1、第二章综合能力检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1已知点 F1( 4,0)、F 2(4,0)，曲线上的动点 P 到 F1、F 2 的距离之差为 6，则该曲线的方程为( )A. 1(x3) x29 y27B. 1x29 y27C. 1(y 3) y29 x27D. 1y29 x27答案 A解析 点 P 到 F1、F 2 的距离之差是 6，而不是距离的差的绝对值是 6，点 P 所在曲线应是双曲线的右支，由题可知，2a6，c4，a3，c4，b 2c 2a 27，该曲线的方程为
2、1(x3)，故选 A.x29 y272(2010四川文，3)抛物线 y28x 的焦点到准线的距离是( )A1 B2 C4 D8答案 C解析 本题考查抛物线的焦点到准线的距离3椭圆 1 与双曲线 1 有相同的焦点，则 k 应满足的条件是( )x29 y2k2 x2k y23Ak3 B20， c ，k2.9 k2 k 34F 1、F 2 是椭圆 1(ab0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引 F 1PF2x2a2 y2b2的外角平分线的垂线，则垂足 Q 的轨迹为( )A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案 A解析 PQ 平分F 1PA，且 PQAF 1，Q 为 AF1 的中点，且 |PF1|PA|，
3、|OQ | |AF2| (|PA|PF 2|)a，12 12Q 点轨迹是以 O 为圆心，a 为半径的圆5直线 yx3 与曲线 1( )y29 x|x|4A没有交点 B只有一个交点C有两个交点 D有三个交点答案 D解析 当 x0 时，双曲线 1 的渐近线为：y x，而直线 yx3 斜率为y29 x24 321,10直线 yx3 与椭圆左半部分有两交点，共计 3 个交点，选 D.6已知椭圆 1(ab0)与双曲线 1( m0，n0)有相同的焦点(c,0) 和x2a2 y2b2 x2m2 y2n2(c,0)，若 c 是 a、m 的等比中项，n 2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率是(
4、)A. B. 33 22C. D.14 12答案 D解析 由题意可得Error!解得 ，e .c2a2 14 ca 127与抛物线 x24y 关于直线 xy0 对称的抛物线的焦点坐标是( )A(1,0) B( ，0)116C(1,0) D(0， )116答案 C解析 x 24y 关于 xy0，对称的曲线为 y24x ，其焦点为 (1,0)8已知直线 l 交椭圆 4x25y 280 于 M、N 两点，椭圆与 y 轴的正半轴交于 B 点，若BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线 l 的方程是( )A4x6y280 B5x 6y280C6x 5y280 D6x5y280答案 D解析 椭圆方程为
5、 1，x220 y216设 M(x1，y 1)、 N(x2，y 2)则 1，x2120 y2116 1x220 y216两式相减得 0(x1 x2)(x1 x2)20 (y1 y2)(y1 y2)16k l .4(x1 x2)5(y1 y2)MN 的中点坐标为( ， )，x1 x22 y1 y22MBN 的重心为(2,0)，Error! Error!k l .MN 的中点坐标为 (3， 2)，65l 的方程为 y2 (x3)，即 6x5y 280.659已知椭圆的中心在原点，离心率 e ，且它的一个焦点与抛物线 y24x 的焦点重12合，则此椭圆方程为( )A. 1 B. 1x24 y23 x
6、28 y26C. y 21 D. y 21x22 x24答案 A解析 抛物线焦点为( 1,0) ，c 1，又椭圆的离心率 e ，a2，b 2a 2c 23，12椭圆的方程为 1，故选 A.x24 y2310过点 C(4,0)的直线与双曲线 1 的右支交于 A、B 两点，则直线 AB 的斜率 kx24 y212的取值范围是( )A|k| 1 B| k| 3C|k| D|k|x24 y212或 k0,5k20，知 m5k 20，故100k 24(m4k 2)(55m) 0 对 kR 恒成立即 5k21m 时，对 kR 恒成立，故1m0，m1.点评 一般地说，如果点 P(x0，y 0)满足 0)，点
7、( ， )在抛物线上，32 662p ，32p2，所求抛物线方程为 y24x.双曲线左焦点在抛物线的准线 x1 上，c1，即 a2b 21，又点( ， )在双曲线上，32 6 1，94a2 6b2由Error! 解得：a 2 ，b 2 .14 34所求双曲线方程为 4x 2 y21.4318(本小题满分 12 分)已知双曲线与椭圆 1 有公共焦点 F1、F 2，它们的离心率x29 y225之和为 2 ，45(1)求双曲线的标准方程；(2)设 P 是双曲线与椭圆的一个交点，求 cosF 1PF2 的值解析 (1)在椭圆 1 中，a 225，b 29x29 y225c 4，焦点在 y 轴上，离心率
