7、 的最大奇数， （2m-1）p 2为该形式下不大于奇数 M 的最大奇数， （2m-1）p 3为该形式下不大于奇数 M 的最大奇数， ， （2m-1）p t-1为该形式下不大于奇数 M 的最大奇数， （ 2m-1）p t为该形式下不大于奇数 M 的最大奇数。证明：由引理 4 和引理 5 以及引理 6 可知，因为在区间M，M中的任何一个奇合数 a，奇合数 a 均能被集合 p1，p 2，p 3，p t中某一个奇素数 pi整除，那么 W-（【Wp 1】+【W p2】+【Wp 3】+【Wp t】 ）+【W（p 1p2） 】+【W（p 1p3） 】+【W （p1p4） 】4+【W（p t-1pt） 】-（
8、【W（p 1p2p3） 】+【W（p 1p2p4） 】+【W（p 1p2p5） 】+【W（p t-2pt-1pt） 】+（-1） t【W（p 1p2p3pt-2pt-1pt） 】= W-【Wp 1】-（【Wp 2】-【W（p 1p2） 】 ）-（【Wp 3】-【W（p 1p3） 】-【W（p 2p3） 】+【W（p 1p2p3） 】 ）-（【Wp t】-【W（p 1pt） 】-【W（p 2pt） 】-【W（p 3pt） 】-【W（p t-1pt） 】+【W（p 1p2pt） 】+【W（p 1p3pt） 】+【W（p 1p4pt） 】+【W（p t-2pt-1pt） 】 ）-+（-1）t【W（p
9、 1p2p3pt-2pt-1pt） 】W（1-1p 1） -【Wp 2（1-1p 1） 】-（【Wp 3】-【W（p 1p3） 】-【W（p 2p3） 】+【W（p 1p2p3） 】 ）-（【Wp t】-【W（p 1pt） 】-【W（p 2pt） 】-【W（p 3pt） 】-【W（p t-1pt） 】+【W（p 1p2pt） 】+【W（p 1p3pt） 】+【W（p 1p4pt） 】+【W（p t-2pt-1pt） 】 ）-+（-1） t【W（p 1p2p3pt-2pt-1pt） 】W（1-1p 1） （1-1p 2） -（【Wp 3（1-1p 1） （1-1p 2） 】 ）-（【Wp t】-
10、【W（p 1pt） 】-【W（p 2pt） 】-【W（p 3pt） 】-【W（p t-1pt） 】+【W（p 1p2pt） 】+【W（p 1p3pt） 】+【W（p 1p4pt） 】+【W（p t-2pt-1pt） 】 ）-+（-1）t【W（p 1p2p3pt-2pt-1pt） 】W（1-1p 1） （1-1p 2） （1-1p 3） -+（-1） t【W（p 1p2p3pt-2pt-1pt） 】W（1-1p 1） （1-1p 2） （1-1p 3）（1-1p t-1） （1-1p t） 。故引理7成立。参考文献1戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版2闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版3刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版4王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983 年 2 月第 1 版5二一四年四月十五日
