1、圆锥曲线第 第一 二定 定义 义标准方程的关系,abc椭圆 性质 对称性焦点顶点离心率准线焦半径直线与椭圆的位置关系相交相切相离第 第一 二定 定义 义标准方程的关系,abc双曲线 性质 对称性焦点顶点离心率准线焦半径直线与双曲线的位置关系相交相切相离渐近线抛物线 定义 标准方程性质对称性焦点顶点离心率准线焦半径直线与抛物线的位置关系相交相切相离圆锥曲线【知识网络】31 椭圆【考点透视】一、考纲指要1熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程2考查椭圆的离心率，直线的方程，平面向量的坐标表示，方程思想等数学思想方法和综合解题能力.二、命题落点圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的
2、重点内容，高考中主要出现三种类型的试题： 考查圆锥曲线的概念与性质； 求曲线方程和轨迹； 关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要考查直线方程,平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力.【典例精析】例 1：（2005全国 1）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 轴上，斜率为 1 且过x椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点， 与 共线B)1,3(a（1）求椭圆的离心率；（2）设 M 为椭圆上任意一点，且 ，证明 为),( RAM2定值解析:（1）设椭圆方程为 ,则直线 AB 的方程21(0),(xyabFc代入 ,化简得 yxc21yab2222()
3、 0xab令 ,则 12(,)()ABx22211,ccab由 与 共线,12,(3,)OyOAB得 ,又 ，3()()0yx12,yxc1212,xc即 ,所以 ， ，23abab263acb故离心率 63ce（2）由（）知 ,所以椭圆 可化为2ab21xyab223xyb设 ,由已知得 ，()OMxy12(,)(,)(,)xyxy12.在椭圆上, ，()xy2211()3()3xyb即 2221 23yx由（1）知 ，22,xcabc121212,833()abxyxcx224390.又 代入，得 22213,3xybxyb21故 为定值 ,定值为 1 2例 2：（2005上海）如图，点
4、、 分别是椭圆 长轴的左、右端点，点AB21360xyF 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于 轴上方， PAF（1）求点 P 的坐标；（2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于 ，求椭圆上的点MB到点 M 的距离 的最小值d解析:（1）由已知可得点 A（6，0） ，F（4，0）设点 P 的坐标是 ,),( yxPyxAyx则，由已知得 .623,018920)4(61203 xxyx 或则xyOE由于 ).325,(,325,3,0的 坐 标 是点于 是只 能 Pyxy（2）直线 AP 的方程是 .06设点 M 的坐标是（m，0） ，则 M 到直线 AP 的距
5、离是 |6|m，于是 ,2,|,6|2| m解 得又 椭圆上的点 ),(yx到点 M 的距离 d，有15)9(49504)( 22 xxyxd由于 .1,9,取 得 最 小 值时当 d例 3：（2005福建）已知方向向量为 的直线 l 过点（ ）和椭圆)3,(v32,0的焦点，且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准)0(1:2bayxC线上.（1）求椭圆 C 的方程；（2）是否存在过点 E（2，0）的直线 m 交椭圆 C 于点M、N，满足 cotMON0（O 为原点）.若存在，求直线 m 的方程；若不463ON存在，请说明理由.解析:（1）直线 ， :2lyx过原点垂直 的
6、直线方程为 ， l3解得 .23x椭圆中心（0，0）关于直线 的对称点在椭圆 C 的右准线上，l.2ca直线 过椭圆焦点， 该焦点坐标为（ 2，0）.l故椭圆 C 的方程为 .2,6,2ba .162yxxyOEMN xyOEMN（2）设 M（ ） ，N（ ）.1,yx2,yx当直线 m 不垂直 轴时，直线 代入，整理得)(:km,06)13(222 kxk ,13,21221 x ,13)(6214)(4)(| 22221212 kkkxxkMN点 O 到直线 MN 的距离 2|kd即 ,cot634MONs|s0,inN ,634|.632,in| dSOOMN即 ).1(6341|642
7、2kk整理得 .,2当直线 m 垂直 x 轴时，也满足 .632OMNS故直线 m 的方程为 ,3xy或 或,23xy.2经检验上述直线均满足 .所以所求直线方程为0ONM,32xy或 或,32xy.2x【常见误区】解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点.【基础演练】1(2005广东) 若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 m= （ x12myx2）A B C D333832(2005福建) 设
8、的最小值是 （ baba则,62,R）A B C3 D5273(2005全国 3) 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F 2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F 1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A B C D214(2005江苏) 点 在椭圆 的左准线上，过点 P 且方向为)1,3(P)0(12bayx的光线经直线 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为5,2(ay（ ）A B C D3312215 （2005重庆）已知 是圆 为圆心）上一动点，线段A),02(1:()4(FxyFAB 的垂直平分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为 .6如图所示,
