1、2018 届江西师范大学附属中学高三 4 月月考数学（理）试题（解析版）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个正确选项。1. 设集合 AxR|x i|2，B yR|y ，则 R(AB)( )A. x|0 x3 B. x|x0 或 x C. x|x 或 x D. x|x0 或 x 【答案】B【解析】由集合 得 ，由集合 得 ，或 ，故选 B.2. 已知随机变量 X 服从二项分布 B（n，p） ，若 E（X）=30，D（X）=20，则 n，p 分别等于（ ）A. n=45，p= B. n=45，p= C. n=90，p= D. n=90，p=【答案】C【解析】
2、随机变量 服从二项分布 ，若 ，根据二项分布的期望公式以及二项分布的方差公式可得， ，解得 ，故选 C3. 已知定义域为 R 的函数 f（x）不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 定义域为 的函数 不是偶函数， 为假命题，为真命题，故选 C.4. 数列a n的通项 an 是关于 x 的不等式 x2xnx（nN *）的解集中的整数个数，则数列a n的前 n 项和Sn=（ ）A. n2 B. n(n+1) C. D. (n+1)(n+2）【答案】C【解析】不等式 的解集为 ，通项 是解集中的整数个数， ， （常数） ，数列 是首先为 1，公差为 1
3、 的等差数列，前 项和，故选 C.5. 函数 y=x+cosx 的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由于 ， ，且 ，故此函数是非奇非偶函数，排除 ；又当 时，满足 ，即 的图象与直线 的交点中有一个点的横坐标为 ，排除 ， 故选 B【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除6. 和 是抛物线 上不同两点
4、， 为焦点 ，以下正确选项是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在抛物线 中焦参数为 ，因此，由焦半径公式可得 ，所以，即 ，故选 A7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个 圆锥，然后挖掉一个相同的 圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等则故选8. 执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】由框图得 ， ； ， ；， ；， ；， ， ，此时不再循环，则输出 ，故选 D.9. （x2+3xy）5
5、的展开式中，x 5y2 的系数为（ ）A. 90 B. 30 C. 30 D. 90【答案】D【解析】 的展开式中通项公式： ，令 ，解得 ， 的系数 ，故选 D【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10. 函数 是偶函数，则函数 的对称轴是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 函数 是偶函数， 函数 的图象关
6、于 轴对称， 函数 是由函数的图象向左平移一个单位得到， 函数 的对称轴是直线 ，故选 A.11. 已知平面直角坐标系 上的区域 D 由不等式组 给定.若 M(x，y)为 D 上动点，点 A 的坐标为( ，1)则 的最大值为A. B. C. 4 D. 3【答案】C【解析】试题分析：由 和点 的坐标为 得 ， ,所以.根据不等式组和表达式画出可行域及目标直线如下图所示，当直线移动到过点时， 取得最大值 故本题正确答案为 B考点：简单线性规划和向量的数量积.12. 定义域和值域均为 （常数 a0）的函数 和 大致图象如图所示，给出下列四个命题：方程 有且仅有三个解；方程 有且仅有三个解；方程 有且
7、仅有九个解；方程 有且仅有一个解。那么，其中一定正确的命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 方程 有且仅有三个解； 有三个不同的值，由于 是减函数，所以有三个解，正确；方程 有且仅有三个解；从图中可知， ，可能有 个解，方程 也可能有个解，不正确；方程 有且仅有九个解；从图中可知， ，可能有 个解，方程最多九个解， 不正确；因为方程 有且仅有一个解，结合图象 是减函数， ，所以方程 有且仅有一个解， 正确，故选 C.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质，函数与方程思想以及数形结合思想的应用，属于难题 . 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数
8、学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数 ；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、填空题 ：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知向量 夹角为 ，且 ，则 _【答案】3【解析】14. 已知 xy=2x+y+2（x1） ，则 x+y 的最小值为_【答案】7【解析】试题分析：xy=2x+y+2， ，当且仅当 即 x=3 时取等号考点：基本不等式15. 设椭圆 的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上运动
9、， 的最大值为 m，的最小值为 n，且 m2n，则该椭圆的离心率的取值范围为 _【答案】【解析】 ， ， ，的最大值 ，设 ，则 ， ， 的最小值为 ， 由 ，得，解得 ，故答案为 【方法点晴】本题主要考查平面向量数量积公式、利用椭圆定义与的简单性质求椭圆的离心率范围，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 的不等式等式，从而求出 的范围.本题是利用 构造出关于
