1、第页 1江西师大附中高三 10 月月考试卷理科数学一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题只有一个选项符合题意 ）1.设复数 ，其中 是实数，是虚数单位，若 ，则复数在复平面内对应的点位于 （ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据 求出 的值，得到 ，即可得到答案【详解】由 可得：，解得 ，复数在复平面内对应的点位于第一象限故选【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及其几何意义，首先求出 的值，再判断对应点在复平面内所在的象限。2.已知集合 ，集合 ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分
2、析】先确定出集合 ，再求出【详解】 ，第页 2，故选【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题。3.已知向量与 的夹角是 ，且 ，若 ，则实数 的值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意中 ，给出向量的点乘为零，求出结果【详解】 向量与 的夹角是 ，且 ，则即解得故选【点睛】本题主要考查了数量积的求值，只需按照题意计算出向量的点乘即可求出结果，较为基础。4.下列命题中的假命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的性质判断 A，B 的正误；对数函数的性质判断 D 的正误；【详解】当 x（0，+）时，3 x2 x成立，A 为真；设
3、 f（x）=ex-1-x，x（0，+），f（x）=ex-10，函数 f（x）在 x（0，+）上是增函数， x（0，+） ，有 f（x）f （0）=0，即 ex1+x， B 为真；D. 第页 3显然为真，故选 C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，理解命题的概念是判断命题真假的关键，突出导数的考察，属于中档题5.曲线 在 处的切线的倾斜角是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求导，然后求出切线的斜率，继而得到倾斜角【详解】当 时，则倾斜角为故选【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，求导后先求出在某点处切线的斜率，然后求出倾斜角的大小，较为基础。6.函数 的图像可能是（
4、 ）A. B. .C. D. 【答案】A【解析】第页 4【分析】由函数的奇偶性来判定函数图像【详解】设 ，其定义域关于坐标原点对称又是奇函数，故排除令 ，则，故排除故选【点睛】本题主要考查了具体函数的图像的判定，往往需要根据函数的性质，如奇偶性、单调性或者取值来确定函数图像，较为基础。7.函数 ，若 ，则的值是 （ ）A. B. 或 C. D. 或【答案】B【解析】【分析】将 直接代入分段函数求解即可【详解】 ， ，当 时，解得 或 （舍去）当 时， ，解得综上，的值为 或故选【点睛】本题主要考查了分段函数的值的求法，需要分别代入不同区间的解析式来求出结果，属于基础题。8.已知函数 ，给出下列
5、四个结论：（ ）第页 5函数 的最小正周期是 ； 函数 在区间 上是减函数；函数 图像关于 对称；函数 的图像可由函数 的图像向右平移 个单位，再向下平移 1 个单位得到其中正确结论的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】对四个结论逐个进行分析即可得到答案【详解】函数 的最小正周期 ，故正确令解得当 时， 在区间 上是减函数，故正确令 ，解得则 图像关于 对称，故错误可以由 的图象向左平移 个单位，再向下平移一个单位得到，故 错误综上，正确的结论有 2 个故选【点睛】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，着重考查了正弦函数的周期性和单调性，属于中档题。9.定义
6、在 上的函数 满足 ，若 在 上是增函数，记，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】第页 6【分析】先求出函数的周期性，然后结合函数单调性确定数的大小【详解】 ，的周期，在 上是增函数则 ，即故选【点睛】本题考查了运用函数的周期性和单调性比较数的大小，较为基础，注意周期性的运用。10.已知 的内角 所对的边分别是 ， ，则“ ”是“ 有两解”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由正弦定理化简可得 ，然后结合三角形有两解的情况算出结果来判定充分性和必要性。【详解】 ，当 有两解时，则 ，解得“ ”是“
