1、第一章综合检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知 C C C (nN *)，则 n 等于( )7n 1 7n 8nA14 B12 C 13 D15答案 A解析 因为 C C C ，所以 C C .8n 7n 8n 1 7n 1 8n 178n1，n14，故选 A.2设 f(x)(2 x1) 55(2x 1) 410(2x1) 310(2 x1)310(2 x1) 25(2 x1)1，则 f(x)等于( )A(2x2) 5 B2x 5C (2x1) 5 D(2x )5答案
2、 D解析 f(x)C (2x1) 5(1) 0C (2x1) 4(1) 1C (2x1)05 15 253( 1)2C (2x1) 2(1) 3C (2x1) 1 ( 1)4C (2x1) 0(1)35 45 55(2 x1)1 5(2x )5.3(2013晋中市祁县二中高二期中) 某城市的街道如图，某人要从 A 地前往 B 地，则路程最短的走法有( )A8 种 B10 种 C 12 种 D32 种答案 B解析 此人从 A 到 B，路程最短的走法应走两纵 3 横，将纵用0 表示，横用 1 表示，则一种走法就是 2 个 0 和 3 个 1 的一个排列，只需从 5 个位置中选 2 个排 0，其余位
3、置排 1 即可，故共有 C 1025种(注：若排法为 10011，则走法如图中箭头所示)4(2013新课标 理，9) 设 m 为正整数，(xy )2m展开式的二项式系数的最大值为 a，(xy )2m1 展开式的二项式系数的最大值为b，若 13a7b，则 m( )A5 B6 C 7 D8答案 B解析 a C ，m22m2m 1m 1m！bC ，m 12 2m 12mm 2m！又13a7b，13(m1)7(2 m1)，m6.5(2012新课标全国理，2) 将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有(
4、 )A12 种 B10 种 C 9 种 D8 种答案 A解析 本题考查了组合及分步计数原理的运用分两步进行：第一步，先派一名教师到甲地，另一名教师去乙地，共有 C 种选法；第二步，选派两名学生到甲地，另两名学生12到乙地，有 C 种选法，由分步乘法计数原理知，共有不同选派方24案 C C 12 种12 246某位高三学生要参加高校自主招生考试，现从 6 所高校中选择 3 所报考，其中两所学校的考试时间相同则该学生不同的报名方法种数是( )A12 B15 C 16 D20答案 C解析 若该考生不选择两所考试时间相同的学校，有 C 434种报名方法；若该考生选择两所考试时间相同的学校之一，有C C
5、 12 种报名方法，故共有 41216 种不同的报名方法24 127某科技小组有 6 名同学，现从中选出 3 人去参观展览，至少有 1 名女生入选的不同选法有 16 种，则小组中的女生数为( )A2 B3 C 4 D5答案 A解析 由题意可用排除法，设有女生 x 人，则有男生 6x 人，于是有 C C 16，即(6x)(5 x)(4 x)24，将各选项逐个36 36 x代入验证可得 x2.8从 0、1、2、3、4、5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )A300 B216 C 180 D162答案 C解析 本小题主要考查排列组合的基础知识由题意知可分为两类
6、，(1)选“0”，共有 C C C A 108，23 12 13 3(2)不选 “0”，共有 C A 72，23 4由分类加法计数原理得 72108180，故选 C.9将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排 2名学生，那么互不相同的分配方案共有( )A252 种 B112 种 C 20 种 D56 种答案 B解析 每个宿舍至少 2 名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2 人、3 人、4 人、5 人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定有C C C C 112 种27 37 47 5710(2013 山东嘉祥一中高二期中) 若(x )n的展开式中各项系2x数和为 99n ，则展开式中系数最
7、大的项为( )A第 3 项 B第 4 项C第 5 项 D第 6 项答案 C解析 由条件知，3n9 9n ，3 n3 182n ，n182n，n6.展开式的通项 Tr1 C x6r ( )r2 rC x62r ，由条件得r62x r6Error!Error!Error!0r6 且 rZ，r 4，故选 C. 11(2013 大庆实验中学高二期中) 高三(三)班学生要安排毕业晚会的 3 个音乐节目，2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3 个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是( )A240 B188 C 432 D288答案 D解析 先从 3 个音乐节目中选取
8、 2 个排好后作为一个节目有A 种排法，这样共有 5 个节目，两231 2 3 4 5个音乐节目不连排，两个舞蹈节目不连排，如图，若曲艺节目排在 5 号(或 1 号) 位置，则有 4A A 16 种排法；若曲艺节目排在2 22 号( 或 4 号 )位置，也有 4A A 16 种排法，若曲艺节目排在 3 号2 2位置，有 22A A 16 种排法，共有不同排法，A (163)2 2 23288 种，故选 D.12已知直线 axby 10(a，b 不全为 0)与圆 x2y 250 有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有( )A66 条 B72 条 C 74 条 D78 条答案 B解析
9、 先考虑 x0，y0 时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有 3412 个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有 C 66(条)，过每一21点的切线共有 12 条，又考虑到直线 axby10 不经过原点，而上述直线中经过原点的有 6 条，所以满足题意的直线共有6612672(条) 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，将正确答案填在题中横线上)13将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中，每个班级至少安排 1 名学生，其中甲同学不能分配到 A 班，那么不同的分配方案有_答案 24 种解析 将 4 名
