1、数学广角植树问题课标解读 湖北省武汉市华中师范大学附属小学 董 艳（初稿）湖北省武汉市教育科学研究院 马青山（统稿）一、课标要求义务教育数学课程标准（2011 年版）在“总目标”中提出了“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法”“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。义务教育数学课程标准（2011 年版）在“学段目标”的“第二学段”中提出“尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决”“能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性”。义务教育数学课程标准（2011 年版）在“课程内容”的“
2、第二学段”中提出“通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验”。二、课标解读教材中设置“数学广角”单元教学内容的目的不是教会学生机械的公式和抽象的模型，而是让学生体验探索建立模型的过程和数学思想方法。在本册的“数学广角植树问题”的教学中，教师要引导学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步体会解决植树问题的思想方法（模型思想），培养学生从实际问题中探索解决问题有效方法的能力。在教学植树问题时，教师要引导学生根据实际问题情境，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型的过程，帮助学生积累数学活动的经验，提高学生解
3、决实际问题的能力。（一）在观察、猜测、试验、推理等活动中体会解决基本的思想方法小学数学教学体系贯穿着两条主线：数学知识和数学思想方法。数学知识是一条明线，直接呈现在教材上；而数学思想方法则是一条暗线，隐藏在知识的背后。“数学广角”中的“植树问题”，承载了基本的数学思想方法“化繁为简”“数形结合”“一一对应”和“数学建模”等，使学生从中发现规律，抽取出其中的数学模型（点段关系），然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。1在困顿中感悟“化归”的思想人们在面对数学问题时，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最
4、终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。在教学例 1 中，教师引导学生对“100 米一共要栽多少棵树”进行验证，在画图时引发困惑，数字太大，不可能全部画下来，或是太麻烦、太浪费时间了。在学生有所体验的基础上，就此向学生渗透复杂问题简单化的思想，让学生选择短距离（20 米），用画图的方式得出结果。在这个过程中，学生通过猜想、实验、推理、交流等活动，既培养了数学思想能力，学会了一些解决问题的方法，又逐步形成实事求是的科学态度和精神。2在探究中渗透“数形结合”的思想数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象
5、化的方法转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想。本册的“数学广角植树问题”把从直观图形支持下得到的模型应用到现实生活中，沟通图形、表格及具体数量之间的联系，强化对题意的理解。教师可以组织学生在课堂上“模拟植树”。用 “_”代表一段路，用“ ”代表一棵树，画“”就表示种了一棵树。关于在 20 米长的路可以栽多少棵树的问题，让学生自己动手画一画。学生根据图示，很容易发现规律。再从个别的、简单的几个例子出发，逐步过渡到复杂的、更一般的情境中，是数学中常用的推理方法。这个过程中，学生借助数形结合将文字信息与学习基础结合起来，使得学习得以
6、继续，使得学生思维发展有了基础，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。因此，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化。3在抽象中明晰“一一对应”思想本册“数学广角植树问题”的教学，通常有两种教学思路：一种思路是通过教材主题图中得三组实例归纳出规律，利用画图、小棒或圆片的排列来验证规律，进而结合生活实际应用规律。这种教学逻辑性强，规律揭示很顺畅，但是从教学效果看，学生虽然能够“熟记”规律，却不能灵活解决诸如“封闭、不封闭”“两端都栽、只栽一端、两端都不栽”这类问题，更不能用数学观点统领“间隔排列”的现象。另一种思路是在深入钻研教材的基础上，
