1、听课随笔第 14 课时 等比数列的前 n 项和(3)【学习导航】知识网络 学习要求 1进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式；2提高分析、解决问题能力，能用等比数列的知识解决某些实际问题。【自学评价】1对于分期付款，银行有如下规定：（）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；（）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和2若 是等比数列，且公比 ，则数列 ，是等比数列;na1q232,nnnSS当 ，且 为偶数时，数列1q，是常数数列 0，它不是等比数列. 232,nSS3. 当 时， ，这里 ，但 ，这是等比baqqan10a,0ab数列前 项和公
2、式特征，据此判断数列 是否为等比数列nn【精典范例】【例 1】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题全国 9100 万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占国家确定 2000 年西部地区退耕土地面积为 515 万亩，以后每年退耕土地面积递增，那么从 2000 年起到 2005 年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？【解】根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从 2000 年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列 ，其中na515，1.12，1a则答 从 2000 年起到 2005 年底，西部地区退耕还林的面积共有 4179 万亩【例 2】
3、某人 2004 年初向银行申请个人住房公积金贷款 20 万元购买住房，月利率3.375，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷如果 10 年还清，那么每月应还贷多少元？分析：对于分期付款，银行有如下规定：（）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；（）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和为解决上述问题，我们先考察一般情形设某商品一次性付款的金额为元，以分期付款的形式等额地分成次付清，每期期末所付款是元，则分期付款方式可表示为：从而有运用等比数列求和公式，化简得这就是分期付款的数学模型【解】 设每月应还贷元，共付款1210=120 次，则有
4、化简得答 每月应还贷款 2029.66 元追踪训练一1 回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？【答案】塔顶 3 盏灯2我国 1980 年底人口以十亿计算（）若我国人口年增长率为 1.2，则到 2005 年底我国约有多少人口？（）要使我国到 2010 年底人口不超过 14 亿，那么人口的年平均增长率最高是多少？【答案】（1）2005 年底我国约有 13.5 亿人口（2）人口的年平均增长率最高是 1.13 顾客采用分期付款的方式购买一件 5000 元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第 12 个月将货
5、款全部付清，月利率 0.5按复利计算，该顾客每月应付款多少元？听课随笔【答案】顾客每月应付款 430 元4某企业年初有资金 1000 万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到 50%，但每年底都要扣除消费基金 x 万元，余下资金投入再生产，为实现经过 5 年资金达到 2000万元（扣除消费基金后） ，那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？【解】设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列 ，则naa1=1000（1+50%）x=1000 x；23a2=(1000 x)(1+50%) x3=1000( )2(1+ )x;依次类推得 a5=1000( )51+ +( )2+( )3
6、+( )4x.由题意知：1000( )51+ +( )2+( )3+( )4x23=2000解得 x424 万元【选修延伸】【例 3】设数列 的首项 a1=1,前 n 项的和 Sn 满足关系式 3tSn(2t+3)S n1 =3t(t 为常数,na且 t0, n=2,3,4,)。(1)求证：数列 是等比数列；n(2)设 的公比为 f(t)，作数列 ，使得 b1=1,bn=f( ) (n=2,3,4,)，求 的通项nan1nb公式。(3)求和：b 1b2b 2b3+b3b4 +b2n1 b2nb 2nb2n+1【解】(1)求得 a1=S1=1 S2=a1+a2=1+a2,代入关系式，得 ,又 3
7、tSn(2t+3)S n1 =3t, ta323tSn1 (2t+3)S n2 =3t, 两式相减得 3tan(2t+3)a n1 =0, tan31听课随笔(2)由 f(t)= 321t得 bn=f 11)(nb由此可得 32n(3)原式=b2(b1b 3)+b4(b3b 5)+b2n(b2n1 b 2n+1)= 394)【例 4】在数列 中， 求数列 的前 n 项和 Sn.na)(为 偶 数为 奇 数nn a分析：要分成偶数项和奇数项之和分别求解。【解】当 n=2k(kN+)时，a 1,a3,a5,，a 2k1 ，成等差数列，公有效差为 4，首项为1；而 a2,a4，a 2k，成等比数列，
8、公比为 q，首项为 a2=9,. ()9()121)8kkkS将 k= 代入得n)3(89)(2nnS当 n=2k1 时，由 S2k1 =S2k a2k，得 .89312)(nn追踪训练二1已知等比数列a n中，前 n 项和 Sn=54,S2n=60,则 S3n 等于（ C ）A.64 B.66 C.60 D.66322已知a n 是公比为 的等比数列 ，若 a1+a4+a7+a97=100,则 a3+a6+a9+a99 的值是1（ A ）A.25 B.50 C.75 D.1253.数列 1，1+2,1+2+2 2，(1+2+2 2+2n1 )，前 n 项和等于（ B ）A.2n+1n B.2n+1n2 C.2nn D.2n4等比数列a n共 2n 项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比q=_2_.5若等比数列a n中，S 42，S 86，则 a17a 18a 19+a20 的值等于_32_.【师生互动】学生质疑教师释疑