8、为 ea2 b245由题意得：所求双曲线的半焦距 c4，离心率 e2 2，45 45又e 2ca 4a双曲线的实半轴为 a2，则 b 2c 2a 216412，所求双曲线的标准方程为 1.y24 x212(2)由双曲线、椭圆的对称性可知，不论点 P 在哪一个象限， cosF 1PF2 的值是相同的，设点 P 是双曲线的与椭圆在第一象限的交点，其中|PF 1|PF2|由定义可知|PF 1| PF2|10|PF1|PF 2|4 由、得|PF 1|7，| PF2|3又|F 1F2|8，在F 1PF2 中，由余弦定理得cosF 1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| ，
9、72 32 82273 17cosF 1PF2 的值为 .1719(本小题满分 12 分)已知椭圆长轴| A1A2|6，焦距|F 1F2|4 ，过椭圆的左焦点 F12作直线交椭圆于 M、N 两点，设F 2F1M(0 )，问 取何值时，|MN| 等于椭圆的短轴的长解析 如图所示，a3，c 2 ，b1，2椭圆方程为 y 21.x29设过 F1 的直线方程为yk(x 2 )2Error!代入，整理得(19k 2)x236 k2x72k 290，2x 1x 2 ，x 1x2 .362k21 9k2 72k2 91 9k2代入|MN | ，(x1 x2)2 4x1x2(1 k2)整理得|MN| .6(k
10、2 1)1 9k2 2，k .6(k2 1)1 9k2 33即 tan ， 或 .33 6 5620(本小题满分 12 分)炮弹在某处爆炸，在 F1(5000,0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000,0)处晚 秒已知坐标轴的单位长度为 1 米，声速为 340 米/秒，爆炸点应在什么30017样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程解析 由声速为 340 米/秒可知 F1、F 2 两处与爆炸点的距离差为 340 6000( 米)，30017因此爆炸点在以 F1、F 2 为焦点的双曲线上因为爆炸点离 F1 处比 F2 处更远，所以爆炸点应在靠近 F2 处的一支上设爆炸点 P 的坐标为(x，y) ，则
11、|PF1|PF 2|6000 ，即 2a6000，a3000.而 c5000，b 25000 23000 24000 2，|PF 1| |PF2| 60000，x0，所求双曲线方程为 1(x0)x230002 y24000221(本小题满分 12 分)(2010辽宁理，20)设椭圆 C： 1 (ab0)的右焦点为x2a2 y2b2F，过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60， 2 .AF FB (1)求椭圆 C 的离心率；(2)如果|AB| ，求椭圆 C 的方程154解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由题意知 y10.(1)直线 l 的
12、方程为 y (xc)，其中 c .3 a2 b2联立Error! 得(3a 2b 2)y22 b2cy3b 40.3解得 y1 ，y 2 . 3b2(c 2a)3a2 b2 3b2(c 2a)3a2 b2因为 2 ，所以y 12 y2.AF FB 即 2 .3b2(c 2a)3a2 b2 3b2(c 2a)3a2 b2得离心率 e .ca 23(2)因为|AB| |y2y 1|，所以 .1 13 2343ab23a2 b2 154由 得 b a.所以 a ，得 a3，b .ca 23 53 54 154 5椭圆 C 的方程为 1.x29 y2522(本小题满分 14 分)已知，椭圆 C 过点
13、A ，两个焦点为( 1,0)，(1,0)(1，32)(1)求椭圆 C 的方程；(2)E，F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值分析 (1)由已知求出 a、c，进而得到椭圆方程(2)设出 AE 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理，表示出 xE，进而求出 yE.以及xF， yF，然后计算出 kEF.考查解析几何的基本方法和计算能力解析 (1)由题意 c1，由定义| F1A|F 2A| 42a，4 94 94a2，b ，椭圆方程为 1.3x24 y23(2)设直线 AE 方程为：yk (x1) ，代入 1 得(34k 2)x24k(32k)x432 x24 y232120(32 k)设 E(xE，y E)，F(x F，y F)，因为点 A 在椭圆上，(1，32)所以 xE ，y Ekx E k4(32 k)2 123 4k2 32又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以k 代 k，可得 xF，y Fkx F k.4(32 k)2 123 4k2 32所以直线 EF 的斜率kEF ，yF yExF xE k(xF xE) 2kxF xE 12即直线 EF 的斜率为定值，其值为 .12