10、 的不等式，最后解出 的范围.16. 底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水_.【答案】 cm3【解析】设四个实心铁球的球心为 ，其中 为下层两球的球心，四个球心连线组成棱长为 的正四面体， 分别为四个球心在底面的射影，则 是一个边长为 的正方形，所以注水高为正四面体相对棱的距离与球半径的二倍的和，即为 ， 故应注水的体积等于以注入水的高度为高的圆柱的体积减去四个球的体积， ，故答案为 .三、解答题：共 70 分。第 17 题到第 21 题为必答题，每题 12 分。第
11、22 题和第 23 题为选做题，考生只需选择其中之一做答，该小题 10 分。17. 在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，S 是该三角形的面积，且（1）求角 A 的大小；（2）若角 A 为锐角， ，求边 BC 上的中线 AD 的长.【答案】 （1） 或 ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据诱导公式，降幂公式，二倍角公式将题中式子化简为 ，再根据 为三角形内角即可求出 ；（2）根据角 为锐角和（1）可得 ，然后根据三角形的面积公式再结合条件可求出 的值，而求边 上中线 的长有两种思路，法一：由于 为 边上的中线，则根据向量加法的平行四边形法则可得 ，然后两边平方即可求出 也
12、即为 的长；法二 ：先根据 利用余弦定理求出的值， 再在 和 中两次利用余弦定理即可求出 的值.试题解析：（1）原式 因 （2）因 A 为锐角，则而面积 解法一：又由余弦定理 ， 又 ，即 解法二：作 CE 平行于 AB，并延长 AD 交 CE 地 E，在ACE 中，又即这样18. 如图,在直三棱柱 中,AB=BC，D 、E 分别为 的中点.(1)证明：ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线段；(2)设 AB=1, ,求二面角 A1ADC1 的大小.【答案】 （1）见解析；（2）60.【解析】试题分析：（1）设 为 中点,连接 ,先证明 是平行四边形，再证明 平面 ，从而可得 平面 ，
13、可得 与直线 与 都垂直且相交 ，进而可得结论；（2）连接 作，垂足为 ，连接 ，根据二面角的平面角定义可知 为二面角 的平面角，在直角三角形 中求出正切值即可得结果.试题解析：() 设 O 为 AC 中点，连接 EO， BO，则 EO C1C，又 C1C B1B，所以 EO DB， EOBD 为平行四边形， ED OB AB BC， BO AC，又平面 ABC平面 ACC1A1， BO面 ABC，故 BO平面 ACC1A1， ED平面 ACC1A1， BD AC1， ED CC1， ED BB1， ED 为异面直线 AC1与 BB1的公垂线 解：（）连接 A1E，由 AB=1,AA1 AC
14、可知， A1ACC1为正方形， A1E AC1，又由 ED平面 ACC1A1和 ED平面 ADC1知平面ADC1平面 A1ACC1， A1E平面 ADC1作 EF AD，垂足为 F，连接 A1F，则 A1F AD， A1FE 为二面角A1 AD C1的平面角由已知 AB ED=1, AA1 AC ， AE=A1E=1，EF ，tan A1FE = ， A1FE60 所以二面角 A1 AD C1为 6019. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件和5 件，测量产品中的微量元素 x，y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：编
15、号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81已知甲厂生产的产品共有 98 件.（1）求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素 x，y 满足 x175，且 y75 时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.【答案】 （1）35；（2）14；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）由分层抽样可知各层抽取的比例相等，先计算出甲厂抽取的比例， 按此比例计算乙厂生产的产品总数即可， （2）先计算抽取的 件样品中优
16、等品的概率， 再由此概率估计乙厂生产的优等品的数量即可；（2）的所有可能取值为 ，由组合知识结合古典概型分别求出各随机变量对应概率，可得此分布列为超几何分布，利用期望公式求期望即可.试题解析：（1）乙厂生产的产品总数为 ；（2 ）样品中优等品的频率为 ，乙厂生产的优等品的数量为 ； （3 ） ， ，的分布列为0 1 2均值 .20. 已知椭圆 的两个焦点分别为 和 ，过点 的直线与椭圆相交于两点，且 , 。（1）求椭圆的离心率；（2）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 上有一点 在 的外接圆上，求 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由 且 ，得 ，从而 ，由此可以求出椭圆的离心率；（2）当 时,得 ， , 线段 的垂直平分线的方程为 直线与 轴的交点 是 外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 ，设直线 的方程为，由 ，可以推导出 的值.试题解析：（1）解：由 / 且 ，得 ，从而整理，得 ，故离心率(2)解法一：由（II）可知当 时，得 ，由已知得 .线段 的垂直平分线 l 的方程为 直线 l 与 x 轴的交点 是 外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 .