7、真正把握“间隔排列”的实质：两种物体间隔排列，这两种物体的排列一一对应。对应，是间隔排列的本质。课堂教学中，通过“感知对应现象激活对应思想建构对应思想升华对应思想”层层深入的教学行为，抓住蕴含在教材中得一一对应思想，有效统领种种纷繁复杂的现象，使学生真正感知了一一间隔排列的特点，扫清了思维上的障碍，层层推进认识的完善和引申。4在运用中体验“模型思想”义务教育数学课程标准（2011 年版）中提出：在数学教学中应当引导学生感悟建模过程，发展“模型思想”。“数学模型”是数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型简化的本质的描述。模型思想的教学，不是作为像具体数学知识点那样可以单独作为一个数学内容来进行
8、专门教学，而是融入到具体数学知识的教学过程中，让学生在经历“问题情境建立模型解决问题拓展运用”的学习过程中逐渐领悟的。在本册“数学广角植树问题”的教学中，教材以“猜想试误合作探究发现规律（建立模型）深化规律（再次建模）解释运用”为主线，渗透数形结合的思想，建立数学模型，发现问题实质，为后面解决问题奠定了坚实的基础。在这样的学习活动中，学生在经历了实物操作、图示表达、抽象概括等程序，逐层提升，拾级而上，一步一步地从生活向数学的内核逼近。在数学抽象时，引导学生逐层深入地进行推理研究，从“20 米、30 米、35 米、100米”，让学生联想到“点数比段数多 1”，从而建立起“点线”间关系模型。举一反
9、三，触类旁通。最后，引导学生用发现的规律去解决更多的实际问题（两端都不栽的情况和只栽一端的情况）。这样的教学，也正体现了“数学教学应从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”的要求。（二）在观察、猜测、试验、推理等活动中积累基本的数学活动经验义务教育数学课程标准（2011 年版）中提出：数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学学习是在“学生主动地从事观察、实验、猜测
10、、验证、推理与交流” 等数学活动中进行的。数学活动经验产生于数学学习中，既是数学学习的产物，也是学生认识和实践的基础。1 经历观察、操作过程，积累体验性经验在教学“ 数学广角” 时，教师要引导学生观察、实验、猜想、验证，进行动手操作（如摆、画、做等），让学生逐渐地意会、体验、感悟。为了让学生“动” 起来，在“动” 的过程中体验知识的形成过程，教材不断地提出问题，抓住数量关系做重点分析。放手让学生想一想、画一画、说一说，既满足了学生的表现欲望，又培养了学生自主探究的能力，充分调动了学生的积极性，把学习的主动权交给了学生。学生对植树棵数和段数的关系有了初步的感性认识后，让学生再任意画一画、种一种，
11、更丰富了学生的感性材料，为学生顺利发现并总结规律打下了基础。在这个过程中，学生慢慢积累分析和解决问题的一些经验，然后将这些经验迁移运用到后面的数学活动中。而这些经验是我们老师没法“教” 给学生的，必须由学生经历大量的数学活动逐步获得，也就是我们以前常说的“做中学” 之后所留下的，有关数学活动的直接感受、体验和个人感悟。2 经历探究、思考过程，积累方法性经验这里的“探究” 指的是融行为操作与思维操作于一体的活动。本册的“数学广角植树问题”教材编者意图是让学生初步认识“化繁为简” 的思想，并通过各种活动，借助直观图理解“间隔数与棵数” 之间的数量关系。如“ 100 米太长了，怎么办？”“如果小路长
12、度不是 20 米了，树的棵数又发生了什么变化呢？”“25 米、30 呢？”“ 不画了，你发现了什么？” 不断提出新的要求，产生新的矛盾，使学生的思维处于碰撞之中，掌握解决问题的有效方法。3 经历概括、反思过程，积累“数学地思考”的经验概括是形成和掌握概念的直接前提。如果没有概括，就无法进行逻辑推理，思维的深刻性和批判性就无从谈起；没有概括，就不可能产生灵活的迁移，思维的灵活性和创造性就无法形成；没有概括，就无法实现思维的“缩减”与“ 浓缩” ，思维的敏捷性也就无从体现，学生掌握概念，直接受思维概括水平的制约。教师教学时可以在课堂中让学生根据自己的体验，用自己的思维方式去探究，去发现，再反馈结果
