1、第 1 页 共 7 页 “哥德巴赫猜想”讲义（第 22 讲）“任一不小于 4 的偶数 E，偶数 E 均可表为两个均不大于该偶数 E 两倍的奇素数之差”证明（1 ）主讲 王若仲前面我们讲了“哥德巴赫猜想”的证明，这一讲开始我们讲“任一不小于 4 的偶数 E，偶数 E 均可表为两个均不大于该偶数 E 两倍的奇素数之差” 的证明。“任一偶数均可表为两个奇素数之差”这个数学问题，与“哥德巴赫猜想”是一对姊妹数学问题，要解决的难度是相当的。为了证明“任一偶数均可表为两个奇素数之差”这个数学问题， 我采用“顺筛” 和“逆筛” 这两种筛法，并且找到了筛法公式 Y=m（1-d1p1）（1-d2p2）（1-d3
2、p3）（1-dt-1pt-1）（1-dtpt），其中 di=1 或 2（i=1，2，3，t）。即任意给定一个比较大的偶数 2m（m3），设奇素数p1，p 2，p 3，p t均为不大于4m 的全体奇素数（ pi pj ，ij，i、j=1，2，3，t） ，tN，对于 “2m=奇数- 奇数”（m3）来说 ，就只有下面几种情形：（1）2m=奇合数-奇合数， （2）2m=奇合数- 奇素数， （3）2m=奇素数-奇合数， （4）2m=奇素数-奇素数， （5）2m=奇合数-1 ，（6）2m=奇素数-1。我们的目的就是要筛 除掉（1）和（2）以及（3）和（5）或（6）情形中的全体奇数（因为（5）和（6）的情形
3、不可能同 时成立）。但是下面这两种情形我们不必分析讨论，偶数 2m=q-p，p 和 q 均第 2 页 共 7 页 为奇素数；集合（2m+p 1），（2m+p2），（2m+p3），（2m+pt）中至少有一个奇数为奇素数。因为这两种情形，偶数 2m 已经可表为“奇素数-奇素数”。 我们利用上面 这个筛法公式，就能够明确的判定在任意设定的集合1，3， 5，7，9，（4m-1）中，完全可以 筛除掉集合1，3，5，7，9，（4m-1）中的全体奇合数，完全可以 筛除掉偶数 2m分别加上集合1，3， 5，7，9，（2m-1）中的每一个奇合数而得到的全体奇数，完全可以筛除掉集合（2m+1）， （2m+3），（
4、2m+5），（2m+7），（2m+9），（4m-1）中的每一个奇合数分别减去 2m 而得到的全体奇数；最后集合中剩下的奇数必定只满足“奇素数- 奇素数=2m”的情形。定理 6：任一不小于 4 的偶数 E，偶数 E 均可表为两个均不大于该偶数 E 两倍的奇素数之差。证明：对于任一比较大的偶数 2m，mN，我们设奇素数p1，p 2，p 3，p r均为不大于2m 的全体奇素数（p i pj ，ij，i、j=1，2，3，r） ，rN；设奇素数p1，p 2，p 3，p t均为不大于4m 的全体奇素数（p i pj ，ij，i、j=1，2，3，t） ，tN。因为偶数 2m=（4m-1）-（2m-1）=（4
5、m-3）-（2m-3）=（4m-5）-（2m-5）=（4m-7）-（2m-7）=（2m+3）-3= （2m+1）-1。对于“奇数-奇数=2m”的情形，则有下列几种情形：1、 奇合数-奇合数=2m，2、 奇合数-奇素数=2m，3、 奇素数-奇合数=2m，第 3 页 共 7 页 4、 奇素数-奇素数=2m，5、 奇合数-1=2m，6、 奇素数-1=2m，所以关于“2m=奇数-奇数”的情形，我们具体分析如下：（） 、对于偶数 2m，设不大于偶数 2m 的全体奇数组成的集合为1，3，5，7，9，H，u 为集合1，3， 5，7，9，H中元素的个数，设不大于偶数 4m 的全体奇数组成的集合为1，3，5，7
6、，9，M，W 为集合1，3，5， 7，9，M 中元素的个数，由引理 5 可知，若要在集合1，3， 5，7，9，M中筛除全体奇合数，那么只须在集合1，3，5， 7，9，M中筛除属于集合3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1中的全体元素，筛除属于集合3p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （2m 2-1） p2中的全体元素，筛除属于集合3p 3，5p 3，7p 3，9p 3， （2m 3-1）p 3中的全体元素，筛除属于集合3p r，5p r，7p r，9p r， （ 2mr-1）p r中的全体元素，筛除属于集合3p t，5p t，7p t，9p t， （2m t-1）
7、p t中的全体元素。其中（2m 1-1）p 1为该形式下不大于奇数 M 的最大奇数，（2m 2-1）p 2为该形式下不大于奇数 M 的最大奇数， （2m 3-1）p 3该形式下为不大于奇数 M 的最大奇数， （2m r-1）p r为该形式下不大于奇数 M 的最大奇数， （2m t-1-1）p t-1为该形式下不大于奇数 M的最大奇数， （2m t-1）p t为该形式下不大于奇数 M 的最大奇数。（） 、我们令集合 A=3p1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 13p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （2m 2-1）p 2第 4 页 共 7 页 3p 3，5p 3，7p 3
8、，9p 3， （2m 3-1）p 33p r，5p r，7p r，9p r， （2m r-1）p r3p t，5p t，7p t，9p t， （2m t-1）p t，则集合 A 中的元素均为奇合数。设关于偶数 2m 的全体负虚合数组成的集合为 B，由定义 9 可知，因为集合 AB 中的任一元素都能组成负合对子，所以只要我们探讨得出关于偶数 2m 的全体负虚合数组成的集合 B 与全体奇合数组成集合 A 的并集不包含集合1，3，5，7，9，M；那么集合1，3，5，7，9，M与集合 AB 的差集中的任一元素必然都能组成负素对子，即集合1，3，5，7，9，M与集合 AB 的差集中至少有两个奇素数 p
