1、1 2.6.3 曲线的交点 学习目标 1.掌握直线与曲线的交点的求解方程.2.会求曲线与曲线的交点问题.3.会解 决有关曲线的交点的实际应用 知识点一 直线与曲线的交点 求解直线与曲线的交点问题时通常将直线方程与曲线方程联立起来后得到一个二次方 程利用二次方程的判别式确定交点的个数 0两个交点 0一个交点 0，即k 或k0，即k1 时，l 与C 相离 (2)当k0 时，直线l：y1 与曲线C：y 2 4x 相交 综上所述，当k1 时，l 与C 相离 题型二 弦长问题 例2 顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x2y10 截得的弦长为 ，求抛物 15 线方程 解 设抛物线方程为x 2 ay(
2、a0)， 由方程组Error! 消去y 得：2x 2 axa0，直线与抛物线有两个交点， (a) 2 42a0，即a0 或a8. 设两交点坐标为A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )， 则x 1 x 2 ，x 1 x 2 ，y 1 y 2 (x 1 x 2 )， a 2 a 2 1 2 弦长为AB x1x22y1y22 5 4 x1x22 5 4 x1x224x1x2 . 1 4 5a28a AB ， 15 ， 1 4 5a28a 153 即a 2 8a480，解得a4 或a12. 所求抛物线方程为x 2 4y 或x 2 12y. 反思与感悟 求直线被双曲线截得的弦长，一般利用弦长
3、公式AB |x 1 x 2 | 1k2 |y 1 y 2 |及公式|x 1 x 2 | 较为简单 1 1 k2 b24ac |a| 跟踪训练2 已知直线y2xb 与曲线xy2 相交于A、B 两点，若AB5，求实数b 的 值 解 设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 ) 联立方程组Error!消去y，整理得2x 2 bx20. x 1 、x 2 是关于x 的方程的两根， x 1 x 2 ，x 1 x 2 1. b 2 又AB ，其中k2，代入则有 1k2 x1x224x1x2 AB 5，b 2 4，则b2. 122 b216 2 故所求b 的值为2. 题型三 与弦的中点有关的问题 例
4、3 抛物线y 2 8x 上有一点P(2,4)，以点P 为一个顶点，作抛物线的内接PQR，使得 PQR 的重心恰好是抛物线的焦点，求QR 所在的直线的方程 解 抛物线y 2 8x 的焦点为F(2,0) F 为PQR 的重心，QR 的中点为M(2，2)， 如图所示 设Q(x 1 ，y 1 )、R(x 2 ，y 2 )， 则有Error! ，得y y 8(x 1 x 2 ) 2 1 2 2 又y 1 y 2 4， 直线QR 的斜率为k 2. y1y2 x1x2 8 y1y2 8 4 QR 所在直线的方程为y22(x2)， 即2xy20. 反思与感悟 本题设出Q、R 的坐标，得出y 8x 1 ，y 8
5、x 2 ，再作差的解法称为点差法， 2 1 2 2 点差法是解决圆锥曲线的中点弦问题的有效方法，应熟练掌握它 跟踪训练3 直线l 与抛物线y 2 4x 交于A、B 两点，AB 中点坐标为(3,2)，求直线l 的方 程 解 设A(x 1 ，y 1 )、B(x 2 ，y 2 )，则y 4x 1 ，y 4x 2 ，相减，得(y 1 y 2 )(y 1 y 2 )4(x 1 x 2 )， 2 1 2 24 又因为y 1 y 2 4，所以k AB 1. y1y2 x1x2 所以直线l 的方程为y2x3，即xy10. 1以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两 个焦点恰
6、好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_ 答案 1 3 解析 2ac c，e 1. 3 c a 3 2已知两条直线2xym0 与xy10 的交点在曲线x 2 y 2 1 上，则m 的值为 _ 答案 1 或2 解析 由Error! 得交点为(m1，m2)将交点代入方程x 2 y 2 1 中得(m1) 2 (m2) 2 1， 化简得：m 2 3m20，m1 或m2. 3已知椭圆 1(ab0)的左、右焦点分别为F 1 、F 2 .过F 1 作倾斜角为30的直线 x2 a2 y2 b2 与椭圆的一个交点P，且PF 2 x 轴，则此椭圆的离心率e 为_ 答案 3 3 解析 由题意得PF 2 ，PF
7、1 ， b2 a 2b2 a 由椭圆定义得 2a,3b 2 3a 2 3c 2 2a 2 ， 3b2 a 则此椭圆的离心率e 为 . 3 3 4双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x2y200 上，两焦点关于原点对 称，离心率e ，则此双曲线的方程是_ 5 3 答案 1 y2 36 x2 64 解析 焦点坐标为(0,10)， 故c10，a6，b8. 5抛物线x 2 4y 与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A，B 两点，则AB_.5 答案 4 解析 由抛物线方程x 2 4y 得p2，且焦点坐标为(0，1)，故A，B 两点的纵坐标都 为1，从而AB|y 1 |y 2 |p1124. 1.解
8、方程组Error!时，若消去y，得到关于x 的方程ax 2 bxc0，这时，要考虑a0 和 a0 两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除a0，0 外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时， 只有一个交点(0 不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件) 2求解与弦长有关的问题，一般用“根与系数的关系”来处理，即联立方程组Error! 消去y，得ax 2 bxc0(a0)，设其两根为x 1 ，x 2 ，则P 1 P 2 |x 1 x 2 | 1k2 . 1k2x1x224x1x2 1k2 b2 a2 4c a 3求解与弦的中点有关的问题，除可用“根与系数的关系”外，还可以用“平方差法” (设而不求)即设P 1 (x 1 ，y 1 )、P 2 (x 2 ，y 2 )是圆锥曲线mx 2 ny 2 1 上两点，P 0 (x 0 ，y 0 )是弦 P 1 P 2 的中点，则由mx ny 1，mx ny 1 相减， 2 1 2 1 2 2 2 2 得m(x 1 x 2 )(x 1 x 2 )n(y 1 y 2 )(y 1 y 2 )0，从而kP 1 P 2 . y1y2 x1x2 mx0 ny0