13、，根据不同的结果进行交流、讨论。通过学生的观察、思考、交流，在获得直接经验的基础上感受“一一对应”的思想方法是教学活动重中之重。经过学生的探讨之后，教师再引导学生抽象出数学模型（棵数与间隔数的关系），接着再用抽象出来的模型解决一般性的问题，最后再迁移、变通。数学广角植树问题重难点突破 湖北省武汉市华中师范大学附属小学 董 艳（初稿）湖北省武汉市教育科学研究院 马青山（统稿）一、建构数学模型，探寻规律突破建议：本单元是让学生通过生活中的简单事例，初步体会解决植树问题的思想方法，同时培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，初步培养学生抽取数学模型的能力。教师教学时，应从实际
14、问题入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程中逐步发现隐含于不同的情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。二、初步体会植树问题的数学思想方法突破建议：“数学广角” 的教学目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。本单元并非让学生记熟规律、熟练解决与植树问题相类似的实际问题，而是把解决植树问题作为渗透数学思想和方法的一个学习支点。在教学中教师不妨让学生先猜测，再动手操作、实践验证。怎样检验这个结果是否正确？初步向学生渗透用比较简单的例子来验证较为复杂的问题，即化繁为简的思想。例 1 教学中，假设路长只有 20 米，要栽几棵树呢？提示学生用画线段
15、图或者示意图的方式来辅助思考，从中渗透“ 数形结合” 的思想。这样学生就很容易地发现直接用除法 205=4 算出的结果和通过直观图看出的 5 棵树有冲突，引发学生的思考。还要结合教材中“对吗？检验一下 ”“可以画线段图来验证” 等线索，向学生渗透简单的化归、数形结合、一一对应、模型、推理等数学思想，激发学生对数学的兴趣。三、应用画图策略，有效地解决生活中的植树问题突破建议：在日常教学中，在指导学生学习数学的过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。因此，教师在教学中要重视画线段图的方法，并通过多媒体直观演示辅助教学，突出“一一对应 ”思想，把间隔点数和栽树的棵数对应起来。之后让学生再用“25
16、 m”或者自己列举的数据进一步探究，教师可以出示统计表，学生将研究结果记录下来，利用统计表发现栽树的棵数和间隔数之间的规律。四、用发现的规律解决生活中的一些简单实际问题突破建议：植树问题的模型是现实世界中一类相近问题的拓展，它源于现实，又高于生活。所以，在现实中有着广泛的应用价值。为了让学生理解这一建模的意义，在教学中把植树问题推广到与植树问题相近的一些问题中，以图片、文字等形式让学生了解生活中与植树问题相似的现象，让学生进一步体会现实生活中的许多不同事件（如队列问题、公交站问题、敲钟问题等），这些问题都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决，使学生感悟到数学建模的重
17、要意义。从而引导学生灵活运用所学知识解决生活中的一些实际问题，体验生活中的数学，充分感受到数学知识来源于生活，又回归于生活。但是，也要注意不要对例题进行过多的变式，提高问题的难度，造成教学要求过高。数学广角植树问题教材分析 湖北省武汉市华中师范大学附属小学 董 艳（初稿）湖北省武汉市教育科学研究院 马青山（统稿）和前面几册教材一样，本册也专门安排了“数学广角”单元，向学生渗透了一些重要的数学思想方法。本册的“数学广角植树问题”包含三个例题，主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简
18、单实际问题。解决植树问题的思想方法是实际生活中应用比较广泛的数学思想方法。植树问题通常是指沿一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、广场敲钟等，这些问题情境中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，我们就把这类问题统称为植树问题。在植树问题中，“植树”的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线（如正方形、长方形或圆形等）。即使是关于一条线段的植树问题，也可能有不同的情形（如两端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是两端都不
