1、26.3 曲线的交点学习目标 1.掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法 .2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.进一步体会数形结合的思想方法知识链接1直线与椭圆有几个交点？答：两个交点、一个交点和无交点2直线与双曲线和抛物线何时仅有一个交点？答：直线与双曲线和抛物线相切或直线与双曲线渐近线平行以及直线与抛物线对称轴平行时仅有一个交点预习导引1两曲线的交点个数与对应的方程组的实数解组数相同2设斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y 1)、P 2(x2，y 2)，则弦长P1P2 |x1x 2|.1 k2要点一 直线与圆锥曲线的交点问题例 1 k 为何值时，直线 ykx2 和曲线 2
2、x23y 26 有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？解 依题意得方程组Error!代入整理得(23k 2)x212kx60.(12k) 246(23k 2) 24(3k22)，当 3k220，即 k 或 k0，即 k1 时，l 与 C 相离(2)当 k0 时，直线 l：y 1 与曲线 C：y 24x 相交综上所述，当 k1 时，l 与 C 相离要点二 弦长问题例 2 顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线被直线 x2y 10 截得的弦长为 ，求抛物线15方程解 设抛物线方程为 x2ay (a0)，由方程组Error!消去 y 得：2x 2ax a0， 直线与抛物线有两个交点，(a) 242a
3、0，即 a0 或 a8.设两交点坐标为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 ，y 1y 2 (x1x 2)，a2 a2 12弦长为 AB (x1 x2)2 (y1 y2)2 54(x1 x2)2 54(x1 x2)2 4x1x2 .145(a2 8a)AB ，15 ，145(a2 8a) 15即 a28a480，解得 a4 或 a12.所求抛物线方程为 x24y 或 x212y.规律方法 求直线被双曲线截得的弦长，一般利用弦长公式AB |x1x 2| |y1y 2|及公式|x 1x 2| 较为简单1 k21 1k2 b2 4ac|a|跟踪演练 2 已知直线
4、y2xb 与曲线 xy2 相交于 A、B 两点，若 AB5，求实数 b 的值解 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)联立方程组Error!消去 y，整理得 2x2bx 20.x 1、x 2是关于 x 的方程的两根，x 1x 2 ，x 1x21.b2又 AB ，其中 k2，代入则有1 k2(x1 x2)2 4x1x2AB 5，b 24，则 b2.1 22b2 162故所求 b 的值为2.要点三 与弦的中点有关的问题例 3 抛物线 y28x 上有一点 P(2,4)，以点 P 为一个顶点，作抛物线的内接PQR，使得PQR 的重心恰好是抛物线的焦点，求 QR 所在直线的方程解 抛物线 y28x
5、 的焦点为 F(2,0)F 为PQR 的重心， QR 的中点为 M(2，2)，如图所示设 Q(x1，y 1)、R (x2，y 2)，则有Error!，得 y y 8(x 1x 2)21 2又 y1y 24，直线 QR 的斜率为 k 2.y1 y2x1 x2 8y1 y2 8 4QR 所在直线的方程为 y22( x2) ，即 2xy20.规律方法 本题设出 Q、R 的坐标，得出 y 8x 1，y 8x 2，再作差的解法称为点差法，点21 2差法是解决圆锥曲线的中点弦问题的有效方法，应熟练掌握它跟踪演练 3 直线 l 与抛物线 y24x 交于 A、B 两点，AB 中点坐标为(3,2) ，求直线 l
6、 的方程解 设 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，则 y 4x 1，y 4x 2，相减，得( y1y 2)(y1y 2)4(x 1x 2)，21 2又因为 y1y 24，所以 kAB 1.y1 y2x1 x2所以直线 l 的方程为 y2x3，即 xy10.1以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_答案 13解析 2ac c，e 1.3ca 32已知椭圆 1(ab 0) 的左、右焦点分别为 F1、 F2.过 F1作倾斜角为 30的直线与x2a2 y2b2椭圆的一个交点 P，且 PF2x 轴，则此椭圆的
7、离心率 e 为_答案 33解析 由题意得 PF2 ，PF 1 ，由椭圆定义得 2a,3b 23a 23c 22a 2，则此椭圆b2a 2b2a 3b2a的离心率 e 为 .333双曲线的焦点在 y 轴上，且它的一个焦点在直线 5x2y200 上，两焦点关于原点对称，离心率 e ，则此双曲线的方程是_53答案 1y236 x264解析 焦点坐标为(0,10)，故 c10，a6，b8.4抛物线 x24y 与过焦点且垂直于对称轴的直线交于 A，B 两点，则 AB_.答案 4解析 由抛物线方程 x24y 得 p2，且焦点坐标为(0， 1)，故 A，B 两点的纵坐标都为1，从而 AB|y 1|y 2|p
8、1124.1.解方程组Error!时，若消去 y，得到关于 x 的方程 ax2bx c 0，这时，要考虑 a0 和a0 两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除 a0，0 外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点( 0 不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件)2求解与弦长有关的问题，一般用“根与系数的关系”来处理，即联立方程组Error!消去 y，得 ax2bx c0(a0) ，设其两根为 x1，x 2，则 P1P2 |x1x 2|1 k2 .(1 k2)(x1 x2)2 4x1x2 (1 k2)(f(b2,a2) f(