7、 有两解”的必要不充分条件故选【点睛】本题是一道综合性题目，考查了运用正弦定理解三角形，然后判定三角形有两解的情况，再推出第页 7充分性和必要性，属于中档题。11.如图，在 中，已知 ，点 为 的三等分点（靠近点 ） ，则 的取值范围为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将 进行线性表示出来，然后运用向量的点乘运算求出范围【详解】因为所以则故选【点睛】本题考查了向量的线性运算，运用基底来表示相关向量，然后计算求得结果，属于中档题，注意向量的表示方法。12.已知 是定义在 上的可导函数，且满足 ，则（ ）A. B. C. 为减函数 D. 为增函数【答案】B【解析】【分析】构
8、造新函数判定函数的增减性，从而得到结果【详解】构造函数 ，则在 上单调递减第页 8当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，当 时，带入原式可知综上所述，则故选【点睛】本题主要考查了导数的运用，关键是构造新函数，先判断新函数的单调性，然后得到原函数的取值问题，在解题时对题目的理解和条件的运用很重要。二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ）13. _【答案】【解析】【分析】运用定积分的运算法则来求解【详解】 表示四分之一单位圆，故故答案为【点睛】本题主要考查了是定积分在求面积中的应用，属于基础题。14.如图所示，在 中， ， 是 上的一点，若 则，实数 的值为_ 第页 9【答案
9、】【解析】【分析】在三角形内运用向量之间的转化来表示 ，然后求出结果【详解】设由已知可得，解得则 的值为【点睛】本题考查了向量的线性表示，以基底作为出发点，来表示要求向量，在解答此类题目时往往将内部的向量转化到两边的向量上。15.已知函数 ，若存在两个不相等的实数 ，使得 （其中为自然对数的底数） ，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】运用导数求出 的最小值，然后计算出结果【详解】 函数 ，,当 时， ， 单调递减第页 10当 时， ， 单调递增，若则，的取值范围为故答案为【点睛】本题考查了运用导数求函数的最值问题，在求解过程中求导后判定其增减性，然后计算出最小值，从而得到结果，不要计
10、算出错，本题的解法还是需要掌握。16.在锐角 中，角 的对边分别为 ， ， ，则 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】运用正弦定理将边转化为角，然后用辅助角公式化简求范围【详解】由 可得根据正弦定理可得可得 ， ，令 ，可得，是一个确定值则故答案为第页 11【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形问题，在解答关于边长的范围问题时可以运用正弦定理将边转化为角，然后进行化简求出范围，此类题目解法需要掌握。三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数 ，数列 满足 （1）求数列 的通项公式；（2）令 ，若 对一切 成立，求最小正整数 【答案】
11、（1） ；（2）2019【解析】【分析】代入已知条件即可得到结果运用裂项求和法计算数列的和【详解】 （1）已知：故数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列（2） 即： 对一切 成立又 随着单调递增，且 故 的最小值为 2019【点睛】本题考查了证明数列是等差数列，运用裂项求和法计算数列的和，在解题过程中掌握解题方法尤为重要。18.如图，四棱锥 的底面 为平行四边形， ， 第页 12（1）求证： ；（2）若 ， ， ，求平面 与平面 所成角的余弦值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】取 中点 ，连 ，证明 ， ，得证 面 即可得到结果以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,计算法
12、向量求出二面角的余弦值【详解】 （1）证明：取 中点 ，连 ， ， ， ， 面 ，又 面 ， （2） ， ， ， 是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， .，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， 从而得 ， ， ， 设平面 的法向量第页 13则 ，即 ， ，设平面 的法向量 ，由 ，得 ，故所求的二面角的余弦值为【点睛】本题考查了二面角的平面角及求法，可以运用空间向量，建立空间直角坐标系，求出法向量，然后运用公式求出面面角的二面角余弦值。19.“过大年，吃水饺” 是我国不少地方过春节的一大习俗2018 年春节前夕， 市某质检部门随机抽取了100 包某种品牌的速冻水饺，检测