19、栽）。义务教育数学课程标准（2011 年版）强调：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。教材在编排上，注重引导学生进行观察、猜测、验证、推理等数学活动，使学生初步体会解决植树问题的思想方法（模型思想），培养学生从实际问题中探索解决问题的有效方法的能力。在教学植树问题时，教师要引导学生根据实际问题情境，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型的过程，帮助学生积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。下面就教材
20、中安排的三个典型例题进行分析。一、经历解决问题的过程教材第 106 页例 1 通过学生熟悉的植树情境，引导学生借助线段图，经历猜想、实验、抽象等数学活动过程，探索间隔与点之间的数量关系，建立植树问题的数学模型，再运用模型解决实际问题。让学生经历分析、思考、解决问题的全过程。教材用几个小朋友的对话和图片来呈现学生探索解决问题的过程。首先由一个男孩说出学生们可能会想到的答案：“1005=20（棵）”，接着一个女孩问：“对吗？检验一下”，来引发学生思考。接下来由小精灵提出了解决问题的常用方法从简单的情况入手解决复杂的问题。这里先呈现直观的图示法，让学生看到把一条线段平均分成 4 段，加上两个端点，一
21、共有 5 个点，也就是要栽 5 棵树。使学生发现植树时确定树苗数量的问题并不能简单地用除法来解决。紧接着一个小男孩提出“25 m 可以栽几棵？”这次用画线段图的方式解决问题，不仅在研究方法上从直观转为抽象，更是向学生渗透归纳思想一个特例不足以说明问题，多个不同的事物才能揭示规律。然后向学生提问：“你发现了什么规律？”启发学生透过现象发现规律，也就是栽树的棵数要比间隔数多 1。同时教材进一步提出“不画图，你知道 30 m、35 m 要栽几棵树吗？”让学生利用发现的规律先解决简单的问题。最后教材要求应用发现的规律来解决前面的植树问题：100 m 长的小路共有 20 个间隔，两端都要栽，所以一共要栽
22、 21 棵树。这样就把分析、思考、解决问题的整个全过程展示出来，让学生经历这个过程并从中学习一些解决问题的方法和策略。即遇到问题时，可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以用比较简单的例子来检验，并且可以从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。对于例 2（两端不栽的情况）以及第 107 页“做一做”第 2 题（一端栽一端不栽的情况），由于学生前面有了探索的经验，这里可以放手让学生去探索，用自己的方法去发现这两种情况的植树问题中隐含的规律。二、体会基本的数学思想本单元通过一些生活中的事例，让学生根据不同的情况总结出规律，并利用这些规律解决问题。但是，本单元的教学最终目的
23、并不只是让学生明白规律，而是要引领学生进一步探究规律的产生原因，帮助其建立“一一对应”的思维方式，形成解决问题的策略，从而体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。在“植树问题”中最重要的数学思想就是模型思想，而如何让学生理解从实际问题中抽象出数学模型的过程是教学“植树问题”的难点。为了突破这一难点，教材突出了线段图的教学，通过几何直观帮助学生理解“植树问题”的数学模型。例 1 是探讨关于一条线段、并且两端都要栽的植树问题，让学生通过画线段图来发现栽树的棵数和间隔数之间的关系。通过这两幅图，让学生把“点”（树）与“ 线”（间隔）一一对应起来，结果发现还多出一个“ 点” （树），所以 “栽树棵数=
24、 间隔数+1” 。例 2 通过迁移呈现出两端都不栽的线段图，“做一做”的第 2 题让学生通过迁移画出一端栽另一端不栽的线段图。例 3 则让学生理解在封闭曲线上植树的线段图的画法以及沟通它和一条线段上植树中的一端栽另一端不栽的联系。整个单元教材通过线段图的教学，突出“一一对应”的思想，并以此为基础分析植树问题三种不同的情况，即“两端都栽”“只栽一端”与“两端都不栽”。无论哪种情形，都能用“一一对应”的思想统领。教材通过选取生活中不同的事例，让学生体会一种在数学学习、研究问题上都很重要的数学思想方法化归思想，使学生感悟到应用数学模型解决问题所带来的便利。同时培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解
