1、第三章综合素质检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1已知非零向量 a、b，及平面 ，若向量 a 是平面 的法向量，则 ab0 是 b 所在直线平行于 或在 内的( )A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 若 ab0，则 ab，b0，a 是平面 的法向量， b 所在直线平行于 或在 内，反之结论也成立2下列说法中不正确的是( )A平面 的法向量垂直于与平面 共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么
2、这两个平面也垂直D如果 a，b 与平面 共面且 n a，n b，那么 n 就是平面 的一个法向量答案 D解析 只有当 a、b 不共线时，D 才正确3已知矩形 ABCD，PA 平面 ABCD，则以下等式中可能不成立的是( )A. 0 B. 0DA PB PC BD C. 0 D. 0PD AB PA CD 答案 B解析 Error!DA平面 PABDA PB 0；DA PB 同知 0；AB PD PA平面 ABCDPACD 0；PA CD 若 0 ，则 BDPC，BD PC 又 BDPA，BD平面 PAC，故 BDAC ，但在矩形 ABCD 中不一定有 BDAC，故选 B.4如果平面的一条斜线段
3、长是它在这个平面上的射影长的 3 倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )A. B. 13 223C. D.22 23答案 A5已知 a( 1,0,2)，b(6,21,2)，若 ab，则 与 的值可以是( )A2， B ，12 13 12C3,2 D2,2答案 A解析 ab，存在实数 k，使 bk a，即：(6,2 1,2)( kk,0,2k) ，Error! ，Error!或Error!，故选 A.6. 在正三棱柱 ABCA 1B1C1，若 AB BB1，则 AB1 与 C1B 所成角的大小( )2A60 B90C105 D75答案 B解析 解法一：设 a， b， c，AB ，则AB AC
4、 AA1 2|a|b| ，|c |1，ac 0， bc0，ab1.2 ac，AB1 AB BB1 ( ba)c ，BC1 BC CC1 a b| a|2ac c bca|c |20，AB1 BC1 ，即 AB1C 1B.AB1 BC1 解法二：取 AC 中点 D，建立如图所示的坐标系设 AB1，则 B ，C 1 ，A ，B 1(32，0，0) (0，12，22) (0， 12，0)，(32，0，22)cos ， 0.AB1 C1B AB1 C1B |AB1 |C1B |AB 1 与 C1B 所成的角为 90.7在下列条件中，使 M 与不共线三点 A、B、C 一定共面的是( )A. 2 OM O
5、A OB OC B. OM 15OA 13OB 12OC C. 0MA MB MC D. 0OM OA OB OC 答案 C解析 点 M 在平面 ABC 内，对空间任一点 O，有 x y z 且OM OA AB AC xyz 1，故 A、B、D 均不对8如图，P 是边长为 a 的正六边形 ABCDEF 平面外一点，PA AB，PA AF ，为求 P 与 CD 的距离作 PQCD 于 Q，则( )AQ 为 CD 的中点BQ 与 D 重合CQ 与 C 重合D以上都不对答案 C9如图，空间四边形 OABC 中， a， b， c，点 M 在 OA 上，且OA OB OC OM MA，N 为 BC 中点
6、，则 等于( )12 MN A. a b c12 23 12B a b c13 12 12C. a b c12 12 23D. a b c23 23 12答案 B解析 ( )MN ON OM 12OB OC 13OA (bc) a a b c.12 13 13 12 12故选 B.10如图 ABCDA 1B1C1D1 为正方体，下面结论错误的是( )ABD平面 CB1D1BAC 1BDCAC 1平面 CB1D1D异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60答案 D解析 正方体中，BD B 1D1，且 BD面 CB1D1，知 BD平面 CB1D1，A 正确；AC 1在面 ABCD 内的射影为 A
7、C，又 ACBD，由三垂线定理知 AC1BD.故 B 正确；同理可得AC1B 1D1，AC 1CD 1，且 B1D1CD 1D 1，AC 1平面 CB1D1，故 C 正确；由 ADBC知，B 1CB 为 AD 与 CB1 所成的角，应为 45，故 D 错误11已知 A(2， 5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1) ，则 与 的夹角为( )AC AB A30 B45 C60 D90答案 C解析 (0,3,3)， ( 1,1,0)设 ， ，则 cos AB AC AB AC AB AC |AB |AC | 332 2，1260.12已知ABC 的顶点 A(1，1,2)，B(5，6,2) ，C