9、4c,a)3求解与弦的中点有关的问题，除可用“根与系数的关系”外，还可以用“平方差法”(设而不求)即设 P1(x1，y 1)、P 2(x2，y 2)是圆锥曲线 mx2ny 21 上两点，P 0(x0，y 0)是弦 P1P2的中点，则由 mx ny 1，mx ny 1 相减，21 21 2 2得 m(x1x 2)(x1x 2)n(y 1y 2)(y1y 2)0，从而 kP1P2 .y1 y2x1 x2 mx0ny0一、基础达标1若直线 l 过点(3,0)且与双曲线 4x29y 236 只有一个公共点，则这样的直线共有 _条答案 3解析 有两条与渐近线平行的直线：y (x3)，23另外，还有一条切
10、线 x3.2抛物线 y22px 与直线 axy40 的一个交点为(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是_答案 255解析 由交点坐标为(1,2)，求得 a、p 的值，利用点到直线距离求得焦点到该直线的距离为.2553曲线 x2y 29 与曲线 x2 8y 的交点坐标是_答案 (2 ，1)2解析 由Error!得Error!交点坐标为(2 ，1)24过点(0,1)且与抛物线 y2x 只有一个公共点的直线有_条答案 3解析 一条与抛物线的对称轴平行，两条相切，共 3 条5已知直线 xy 10 与抛物线 yax 2相切，则 a_.答案 14解析 由Error!消去 y 得方程 ax2x 10.令
11、 1 4a 0，得 a .146直线 ykxk 1 与椭圆 1 的位置关系为_x29 y24答案 相交解析 因为直线过的定点(1,1)恒在椭圆内，所以，直线与椭圆相交7如图，斜率为 1 的直线 l 过椭圆 y 21 的右焦点，交椭圆于 A、Bx24两点，求弦 AB 的长解 设 A、B 两点的坐标分别为 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，由椭圆方程知a24，b 21，c 23，所以 F( ，0)，直线 l 的方程为 yx .将其代入 x24y 24，化简3 3整理，得 5x28 x80.3所以 x1x 2 ，x 1x2 .835 85所以 AB |x1x 2|1 k2 1 k2 (x1
12、x2)2 4x1x2 .2(8r(3)2 4585 85二、能力提升8若抛物线 y22px (p0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为 10 和 6，则该点横坐标为_答案 9 或 19直线 yx1 被椭圆 1 所截得的弦的中点坐标是_x24 y22答案 ( ， )23 13解析 由Error!消去 y 得 3x24x 20，所以 x1x 2 ，所以弦的中点的横坐标为 ，43 23代入 yx1，得中点坐标是( ， )23 1310已知抛物线 yx 23 上存在关于直线 xy0 对称的相异两点 A、B，则AB_.答案 3 2解析 设 AB 的方程为 yx b，与 yx 23 联立得：x2xb
13、30，1 4( b3)0，x 1x 2 1，x 1x2b3.AB 的中点 C 在 xy0 上：( 12，b 12)即 b 0，解得 b1 符合 0，12 12弦长 AB 3 .1 1 1 4( 2) 211过抛物线 y22px (p0)的焦点 F 作倾斜角为 的直线交抛物线于 A、B两点设AOB 的面积为 S(O 为原点)，若 S 的最小值为 8，求此时的抛物线方程解 如题干图，设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，直线 AB 的方程为 xmy ，代入p2y22px，得 y22pmy p 2 0，y 1y2p 2.又 SAOB S OAF S OBF |y1| |y2| (|y1|y
14、2|) 2 .12p2 12p2 p4 p4 |y1y2| p22当且仅当|y 1| y2|p 时等号成立故 Smin .p22由题意有 8，p4.p22故所求的抛物线方程为 y28x.12已知抛物线 C：y 2x 2，直线 ykx2 交 C 于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 N.(1)证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行；(2)是否存在实数 k 使 0？若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由NA NB (1)证明 如图所示，设 A(x1,2x )，B( x2,2x )21 2把 ykx2 代入 y2x 2，得 2x2kx2
15、0，由根与系数的关系得 x1x 2 ，x 1x21，k2x Nx M ，x1 x22 k4N 点的坐标为( ， )k4 k28设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为y m(x )，k28 k4将 y2x 2代入上式得 2x2mx 0.mk4 k28直线 l 与抛物线 C 相切，m 28( )m 22mkk 2( mk) 20，mk4 k28mk，即 lAB .故抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行(2)解 假设存在实数 k，使 0，NA NB 则 NANB.又M 是 AB 的中点，MN AB.12由(1)知 yM (y1y 2) (kx12kx 22)12 12 k(x1x 2)4
16、( 4) 2.12 12k22 k24MNx 轴，MN|y My N| 2 .k24 k28 k2 168又 AB |x1x 2|1 k2 1 k2 (x1 x2)2 4x1x2 .1 k2 (f(k,2)2 4( 1)12k2 1 k2 16 ，解得 k2.k2 168 14k2 1 k2 16即存在 k2，使 0.NA NB 三、探究与创新13已知抛物线 C：y x 2mx1，点 A(3,0)、B (0,3)，求 C 与线段 AB 有两个不同交点时m 的取值范围解 线段 AB：x y 30(0x 3) 由Error!消去 y，得 x2(m1)x40.令 f(x)x 2(m 1)x4，则方程 f(x)0 在0,3 内有两个不同实数根的充要条件是Error!解得 3m .103故所求 m 的取值范围为m|3m 103