25、决问题的有效方法的能力，初步培养学生抽取数学模型的能力。在练习中，教材以“植树问题”为背景帮助学生清楚地认识到路灯问题、敲钟问题、锯木问题等都与“植树问题”有着相同的数学结构，让学生建构相应的数学模型。三、感受转化的研究方法，积累基本的活动经验教材第 108 页例 3 讨论的是在封闭图形周围栽树的情形。学生学习了例 1、例 2 后，掌握了直线段中的植树问题（在线段的两端都栽、两端都不栽或只栽一端的情况下，栽的棵数与间隔数的关系）。教材这样的编排意图很显然是要用植树问题的思考方法来解决封闭图形中的植树问题。面对封闭图形中的植树问题，教材首先提示研究方法：“先画图试试看。假设周长是40 m”，引导
26、学生根据前面例 1、例 2 的研究经验直观作图、化繁为简来尝试解决问题。当学生直观看出能栽 4 棵后，教材并不急于让学生探索出封闭图形植树问题中的规律（即间隔数等于棵数），而是请小精灵进一步提出问题：“如果把圆拉直成线段，你能发现什么？”从而把学生的思维引向深处。让学生通过观察、思考发现，化曲为直后，封闭图形上植树其实可以转化成“一端栽另一端不栽”的情形。接下来，教材通过两位学生的对话“我发现间隔数与树一一对应”“相当于一端栽，一端不栽”，不仅揭示了封闭图形上植树的规律，更是为学生沟通了例 3 与前面的例 1、例 2 间的联系。本单元注重让学生经历观察、猜测、验证、推理与交流等活动，使学生既学
27、会一些解决问题的一般方法与策略，又积累基本的数学活动经验。例如，例 1 通过“对吗？检验一下”“100 m 太长了，可以先用简单的数试试”“你发现了什么规律”等，渗透了“猜测探索归纳应用”的解决问题的策略和化繁为简的解决问题的方法。五年级上册第七单元“数学广角”教材介绍 人民教育出版社 小数室一、教学内容植树问题。本单元内容由原实验教材四年级下册移来，例 3 调整为封闭曲线上的植树问题。二、教学目标1引导学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步体会植树问题的模型思想。2通过画线段图初步培养学生探索解决问题有效方法的能力。3让学生尝试用植树问题的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生解决实际
28、问题的能力。三、编排特点1题材更为丰富与原实验教材相比，本次修订后的“植树问题”新增了一些生活中的“植树问题”。如例 3 探讨在一条封闭曲线上植树的问题。另外，教材在“做一做”和练习中增加了“每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树”“马拉松比赛设置饮水点”“项链上的水晶”等实际问题，一方面激发学生的学习兴趣和探究欲望，另一方面帮助学生多角度、有效地体会和运用植树问题的数学思想和方法。2突出线段图的教学，帮助学生直观理解植树问题的数学模型在“植树问题”中最重要的数学思想就是模型思想，而如何让学生理解从实际问题中抽象出数学模型的过程是教学“植树问题”的难点。为了突破这一难点，教材突出了线段图的教学，通过几何
29、直观帮助学生理解“植树问题”的数学模型。例 1 先画出形象的线段图，然后抽象成线段图表示两端都栽的情况，例 2 通过迁移呈现出两端都不栽的线段图，“做一做”的第 2 题，让学生通过迁移画出一端栽另一端不栽的线段图，最后例 3 让学生理解在封闭曲线上植树的线段图的画法以及沟通它和一条线段上植树中的一端栽另一端不栽的联系。教材通过突出线段图的教学，帮助学生直观理解不同情况下植树棵树、分割点和间隔数之间的关系，由此理解和建立植树问题的数学模型。四、具体编排1例 1：一条线段上植树（两端都栽）植树问题教学的重点是解决点和间隔的关系，建立相应的模型。但是当数据比较大时，不利于学生发现规律，所以教材编排上
30、体现了化繁为简和建模的思想。例 1 是关于一条线段上的植树问题并且两端都要栽树的情况，让学生在解决这个问题的过程中发现规律，找到解决问题的有效方法，经历解决问题的过程。（1）渗透化繁为简的思想，经历解决问题的过程通过学生的话“100 m 太长了，可以先用简单的数试试”渗透化繁为简的解决问题的方法，接下来的编排渗透了“猜测探索归纳应用”的解决问题的策略。（2）重点培养学生借助线段图建立数学模型的能力教材呈现学生用画示意图或线段图的方法帮助思考，通过观察两端都栽树的示意图或线段图，把分割点和栽树的棵树一一对应起来，发现并初步总结栽树的棵数与间隔数之间的关系。再让学生在 30 m、35 m 上加以验
31、证，从而建立起一条线段两端都栽这类植树问题的数学模型。从而找到解决问题的方法。2例 2：一条线段上植树（两端都不栽）例 2 是关于一条线段的植树问题的另一种情况，即两端都不栽树的情况。教材继续通过画线段图的方法帮助学生分析、理解，找出一般规律来解决问题，突出学生的迁移能力培养。有了例 1 的基础，可以放手让学生独立思考。学生自然会想到借助线段图来分析，教材呈现学生画线段图进行分析，发现当两端都不栽树时，植树的棵数比间隔数少 1，然后利用发现的规律解决例题的问题。一端栽另一端不栽的情况放在“做一做”第 2 题让学生自己探究。通过画线段图，可以与例 1、例 2 的对比来获得对这一基本模型的理解，同