13、其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示（1）求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 （同一组中数据用该组区间的中点值作代表） ；（2）由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 服从正态分布 ，利用该正态分布，求 落在内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于 内的包数为 ，求 的分布列和数学期望附：计算得所抽查的这 100 包速冻水饺的质量指标的标准差为 ；若 ，则 ， 【答案】 （1）26.5（2）0.6826见解析【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的
14、积的和就是所抽取的 100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）根据 服从正态分布 ，从而求出 ；第页 14根据题意得 ， 的可能取值为 ，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得 的数学期望.试题解析：（1）所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 为：（2） 服从正态分布 ，且 ， ， ， 落在 内的概率是 根据题意得 ，； ； ； ；. 的分布列为0 1 2 3 4 20.已知椭圆 ： 的离心率为 ，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为 2（1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线： 与椭圆 相交于 ， 两点，在
15、轴上是否存在点 ，使直线 与 的斜率之和为定值？若存在，求出点 坐标及该定值，若不存在，试说明理由【答案】(1) (2) 存在点 ，使得 为定值，且定值为 0【解析】试题分析：（1）由椭圆 的离心率为 ，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为 可得第页 15，解方程组即可的结果；（2）由 得 ，根据韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得 ，只需令 ，即可得结果.试题解析：（1）由已知可得 解得 ， ，所求椭圆方程为 （2）由 得 ，则 ，解得 或 设 ， ，则 ， ，设存在点 ，则 ， ，所以 要使 为定值，只需 与参数 无关，故 ，解得 ，当 时， 综上所述，存在点 ，使得 为定值，且定值为
16、 021.设 ，函数（1 ） 若 无零点，求实数的取值范围；（2 ） 若 有两个相异零点 ，求证： 【答案】 （1） ；（2）见解析第页 16【解析】【分析】求导后分类讨论无零点的情况下的取值令 ，构造 ，求导后证明不等式成立【详解】(1)若 时，则 是区间 上的增函数， ，函数 在区间 有唯一零点；若 ，有唯一零点 ；若 ，令 ，得 ，在区间 上， ，函数 是增函数；在区间 故在区间 (2)因为 ， 是方程 的两个不同的实数根. 两式相减得 ，解得要证： ，即证： ，即证： ，即证 ， 不妨设 ，令 .只需证 .设 ， ；第页 17令 ， ， 在 上单调递减， ， ， 在 为减函数， .即
17、在 恒成立，原不等式成立，即 .【点睛】本题考查了导数的综合运用，运用分类讨论求出无零点的取值范围，在证明不等式成立时有一定难度，需要构造新函数，求导后证明，关于极值点偏移问题需要多加整理分析问题。22.已知曲线 的参数方程为 ，在极坐标系中曲线 的极坐标方程为 （1 ） 求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；（2 ） 若曲线 与曲线 交于 两点，求 【答案】 （1） ， ；（2）【解析】【分析】运用消参法求出曲线的普通方程和直角坐标方程运用弦长公式求出结果【详解】 （1）曲线 的参数方程为 ，消去参数，得 ，故曲线 的普通方程为 .因为 ，即 .所以曲线 的直角坐标方程为 ，即 . （2
18、）由 ，消去 ，可得 ，即 .所以 ， ，所以 .【点睛】本题考查了曲线普通方程和直角坐标方程之间的转化，只需运用公式代入化简即可，在求长度时运用弦长公式即可算出答案，较为基础。23.设函数 （1 ） 若 的最小值是 ，求的值；（2 ） 若对于任意的实数 ，总存在 ，使 得 成立，求实数 的取值范围第页 18【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（）由绝对值不等式知 ，当且仅当 异号时等号成立，所以，故 ； （）原不等式等价于关于的不等式 在 有解，所以 ，由此解出 的范围即可.详解：（） ，由已知 ，知 ，解得 .（）由题知 ，又是存在的， .即 ，变形得 ， ， .点睛：（1）利用 和 可对含绝对值的不等式进行放缩，从而求得最值（注意验证取等号的条件） ；（2）含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离.
