1、第页 12019 届江西师范大学附属中学 10 月高三月考文科数学试题（解析版）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集 ， ，则 =( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解二次不等式求出集合 ，再根据集合补集运算的定义求得答案【详解】 ，故选【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集，补集的运算，熟练掌握并理解集合运算的定义是解答的关键，属于基础题。2.已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 ，则 =( )A. B. 5 C. D. 【答案】B【解析】，所以 ，又 ，选 B.3.已知 ，则 =(
2、 )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由诱导公式可得 ，再由条件求得结果第页 2【详解】故选【点睛】本题主要考查了诱导公式的应用，注意角之间的转化，属于基础题。4.在 中，已知 ，则三角形的面积为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】试题分析：或 ，故选 D考点：正弦定理的应用5.设 D 为ABC 所在平面内一点， ，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】运用平面向量的线性表示求出结果【详解】 如图所示， ，第页 3故选【点睛】本题主要考查了平面向量的加法，减法及其几何意义，属于基础题。6.已知 ， ， ，则 的大小关系是( )A. B. C
3、. D. 【答案】B【解析】【分析】运用函数的单调性，找出中间转换量来比较大小【详解】 ， ，故选【点睛】本题主要考查了对数的运算，指数函数，幂函数与对数函数的单调性等知识，考查了运算求解能力。7.函数 的图象如图所示，为了得到 的图象，可以将 的图象( )A. 向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度C. 向左平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度【答案】B【解析】【分析】由条件利用函数 的图像变换规律，可得结论【详解】 函数要得到 的图像，可以将 的图像向右平移 个单位长度故选【点睛】本题主要考查了函数 的图像变换规律，熟练掌握三角函数图像左加右减的平移原则是解题的关键，属于
4、基础题。第页 48.下列说法正确的是( )A. 若 ，则 的否命题是若 ，则B. 命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是C. ，使 成立D. 若 ，则【答案】D【解析】【分析】运用各知识点对四个选项逐一判定【详解】对于 ，若 ，则 的否命题是若 ，则 ，故 错误对于 ，命题“ ， ”为真命题的一个充要条件是 ，故 错误对于 ，不存在 ，使 成立，故 错误对于 ，若 ，则 ，正确故选【点睛】本题考查了否命题、充要条件等知识点，只要熟练运用各知识点即可得到结果，较为基础。9.函数 的大致图象为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 ，所以函数 为奇函数，图象关于原点对称， 第页
5、5又 ，所以函数的图象应对应选项 D，故选 D10.设向量 、 满足： ， ， 的夹角是 ，若 与 的夹角为钝角，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用平面向量的线性运算和数量积求出结果【详解】由已知可得 ， ，与 的夹角为钝角，从而得到：即 ，两个向量不共线故 令 解得所以 综上可得 且 ，即的取值范围是故选【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算和数量积，解题的关键是从两个向量夹角为钝角的条件中提取出两向量乘积小于 0 和两个向量不共线的条件，属于中档题。11.已知 有两个不同的极值点 ,则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【
6、分析】求导后运用计算出极值情况，然后根据参量求出结果【详解】由 可得： ，有两个不同的极值点第页 6是方程 的两个根由 可得由 可得故选【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，在求范围时将其转化为函数问题，求得结果，本题属于中档题。12.已知函数 ，函数 ，则函数 的所有零点之和为( )A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】画出函数图像，结合对称性求出函数的零点的和【详解】如图，函数图像 与 ，以及 的交点关于原点对称，所以其和为零，这样只要计算与直线的交点即可，故 的所有零点只要解方程即有：故选【点睛】本题考查了函数零点问题，还考查了数形结合的思想，在解答此类题目
7、时借助函数图像，先找出第页 7交点个数，然后运用函数性质判定零点之间的关系，继而求出结果，本题属于中档题。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知向量 ， ，且 ，则实数 m=_.【答案】3【解析】【分析】先用坐标表示 ，然后运用 计算出参数的值【详解】 ，,，即解得故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题。14.曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是_.【答案】【解析】，在点 P（1，0）处的切线斜率为 k=1，在点 P（1，0）处的切线 l 为 y0=x1，即 y=x1，y=x1 与坐标轴交于（ 0，1），（1，0）切线 y=x
8、1 与坐标轴围成的三角形面积为 S= 11= 故答案为： 点睛：本题考查了导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及三角形的面积计算，属于基础题15.已知函数 对任意的 都满足 ， 为偶函数，当 时， ，则_.【答案】第页 8【解析】【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质进行转化求出函数的周期，然后转化求解即可【详解】由题意可知：即 ，故函数 是周期为 的周期函数故答案为【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和对称性的性质，还考查了周期函数的定义，在解题过程中一定要理清题目意思，运用函数性质解题。16.已知函数 （ ）的一个零点是 ，且当 时， 取得最大值，则当取最小值时，下列说法正确的是_
9、.（填写所有正确说法的序号） ； ；当 时，函数 单调递减；函数 的图象关于点 对称.【答案】【解析】【分析】根据已知条件零点是 ，且当 时， 取得最大值，代入求出 取最小值时的值，然后探究函数的性质【详解】 函数 （ ）的一个零点是则或 ，两式相减得 ，又 ，则此时 ，第页 9又 ，则当 时，函数 先减后增，函数 的图象关于点 对称故填【点睛】本题考查了三角函数的性质，较为综合，在解题过程中运用三角函数的特征探究增减性、对称性等，需要掌握相关知识来求解。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知函数 的最小正周期为 .（1）求 的值，并用五点作图法在下面提供