32、时运用发现的规律解决要求的问题。3例 3：封闭曲线上植树（1） 突出画图的策略例 3 是在一条首尾封闭的曲线上植树的问题。编排思路和例 1 相同，继续渗透化繁为简的思想和画图的策略。借助图示探索规律，建立模型。（2）注重模型的对比与沟通通过小精灵的问题“如果把圆拉直成线段，你能发现什么？”启发学生联系已有的知识找出这种植树问题的规律，即栽树的棵树正好等于间隔数，也就相当于一条线段上植树的一端栽另一端不栽的情况，渗透转化的数学思想。五、教学建议1经历建模的过程，感悟思想方法“数学广角”的教学目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。具体到本单元，教学时，教师应从实际问题入手，引导学生
33、在解决问题的分析、思考过程中逐步发现隐含于不同的情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。比如例 1 的教学，可以让学生经历猜想、实验、归纳、推理的过程，渗透简单的化归、数形结合、一一对应、模型、推理等数学思想，激发学生学习数学的兴趣。2突出画图（线段图）的策略几何直观是课标的核心概念之一，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。本单元通过画示意图或线段图来解决植树问题，可以更直观理解、更好地发现规律，建立模型，找出解决问题的方法。另外，学生在学习中容易将两端都栽、一端栽另一端不栽、两端都不栽三种情况弄混。事实上，学生不用记每种模型的结论，遇到问题，只要画个线
34、段图，问题就迎刃而解了，从而体会到画图策略的价值。多边形的面积课标要求 义务教育数学课程标准（2011 年版）在“学段目标”的“第二学段”中提出了“探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征”“掌握测量、识图和画图的基本方法”“初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“会独立思考，体会一些数学的基本思想”“能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性”。义务教育数学课程标准（2011 年版）在“课程内容”的“第二学段”中提出了“探
35、索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式，并能解决简单的实际问题”“会用方格纸估计不规则图形的面积”。多边形的面积课标解读 湖北省武汉市华中科技大学附属小学 杨 帆（初稿）湖北省武汉市东湖开发区教研室 李文华（修改）湖北省武汉市教育科学研究院 马青山（统稿）一、课标要求义务教育数学课程标准（2011 年版）在“学段目标”的“第二学段”中提出了“探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征”“掌握测量、识图和画图的基本方法”“初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己
36、的思考过程与结果”“会独立思考，体会一些数学的基本思想”“能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性”。义务教育数学课程标准（2011 年版）在“课程内容”的“第二学段”中提出了“探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式，并能解决简单的实际问题”“会用方格纸估计不规则图形的面积”。二、课标解读“多边形的面积”是图形与几何领域“测量”中的重要内容。通过本单元的教学，要引导学生探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式，会计算组合图形的面积，在观察、实验、猜想、验证等活动中，渗透平移、旋转、转化等数学思想方法，发展合情“推理能力”，促进学生“空间观念”的进一步发展、感受“几