10、新来的同学分配到 A、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排一名学生有 C A 种分配方案，其中甲同学分配到 A24 3班共有 C A C A 种方案因此满足条件的不同方案共有23 2 13 2C A C A C A 24(种)24 3 23 2 13 214. 6 的展开式中的第四项是_(2 13x)答案 160x解析 6 的展开式中第 4 项为(2 13x)T4C 23 3 .36 ( 13x) 160x15如果把两条异面直线看成“一对” ，那么正方体的棱所在的12 条直线中，异面直线共有_对答案 24解析 在如图正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，与棱 AB 异面的棱有DD1、CC
11、1、 A1D1、B 1C1，因此共有 4 对，正方体的棱共有 12 条，故异面直线共有 412 24 对1216将 5 位志愿者分成 3 组，其中两组各 2 人，另一组 1 人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有_种( 用数字作答)答案 90 种解析 本题考查了排列组合中的平均分组分配问题，先分组，再把三组分配乘以 A 得： A 90 种C25C23C1A2 3 C25C23C1A2 3三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)设 n的展开式的第 7 项与倒数第(32 133)7 项的比是 1：6，求展开式中
12、的第 7 项解析 T 7C ( )n6 6，6n32 (133)Tn16 T n5 C ( )6 n6 .6n32 (133)由 ，化简得 6 46 1 ，所以 41，C6n32n 6(133)6C6n326(133)n 6 16 n3 n3所以 n9.所以 T7C ( )96 6C 2 .69 32 (133) 39 19 563点评 (1)本题是应用二项式定理的通项公式的典型问题，要能熟练地应用通项公式写出所需的各项(2)本题的解题思路实质是利用方程思想列出方程，解出 n，这是解本题的关键18(本题满分 12 分)已知 A x|1log2x3，xN *，B x|x6|3，x N *，试问：
13、从集合 A 和 B 中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？解析 A3,4,5,6,7，B4,5,6,7,8从 A 中取一个数作为横坐标，从 B 中取一个数作为纵坐标，有5525( 个 )，而 8 作为横坐标的情况有 5 种，3 作为纵坐标且 8 不是横坐标的情况有 4 种，故共有 555434 个不同的点19(本题满分 12 分)求( )9 的展开式中的有理项x 3x解析 T r1 C ( )9r ( )r(1) rC x .因为 27 除以r9 x 3x r927 r66 的余数为 3，要使 为整数，r 必为 3 的奇数倍因为27 r60r 9，所以需检验当 r3
14、和 9 时 的值当 r 为 3 和 9 时，27 r6分别为 4 和 3，所以展开式中的有理项为 T4(1)27 r63C x4 84x4，T 10(1) 9C x3x 3.39 9点评 要求展开式中的有理项，必须观察展开式通项公式中 x的指数，当 r 取什么值时，能使 x 的指数为整数20(本题满分 12 分)某校高三年级有 6 个班级，现要从中选出10 人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1 人参加这 10 个名额有多少不同的分配方法？解析 解法一：除每班 1 个名额以外，其余 4 个名额也需要分配这 4 个名额的分配方案可以分为以下几类：(1)4 个名额全部给某一个班
15、级，有 C 种分法；(2)4 个名额分给两个班级，每班 2 个，16有 C 种分法；(3)4 个名额分给两个班级，其中一个班级 1 个，一个26班级 3 个由于分给一班 1 个，二班 3 个和一班 3 个、二班 1 个是不同的分法，因此是排列问题，共有 A 种分法；(4)分给三个班级，26其中一个班级 2 个，其余两个班级每班 1 个，共有 C C 种分法；16 25(5)分给四个班，每班 1 个，共有 C 种分法46故共有 NC C A C C C 126 种分配方法16 26 26 16 25 46解法二：该问题也可以从另外一个角度去考虑：因为是名额分配问题，名额之间无区别，所以可以把它们
16、视作排成一排的 10 个相同的球，要把这 10 个球分开成 6 段(每段至少有一个球) 这样，每一种分隔办法，对应着一种名额的分配方法这 10 个球之间(不含两端) 共有 9 个空位，现在要在这 9 个位子中放进 5 块隔板，共有N C 126 种放法59故共有 126 种分配方法21(本题满分 12 分)用 0、1、2、3、4 这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)被 4 整除；(2)比 21034 大的偶数；(3)左起第二、四位是奇数的偶数解析 (1)被 4 整除的数，其特征应是末两位数是 4 的倍数，可分为两类：当末两位数是 20、40、04 时，其排列数为
17、 3A 18，3当末两位数是 12、24、32 时，其排列数为 3A A 12.故满足条件12 2的五位数共有 181230(个)(2)当末位数字是 0 时，首位数字可以为 2 或 3 或 4，满足条件的数共有 3A 18 个3当末位数字是 2 时，首位数字可以为 3 或 4，满足条件的数共有 2A 12 个3当末位数字是 4 时，首位数字是 3 的有 A 6 个，首位数字3是 2 时，有 3 个，共有 9 个综上知，比 21034 大的偶数共有 1812939 个(3)方法一：可分为两类：末位数是 0，有 A A 4(个) ；2 2末位数是 2 或 4，有 A A 4(个) ；2 12故共有 A A A A 8( 个)2 2 2 12方法二：第二、四位从奇数 1,3 中取，有 A 个；首位从 2,4 中2取，有 A 个；余下的排在剩下的两位，有 A 个，故共有12 2A A A 8( 个)2 12 2