10、的坐标系中画出函数 在区间 上的图象；（2）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ， ， ，求 的面积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】由条件根据正弦函数周期性求得 的值，由条件利用五点作图法作出函数 在区间 上的图象；由 解得 ，然后运用余弦定理求出结果【详解】 （1）f(x)sin ，因为 T，所以 ，即 2， 故 f(x)sin .列表如下：2x 2x 0 f(x) 1 0 1 0yf(x)在0，上的图象如图所示第页 10（2）由 解得 ，由余弦定理得将 ， 代入上式，整理得因为 ，所以 所以 的面积【点睛】本题主要考查了函数 的部分图像求解析式，正弦函数的周期性，单调性，用
11、五点作图法作出正弦函数在一个周期上的简图，在求三角形面积是运用余弦定理解三角形。18.市政府为了促进低碳环保的出行方式，从全市在册的 50000 辆电动车中随机抽取 100 辆，委托专业机构免费为它们进行电池性能检测.电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如下图. （1）从电池性能较好的电动车中，采用分层抽样的方法随机抽取了 9 辆，求再从这 9 辆电动车中随机抽第页 11取 2 辆，至少有 1 辆为电动汽车的概率；（2）为提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：电动自行车每辆补助 300
12、 元；电动汽车每辆补助 500 元；对电池需要更换的电动车每辆额外补助 400 元.利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算（单位：万元）.【答案】 （1） ；（2）2080【解析】【分析】(1) 根据分层抽样的原理，电动自行车应抽取 （辆） ，电动汽车应抽取 （辆） ，由古典概型以及对立事件概率公式可得，所求概率 ；（2）设电动车车主能得到的补助为元，则可取 ， ， ， ，结合组合知识，利用古典概型概率公式,求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得 的数学期望.【详解】 （1）根据分层抽样的原理，电动自行车应抽取 （辆） ，电动汽车应抽取 （辆） ，则所求概率 .
13、（2）设电动车车主能得到的补助为元，则可取 ， ， ， .， ， ， ，其分布列如下：300 500 700 900电动车车主得到的补助的期望 ，则估计市政府执行此方案的预算为 元.【点睛】本题主要考查分层抽样古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要第页 12准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.如图，在四棱锥 中，四边形 是直角梯形， ， ， ， 是棱 上一点，且 ， 平面
14、.（1）求实数的值； （2）若平面 平面 ， 为等边三角形，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】连接 交 于 ，由线面平行证得线线平行，结合数量关系求出结果由等体积法计算出三棱锥的体积【详解】 （1）如图，连接 交 于 ，因为 平面 .所以 ， 从而 ，又由 可得 ， ， ，（2）【点睛】本题主要考查了线面平行的性质运用，在求解空间几何体的体积的关键是利用等体积法求解。20.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，长轴长为 4， 的面积的最大值为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）过 的直线交椭圆于 两点,且 ,求 的面积.第页 13【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】由
15、已知条件求出椭圆的标准方程设 由 ，代入点坐标计算结果【详解】 （1） （2）设直线的方程为与椭圆 联立并化简得 设 ，则由 得 ，解得 所以【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，并求解三角形面积，在解题过程中联立直线与椭圆方程，运用韦达定理来求三角形的面积。21.设函数 .（1）讨论 的单调性；（2）当 时， ，求的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】求导后判定函数的单调性第页 14不等式 可变为 ，分类讨论 、 、 时满足题意得情况【详解】 （1） ， 令 f(x)0 得 . 当 时， ；当 时， .所以 在 单调递增， 单调递减 （2）当 时，不等式 可变为.当 时
16、，设函数 ，因此 在0，)单调递减，而 ，故 ，所以 当 时，设函数 ，所以 在0，)单调递增，而 ，故当 时， ，取 ，则 ,故不合题意 当 时，取 ，则 ， 不合题意综上，的取值范围是1，) 另解： ,所以 ,再证必要性.【点睛】本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解参量过程中构造新函数，然后运用导数得到函数单调性求出满足题意得取值范围，有一定难度。22.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 ，参数 .（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）若曲线 和曲线 有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形为正三角形，求实数
17、的值.【答案】 （1） ， ；（2）1第页 15【解析】【分析】运用消参的方法求出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程由函数图像的对称性，结合题意三角形为正三角形，联立直线方程与圆的方程解出点坐标，从而求出实数的值【详解】由曲线 的参数方程为 ，则其普通方程为 ，由曲线 的极坐标方程为化简得 ，即 ,从而曲线 的直角坐标方程为曲线 和曲线 的图像关于 轴对称，则以这三个公共点为顶点的三角形为正三角形也是关于 轴对称，不妨设其中一条边所在直线方程为 ，联立 解得交点坐标 ，代入抛物线方程得，即【点睛】本题考查了极坐标和普通方程之间的互化，在求解三角形过程中，结合图像的对称性，即可求出交点坐标，继而求出结果，本题属于中档题。23.已知函数 ， .（1）若 ，解不等式 ；（2）若方程 有三个不同的解，求实数的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】代入 ，化简不等式 ，继而求出结果化简 令 ，结合图像求出有三个不同解的结果【详解】 （1）若 ，不等式 可化为 ，从而 ，所以 ，因此不等式解集为 （2）方程 可化为 ，令 ，画出 的图像，由图可知要使得方程 有三个不同的解，则实数的取值范围为 .第页 16【点睛】在解含有绝对值不等式时先分类讨论去绝对值，然后再求解不等式，在求三个不同解时运用数形结合思想，画出函数图像求出结果。