37、何直观”和“符号意识”的作用，渗透估测意识、策略，了解解决问题方法的多样性，培养学生的“应用意识”和“创新意识”。下面就围绕“空间观念”“应用意识”及“创新意识”等课标内容，结合“多边形的面积”单元教学，进行简要解析。（一）依托转化思想，发展“空间观念”义务教育数学课程标准（2011 年版）指出：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。本单元“多边形的面积”计算，是以长方形面积计算为基础，以图形间的内在联系为线索，借助将未知转化为已知的基本方法开展学习，各图形面积计算公
38、式的推导都采用了“转化”的方法，即设法将所研究的图形转化为已经会计算面积的图形：如将平行四边形转化为长方形、三角形转化为平行四边形、梯形转化为平行四边形或三角形等。在“组合图形的面积”教学中，同样突出了转化思想，只不过是用分解的方法将组合图形转化为简单图形。在一系列的操作过程中，学生进一步体会所学各种图形的特征、图形之间的关系、图形之间的位置关系，还体验了图形的平移、旋转以及转化的数学思想方法，促使空间观念得到进一步发展。（二）凸显数学本质，渗透“应用意识”义务教育数学课程标准（2011 年版）中对“应用意识”这一核心概念的表述是：应用意识有两个方面的含义，一方面，有意识利用数学的概念、原理和
39、方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。对照义务教育数学课程标准（2011 年版）的要求，我们要有意识地培养学生的数学应用意识，使他们体会到数学的应用价值。例如在单元开始探究平行四边形的面积时，首先应引导学生想到面积和面积单位的关系，想到用面积单位来测量面积（本质），即用数方格的方法来计算面积（表面），渗透度量单位的应用意识；又如在教学“不规则图形的面积的估计”时，先引导学生从叶子的形状和大小
40、提出问题，然后从现实生活中抽象出数学问题（不规则图形的面积），引导学生用数学方法（用面积单位估计面积，或看成某个简单图形用公式计算面积）予以解决，这也是应用意识的体现。对照义务教育数学课程标准（2011 年版）的要求，我们还要让学生认识到在现实生活中蕴涵着大量与多边形的面积计算有关的实际问题。数学来源于生活，教材提供了学生熟知的情境：花坛（平行四边形）、红领巾（三角形）、车窗玻璃和大坝横截面（梯形）、队旗、房子、风筝、七巧板（组合图形）、树叶（不规则图形）等，让学生认识到现实生活中蕴涵着大量与图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决，从而在生活中学习数学、运用数学。在培
41、养应用意识、解决实际问题的过程中，还要注意渗透估算思想、培养估算意识。教师要引导学生合情合理地找到估算面积的方案（或思路），一是覆盖方格纸（面积单位）数方格来估计面积，二是转化成某个近似图形用公式计算面积。同时，还应引导学生获得一定的估算策略和方法，例如：可以数出图形内包含的完整小正方形数，估计这个图形的面积；在上面的基础上，再加上图形边缘接触到的所有小正方形数，估计这个图形的面积；对于学有余力的学生，还可以引导他们将所有的小正方形等分成更小的正方形，探索更接近实际面积的估计值。（三）鼓励自主探索，体现“创新意识”义务教育数学课程标准（2011 年版）指出：创新意识的培养是现代数学教育的基本任
42、务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。在“多边形的面积”单元的教学中，运用转化的方法推导面积计算公式和计算面积，可以有多种途径和方法，教师不要把学生的思维限制在一种固定或简单的途径或方法上，要尊重学生的想法，鼓励学生从不同的途径和角度去思考和探索解决问题，独立思考，大胆创新，从不同角度进行转化。如梯形的面积可以分成两个三角形、也可以分成一个平行四边形和一个三角形、还可以用两个一样的梯形拼成一个平行四边形等，从而发散思维，
43、培养学生的“创新意识”；在探索组合图形面积的计算时，也要引导学生自主探究图形不同的组合方式，启发学生从不同的角度思考，发散思维，逐渐实现从“单一分割”到“多元分割”，从别出心裁的“添补”再到更高层次的“割补”，并在多种方法中根据实际条件选择最优方法，鼓励学生灵活思考、勇于创新。多边形的面积教材分析 湖北省武汉市华中科技大学附属小学 杨 帆（初稿）湖北省武汉市东湖开发区教研室 李文华（修改）湖北省武汉市教育科学研究院 马青山（统稿）本单元的教学内容主要有：平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积、组合图形的面积、不规则图形面积的估计。平行四边形、三角形和梯形面积计算是在学生掌握了这些图形的特征
