1、听课随笔第 11 课时等比数列的概念和通项公式 【学习导航】知识网络 学习要求 1灵活应用等比数列的定义及通项公式；2熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法；3灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.【自学评价】1. 等比数列的性质：（1） （ ） ；nmaq,N(2）对于 k、l、 m、nN*，若 ，则 akal=aman.；npq（3）每隔 项（ ）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为等比数列；4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。2. (1) 若a n为等比数列，公比为 q，则 a2n也是等比数列，公比为 q2.
2、(2) 若a n为等比数列，公比为 q(q1),则a 2n1 +a2n也是等比数列，公比为 q2.(3) 若a n、 bn是等比数列，则a nbn也是等比数列.(4) 三个数 a、b、c 成等比数列的，则 0c【精典范例】【例 1】已知四个数前 3 个成等差，后三个成等比，中间两数之积为 16，前后两数之积为128，求这四个数. 【解】 设所求四个数为aq， ，aq，aq 3qa2由得 a216 a4 或 a4 由得2a2q2a 2q4128将 a216 代入整理得q42q 280 解得 q24 q2 或 q2因此所求的四个数为4，2，8，32 或 4，2，8，32.【点评】 根据四个数前 3
3、 个成等差，后三个成等比，列方程可利用 a、q 表示四个数，根则由已知 18)(6)3aq据中间两数之积为 16，将中间两个数设为 ，aq 这样既可使未知量减少，同时解方程也qa较为方便.【例 2】若 a、b、c 成等比数列，试证：a 2b 2，acbc ，b 2c 2 也成等比数列.【证明】 由 a、b、c 成等比数列，则 abc0 且 b2ac(a2b 2)(b2c 2)( a2ac)(acc 2)ac(ac) 2b 2(ac) 2(abbc) 2显然 a2b 2、b 2c 2 都不等零，且 abbc0a 2b 2，abbc，b 2c 2 成等比数列.【点评】 证明数列成等比数列，可利用等
4、比数列的定义，而证明三个数 a，b，c 成等比，可证明 b2ac，要注意说明 a、b、c 全不为零.追踪训练一1在等比数列a n中，a 1= ,q=2,则 a4 与 a8 的等比中项是( B )8A.4 B.4 C. D. 2在等比数列a n中，已知 a5=2,则这个数列的前 9 项的乘积等于( B )A.512 B.512 C.256 D.25632，x,y,z,162 是成等比数列的五个正整数，则 z 的值等于( A )A.54 B.27 C.9 D.34已知a n是等比数列，且 an0，a 2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 的值等于( A )A.5 B.10 C.15
5、 D.205已知等差数列a n的公差 d0,且 a1，a 3，a 9 成等比数列，则 的值为 .104293163【选修延伸】【例 3】在 中， ，试求 的通项na2,11nanan【解】设 则)(31n可得 121n，为等比数列，首项为 =2,公比为 3a1a，13nn2【例 4】在 中， ，试求 的通项n 3,11nanan【解】原式可变为： ，1n可构造为)2(31na听课随笔为等比数列，首项 ，公比 321na21a，13nn【例 5】在 中 ， 求 的通项a1132nna5,6nan【解】法一：原式变形为： ，设 ，1nn )2(321nn即 ，321naa，3即 ，)(1nn为等比
6、数列，首项 ，公比2a321a432，1)3(4nnnn2法二：设 ，即)2(311nnaa1n 即 ，)(21nn为等比数列，3a首项 ，公比 ，131，23nna追踪训练二1在等比数列a n中，若 a2a8=36,a3a 715，则公比 q 值的可能个数为( D )A.1 B.2 C.3 D.42在各项都为正数的等比数列a n中，若 a5a69，则 log3a1+log3a2+log3a3+log3a10等于( B )A.8 B.10 C.12 D.2log 353已知一个直角三角形三边的长成等比数列，则( C )听课随笔A.三边边长之比为 345B.三边边长之比为 1 3C.较小锐角的正弦为 2D.较大锐角的正弦为 154公差不为 0 的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为 ( C )A.1 B.2 C.3 D.45已知数列满足 a1= ,且 an+1= an+ ,nN*87231(1)求证a n 是等比数列.32(2)求数列a n的通项公式.【解】(1)【证明】 由 an+1 = an+ 得213an+1 又 an 0)(32 11n即，数列a n 构成等比数列.32(2)由(1)知 an =(a1 )（ ） n1 ,2且 a1= 87即 an=(a1 n1 +)2(3= =45325【师生互动】学生质疑教师释疑