9、和 q，使得 p-q=2m。（1） 、当偶数 2m 中含有奇素数因子 pi（i=1，2，3，t）时，对于集合p i，3p i，5p i，7p i，9p i， （2m i-1）p i中任一奇数 g，奇数（g-2m） （2mg4m）和奇数（2m+g） （0 g2m）仍能被奇素数 pi整除；说明奇数（g-2m）和奇数（2m+g）为奇合数或者为关于偶数 2m 的负虚合数。若在集合1，3，5，7， 9，M中筛除属于集合p i，3p i，5p i，7p i，9p i， （2m i-1）p i中的全体元素，其中（2m i-1）p i为该形式下不大于偶数 4m 的最大奇数，由引理 4，引理 6，引理 7，推论
10、 1，推论 2，推论 3，推论 4，推论 5 可知，那么筛除后集合1，3，5，7，9，M中剩下元素的个数 X 可转化为下面这种计算方式：X=W-【Wp i】W（1-1p i） 。（2） 、当偶数 2m 中不含有奇素数因子 pi（i=1，2，3，t）第 5 页 共 7 页 5时，对于集合p i，3p i，5p i，7p i，9p i， （2m i-1）p i中任一奇数 g：、当奇数 g 小于偶数 2m 时，则奇数（2m+g）不能被奇素数 pi整除；、当奇数 g 大于偶数 2m 而小于偶数 4m 时，则奇数（g-2m）不能被奇素数 pi整除；、当奇数（2m+p i）为奇素数时，显然 2m=（2m+
11、p i）-p i，这样的情形我们不在讨论；其中（2m i-1）p i为该形式下不大于偶数 4m 的最大奇数。和 说明奇数（2m+g）或（g-2m） （除 g=pi外）为奇合数或者为关于偶数 2m 的负虚合数。在集合1，3，5， 7，9，M中除了要筛除属于集合p i，3p i，5p i，7p i，9p i， （2m i-1）p i中的全体元素，同时在集合1，3，5，7，9，M 中还要筛除和中的全部情形，即要筛除 4m 以内 pi的全体奇数倍（除 pi1 外） ；还要筛除 2m 以内 pi的全体奇数倍分别加上 2m 所得的全体奇数 ; 还要筛除 2m 至 4m 以内 pi的全体奇数倍分别减去 2m
12、 所得的全体奇数;那么由第（2）的情形，以及由引理 4，引理 6，引理 7，推论 1，推论2，推论 3，推论 4，推论 5 可知，则筛除后集合1，3，5，7，9，M中剩下元素的个数 X 可转化下面这种计算方式：X=W-【2Wp 1】W（1-2p 1） 。（3） 、在集合1，3，5，7，9，M中筛除属于集合p1，3p 1，5p 1，7p 1，9p 1， （2m 1-1）p 1中的全体元素，筛除属第 6 页 共 7 页 于集合p 2，3p 2，5p 2，7p 2，9p 2， （2m 2-1）p 2中的全体元素，筛除属于集合p 3，3p 3，5p 3，7p 3，9p 3， （2m 3-1）p 3中的
13、全体元素，筛除属于集合3p r，5p r，7p r，9p r， （2m r-1）p r中的全体元素筛，筛除属于集合pt，3p t，5p t，7p t，9p t， （2m t-1）p t中的全体元素，以及筛除关于偶数 2m 的全体负虚合数，其中包括把奇数 p1， （2m+p 1） ，p2， （2m+p 2） ，p 3， （2m+p 3） ，p t， （2m+p t）等等均看作要筛除；根据上述（1）和（2）中分析的情形，由引理 5，引理 7，引理 9，推论 1，推论 2，推论 3，推论 4，推论 5 可知，我们可以把按照上述这样的情形筛除后集合1，3，5，7，9，M中最后剩下元素的个数转化为下列计
14、算公式：Y=W-【W p1】- +（-1） t【W（p 1p2p3pt）】W（1-d 1p1） （1-d2p2） （1-d 3p3）（1-d t-1pt-1） （1-d tpt） ，其中 di=1 或2（i=1，2，3，t） 。第 1、当偶数 2m 中含有奇素数因子 pi时，那么 di取值为 1；第 2、当偶数 2m 中不含有奇素数因子 pi，并且（2m+p i）为奇合数时，那么 di取值为 2。对于上述计算公式 Y=W（1-d 1p1） （1-d 2p2） （1-d3p3）（1-d t-1pt-1） （1-d tpt） 来说，由上述第（ 2）和第（3）分析的情形可得，其原因是由下面的情形一步
15、一步分析得来：Y1W（1-d 1p1） ；第 7 页 共 7 页 Y2W（1-d 1p1） -【 W（1-d 1p1）d 2p2】W（1-d 1p1）（1-d 2p2） ；Y3W（1-d 1p1） （1-d 2p2） -【W（1-d 1p1） （1-d 2p2）d 3p3】W（1-d 1p1） （1-d 2p2） （1-d 3p3） ；YtW（1-d 1p1） （1-d 2p2） （1-d 3p3）（1-d t-1pt-1） （1-dtpt） 。所以从上述（1）和（2）以及（3）中分析的情形可知，实际上不应被筛除的奇数总个数的数量不小于数值 Y。参考文献1戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版2闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版3刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版4王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983 年 2 月第 1 版二一四年四月二十六日