44、以及长方形、正方形面积计算的基础上学习的，它们是进一步学习圆面积和立体图形表面积的基础。到这一单元结束，多边形面积的计算已经基本结束。组合图形的面积安排在平行四边形、三角形和梯形面积计算之后学习，学生在进行组合图形面积计算的过程中，要把一个组合图形分解成已学过的平面图形并进行计算，可以巩固学生对各种平面图形特征的认识和面积公式的运用，有利于发展学生的空间观念。不规则图形面积的估计是此次最新教材新增的内容，教材从现实生活中（一片树叶）抽象出数学问题（不规则图形的面积）之后，引导学生用数学方法（用面积单位估计面积，或看成某个简单图形用公式计算面积）予以解决，这是应用意识的含义之一；同时渗透估算思想
45、，培养估算意识；在教学中，还要注意体现解决问题的一般步骤（阅读与理解、分析与解答、回顾与反思），形成解决问题的良好习惯。以下是针对各部分内容的具体分析。一、平行四边形、三角形、梯形面积计算因为平行四边形、三角形和梯形面积计算联系比较紧密，本单元教材把这些内容编排在一起，突出了以下特点：（一）加强知识之间的联系根据图形面积计算之间的内在联系安排教学顺序，以促进知识的迁移和学习能力的提高，安排顺序如下：（二）加强动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程各类图形面积公式的推导均采用让学生动手实验，先将图形转化为已经学过的图形，再通过合作学习的方式，探索转化后的图形与原来图形的联系，发现新图形的面
46、积计算公式这样一个过程。按照学习的先后顺序，三种图形面积计算的探索要求逐步提高、逐层递进。1平行四边形面积计算平行四边形面积的计算，先借助小精灵提示的“用数方格的方法试一试”，旨在渗透度量单位的应用意识，引导学生想到面积和面积单位的关系，用面积单位来测量面积（本质），即用数方格的方法来计算面积（表面）；教材紧接着设计了一个表格，引导学生记录平行四边形的底、高、面积和长方形的长、宽、面积数据，然后对所得的数据进行比较和分析，从中发现两个图形之间的内在联系，也为探究平行四边形面积计算公式做了思维和方法的铺垫。教材对于平行四边形面积公式的推导过程主要分四个层次呈现：第一个层次，用学生的对话初步展现了
47、思考、转化的过程；第二个层次，用一组示意图让刚才操作的过程更直观明了；第三个层次，通过一组问题让学生抽象出平行四边形和长方形之间的关系，发展了学生的思维，这一组问题是教材新增加的，非常明确、具体，从底、高、面积三个角度给学生指明了思考的方向，为顺利总结公式奠定基础；第四个层次，让学生独立总结平行四边形的面积公式和用字母表示公式，其中在用字母表示公式时，教材新增了一幅直观图，体现用字母 和 分别表示平行四边形的底和高，沟通了字母与图形之间的对应关系，更利于学生直观掌握面积公式。例 1 是源于情境的实际问题，既可以指导学生应用计算公式解决实际问题，又可以验证计算公式的正确性（与数方格所得的面积相等
48、）。对于例 1 的解答过程，新教材特别注意规范书写格式，即先用字母表示计算公式，再将数据代入公式求值，有利于培养学生良好的学习习惯。2三角形面积计算有了平行四边形面积计算的推导基础，三角形的面积计算就直接要求学生将三角形转化为已学过的图形推导出面积计算公式。主题图呈现了学生两次小组活动的思维过程：第一次活动以小女孩手中的红领巾引出“怎样算出红领巾的面积呢？”这一问题充分体现了数学源于生活，由于学生刚研究过平行四边形的面积，所以自然而然就能想到“转化”的方法，将三角形转化成学过的图形；主题图中的第二次活动就呈现了学生们用三角形进行“转化”的操作过程。两次活动之后，教材出示问题“观察拼成的平行四边
49、形和原来的三角形，你发现了什么？”这个问题较之前推导平行四边形面积公式时更抽象些，主要是考虑到学生在推导平行四边形面积时已经具备一定的比较经验，他们借助具体的图形可以发现其中的等量关系，从而自己总结出三角形的面积公式，培养学生的思维能力和总结概括能力。3梯形面积计算到梯形面积的计算，由于学生已经经历、探索了平行四边形和三角形面积计算的推导过程，并形成了一定空间观念，因此教材的编排更加直接，通过提问：“你能用学过的方法推导出梯形的面积计算公式吗？”引导学生把梯形转化为已学过的图形来计算面积，进一步巩固“转化”的数学方法，培养迁移能力、推理能力和解决实际问题的能力。另外，在教材中，每一种图形的面积计算均没有给出推导的过程和文字计算公式，以便于学生从多种途径探索，自己得出结论，从而给教师和学生都留有较大的创造空间。（三）教材练习具有探索性，形式多样化，以促进学生对计算公式的理解和灵活运用教材练习的编排减少了直接用公式计算的习题，安排了较多的应用问题、变式题、用间接条件求面积及画一画、分一分的操作性习题，并安排了一定数量的思考题。习