9、底面直径为 的圆柱被与底面成 的平面所截，1cm30其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为 7(2005辽宁) 已知椭圆 的左、右焦点分别是)(2bayx、 ， 是椭圆外的动点，满足 ，0,(1cF),(2cQaQF2|1点是线段 与该椭圆的交点，点在线段 上，并且1 2yxO12FP满足 0|,22TFP（1）设 为点的横坐标，证明 ；x xacP|1（2）求点的轨迹的方程；（3）试问：在点的轨迹上，是否存在点，使 的面积 若存在，21MF2bS求 的正切值；若不存在，请说明理由21MF8(2005湖南) 已知椭圆 C： 1（ab0）的左、右焦点为 F1、F 2，离心率2
10、xy为 e. 直线 l：yex a 与 x 轴 y 轴分别交于点 A、B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P 是点 F1 关于直线 l 的对称点，设 .（1）证明：1e 2；（2）若 ，PF 1F2 的周长为 6，写出椭圆 C 的方程；43（3）确定 的值，使得 PF1F2 是等腰三角形.9(2005湖北) 设 A、B 是椭圆 上的两点，点 N（1，3）是线段 AB 的中点，3yx线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点.（1）确定 的取值范围，并求直线 AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的 ，使得 A、B、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.32 双曲线【考点透视
11、】一、考纲指要熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质二、命题落点1考查了圆锥曲线中双曲线的渐近线方程与准线方程，以及标准方程中 a,b,c 之间的关系,两渐近线间的夹角的求法，如例 1. 2双曲线的第一、第二定义在解题中的灵活运用,如例 2;3考查等边三角形的性质，焦点三角形公式及离心率公式，灵活运用焦点三角形公式避免了繁琐的运算，突出观察研究能力的考查，如例 3.【典例精析】例 1： (2005湖南 ) 已知双曲线 1（a0，b0）的右焦点为 F，右准线与2xy一条渐近线交于点 A，OAF 的面积为 （O 为原点） ，则两条渐近线的夹角（ ） A30 B 45 C60 D90解析:双
12、曲线的右焦点 F(c,0)，右准线方程为 x= ,一条渐近线方程为 y= x，可得点ca2abA 的坐标（ ， ） ，OAF 的面积 SOAF= OFYA= c = ab,又题意已知 Sca2b2121OAF= a2,所以 a=b,两条渐近线间的夹角为 900 .1答案： D例 2：(2005全国 3)已知双曲线 的焦点为 F1、 F2，点 M 在双曲线上且2yx则点 M 到 x 轴的距离为 （ 10,F）A B C D4353233解析: 设 M 到 x 轴的距离为 h， ，1,abc又 ，22212120 1()FFF由双曲线定义得 ，212| 4M再由 ， .12122MF hS3答案：
13、 C 例 3：（2005福建）已知 F1、F 2 是双曲线 的两焦点，以线)0,(12bayx段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2，若边 MF1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 ( )A B C D432313解析:令 ，边 MF1 交双曲线于点 N，连结 N 易知12(,0),)Fc- 2FXYx=a2cMPQO F的 边 长 ， 且 点 必 在 轴 上 ，可 得 的 坐 标 （ 0， 3C）又 为 正 三 角 形由 焦 点 三 角 形 面 积 公 式121122219MFMyNF=oVQ又又 c又 e=a12121221 2222cot 33()431NFFMFNSbbSCbcb
14、acc=-=- +=+VVQ答案： D 例 4.（2005山东）设双曲线 的右焦点为 ，右准线 与两条21(0,)xyabFl渐近线交于 P、 两点，如果 是直角三角形，则双曲线的离心率QPF._e解析:如图所示，且 ，F,在 中 ，2(,0)abcPFQ2PM 2OFM 2()(abPcc2,aOFc将代入式化简得： ,.ea答案: 2【常见误区】1对双曲线离心率、双曲线渐近线等基本知识考察时, 应想法利用已知曲线构造等式,从而解出 的比值,即双曲线的离心率.这一点考生常不能注意到,致使离心率求解出错,如例ca3、例 4.2解题过程中,特别是客观题中,应注意双曲线第一第二定义的应用,此问题考
15、生常会忽视,如例 1、例 2.【基础演练】1 （2006广东）已知双曲线 ，则双曲线右支上的点 到右焦点的距离与点239xyP到右准线的距离之比等于 （ P）A B C2 D 42232 (2005天津 ) 设双曲线以椭圆 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦195yx点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ）A B C D2342433平面内有两个定点 12,F和一动点 M，设命题甲， 是定值，命题乙：12|FM点 M的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ）A充分但不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为 12,e，则 应满足的关系是 （ 12,e）A B 21 21eC21 D 21e5(2005浙江) 过双曲线 (a0，b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线2xy相交于 M、N 两点，以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_6(2005江西) 以下几个关于圆锥曲线的命题中： 设 A、B 为两个定点，k 为非零常数，则动点 P 的轨迹为双曲线； 设定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦|PABkAB，O 为坐标原点，若 则动点 P 的轨迹为椭圆；方程1(),2OA
