1、等比数列的概念与通项公式教学目标1理解等比数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；2了解等比数列的推导方法；3掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题 教学重点等比数列的概念 （q 为常数） ；通项公式： an1 1nqa教学难点等比数列的递推公式与通项公式的转化教学过程复习回顾前面我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下主要内容等差数列定义： （n2） dan1等差数列性质：（1）a，A，b 成等差数列，由 ；bA（2）若 m+n=p+q，则 am+an=ap+aq等差数列求和公式：)(1nnaSd2)1(1问题情境数列：1，3，5，7，2n1，2，1，4，3n5，1
2、，1，1，1，这些数列均为等差数列，满足 ana n1 d ( n2 ) 我们来观察下列几个数列，看其又有何共同特点？1，2，4，8，16，2 63； 5，25，125，625，； 1， ； ,是等差数列吗？如果不是，你能试着总结这些数列的特点吗？特点：对于数列， ， （n2） ；12na对于数列， ， （n2） ；na51对于数列， ， （n2） 1)(nn na共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点数学理论1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫
3、做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示（q0） ，即： （n2） )0(:1qan前面我们观察的数列，都是等比数列，它们的公比依次是 2，5， .1那么数列 1，1，1，1，呢？*说明：（1）“从第 2 项起”，各项均满足；（2）次序，后项比前项： q，n2，或 q；anan 1 an 1an（3）q 为常数，体现“等”比；（4）由递推公式，a n0，且 q0；a n1 a n q；（5）非零常数列既是等差数列，也是等比数列例 1 判断下列各数列是否为等比数列？如果是，请写出公比：(1) 1，5，25，125； (2) 0，1，2，4，8；(3) 1， ， ， ， ；
4、 (4) a，a，a，a，a12 14 18 116解：(1) 该数列是等比数列，q5(2) 该数列不是等比数列(3) 该数列是等比数列，q 12(4) 当 a0 时，该数列不是等比数列；当 a0 时，该数列是等比数列，公比 q1例 2 求下列等比数列中的未知项：(1)2，a，8； (2) 4，b，c， 12解：(1)由题意，得 ， a 216，故 a4a2 8a(2)由题意，得 ， b 24c，b2c 2，解得 b2，c1b 4 cb 12c推广：如果 A，B，C 三个数成等比数列，那么 B2AC ，我们把 B 叫做 A，C 的等比中项注意 （1）与等差中项不同的是同号两数才有等比中项；等比
5、中项有两个当 ，0a时， 也叫做 ， 的几何平均数0babG（2）对于公比为 的无穷等比数列 ，如果 2 是其中除第 1 项以外的任qnan()意一项，那么它的前一项是 ，后一项是 ，由 可知， 是它的前nqn(qannn一项与后一项的等比中项事实上等比数列中的任意一项都是它的前后等距离的项的等比中项练习：(1) 2 与 4 的等比中项是_；( 3) 2 与(3) 6 的等比中项是 _2等比数列的通项公式例 已知等比数列a n的首项 a13，q2，求 a10若根据递推公式则需求出前 9 项，则需探求通项公式此数列的前几项依次为：3，6，12，24，48，利用观察法可得 an32 n1 ，但需证
6、明是否各项均满足证法一：对等比数列a n，若首项为 a1，公比为 q，则q， q， q， q， qa2a1 a3a2 a4a3 an 1an 2 anan 1将这 n1 个式子左右两边分别相乘，得 q n1 ，故 ana 1 qn1 ana1当 n1 时，上述等式也成立证法二：或者由定义得：；qa12；213)(qa；3214 )0(11qaqannn=1 时，等式也成立，即对一切 成立Nn等比数列的通项公式沟通了 a1，a n，n 与 q 之间的联系如：数列， 12nna（n64） ，表示这个等比数列的各点都在函数 的图象上.如图所示12xy数学应用例 3 已知在等比数列a n中，首项 a1
7、3，q2，求通项公式 an 及 a6；解 an3(2) n1 ，a 63( 2) 61 96例 4 已知在等比数列a n中，a 320，a 6160，求通项公式 an 解 由题意，a 3a 1q220， a6a 1q5160，解得 q2，a 15，故 an52 n1 或解 a6a 3q3，即 16020 q3，解得 q=2故 ana 32n3 202 n3 52 n1 推广的等比数列通项公式 ana mqnm 从函数的角度看等比数列的通项公式，根据首项和公比的不同取值，考察等比数列中各项的变化特点尤其对于 q0 时的等比数列，为摆动数列，相邻两项符号相反，但间隔的两项一定同号例 5 一个等比数
8、列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18，求它的第 1 项与第 2 项解 设这个等比数列的第 1 项是 ，公比是 q，那么a， ， 21qa183由可得第 ，把代入可得 361 82qa 这个数列的第 1 项与第 2 项分别是 和 8316例 6 已知 是项数相同的等比数列，求证 是等比数列nba, nba证明：设数列 的首项是 ，公比为 q1； 的首项为 b1，公比为 q2，1an那么数列 的第 n 项与第 n+1 项分别为：n，nnnn qbaqba211211 与即为 )()(与 ，21211)(qbann它是一个与 n 无关的常数，所以 是一个以 q1q2 为公比的等比数列nb
9、a例 7 在 243 和 3 中间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列这 3 个数依次为多少？解 设 a1243，a 53，插入的三个数依次为 a2，a 3，a 4由题意，q 4 ，解得 q a5a1 181 13故此三数依次为 81，27，9，或81，27，9借助教材50例 3 推广的等比中项的概念：或解 设 a1243，a 53，插入的三个数依次为 a2，a 3，a 4a32a 1a5729，又 a30， 所以 a381a22a 1a3，故 a281，且当 a281 时，a 49；当 a281 时，a 49故此三数依次为 81，27，9，或81，27，9例 8 一个边长为 1 的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段如此继续下去，试求第 n 个图形的边长和周长解 设第 n 个图形的边长为 an由题意，a n( )n1 13第 n 个图形的边数为 34n1 ，则第 n 个图形的周长为( )n1 34n1 3( )n1 13 43(1) (2) (3)