8、 (1,3，1)，则 AC 边上的高 BD的长等于( )A3 B4 C5 D6答案 C解析 解法一：设 D(x，y，z) ，则 (x1，y1，z2) ， (x5，y 6，z2)，AD BD (0,4 ，3)，AC ，且 ，AD AC BD AC Error! ，Error!，| |5.BD 解法二：设 ，D(x ，y，z) ，则(x1，y 1，z 2)(0,4，3) ，AD AC x1，y41，z 23 . ( 4,45，3)，BD 又 (0,4，3)， ，AC AC BD 4(45)3(3)0， ， ，45 BD ( 4，95，125)| | 5.BD ( 4)2 (95)2 (125)2二
9、、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上)13过二面角 l 内一点 P 作 PA 于 A，作 PB 于 B，若 PA 5，PB8，AB 7，则二面角 l 为_答案 120解析 设 a， b，由条件知|a|5，| b|8，| |7，PA PB AB AB 2| |2|ba| 2AB |b |2 |a|22a b64252ab49，ab20，cosa，b ，ab|a|b| 12a，b60，二面角 l 为 120.14若ABC 中，ACB90 ，BAC 60，AB 8，PC平面 ABC，PC4，M 是AB 上一点，则 PM 的最小值为 _答案 2 7解析
10、 由条件知 PC、AC、BC 两两垂直，设a， b， c ，则 abbcca0，CA CB CP BAC60，AB8，|a| CA8cos604，| b|CB 8sin604 .|c|PC 4，3设 x x(ba)，AM AB 则 c ax(ba) (1x)axb c，PM PC CA AM | |2(1x) 2|a|2x 2|b|2| c|22(1 x )xab2xbc2(1x )ac16(1 x)PM 248x 216 32(2x2x 1)64 228，(x 14)当 x 时，| |2 取最小值 28，14 PM | |min2 .PM 715已知正三棱柱 ABCA 1B1C1 的所有棱长
11、都相等，D 是 A1C1 的中点，则直线 AD 与平面 B1DC 所成的角的正弦值为_答案 45解析 不妨设正三棱柱 ABCA 1B1C1 的棱长为 2，建立如右图所示空间直角坐标系，其中 x 轴垂直于 AB，y 轴平行于 AB.则 C(0,0,0)，A( ， 1,0)， B1( ，1,2)，3 3D ，(33， 12，2)则 ， ( ，1,2)，CD ( 32， 12，2) CB1 3设平面 B1DC 的法向量为n(x，y,1)，由Error!，解得 n( ，1,1)3又 ，DA ( 32， 12， 2)sin|cos ，n| .DA 4516正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，二面角
12、ABD 1B 1 的大小为_答案 120解析 如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 Cxyz，设正方体的棱长为 a，则 A(a，a,0) ， B(a,0,0)，D 1(0，a，a) ，B 1(a,0，a)， (0 ，a,0)， (a ，a，a) ， (0,0，a)，BA BD1 BB1 设平面 ABD1 的法向量为 n(x，y，z)，则 n ( x，y ，z)(0，a,0)ay0，BA n (x，y，z)(a，a， a)axayaz0，BD1 a0，y0，x z，令 z1，则 n (1,0,1)，同理平面 B1BD1 的法向量 m(1，1,0) ，cosn， m ，nm|n|m| 12而二面
13、角 ABD 1B 1 为钝角，故为 120.三、解答题(本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)若 e1、e 2、e 3 是三个不共面向量，则向量a3e 12e 2e 3，be 1e 23e 3，c 2e 1e 24e 3 是否共面？请说明理由解析 设 c 1a 2b，则Error! 1 ， 2 .15 75即 c a b.a、b 不共线，a、b、c 共面15 7518(本小题满分 12 分)在四棱锥 PABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与 BD 交于 O， G 为 BD 上一点，BG 2GD ， a，PA b， c，试
14、用基底a ，b，c 表示向量 .PB PC PG 解析 BG 2GD， .BG 23BD 又 ac 2b，BD BA BC PA PB PC PB b (ac 2b)PG PB BG 23 a b c.23 13 2319(本小题满分 12 分)如图所示，已知空间四边形 ABCD，P、Q 分别是ABC 和BCD 的重心求证：PQ平面 ACD.证明 P、 Q 分别是ABC 和BCD 的重心 PQ EQ EP 13ED 13EA ( ) .13ED EA 13AD 即 PQAD，PQ AD 又 PQ 平面 ACD，AD 平面 ACD，PQ 平面 ACD.20(本小题满分 12 分)已知空间三点 A
15、(0,2,3)，B(2，1,6)，C (1，1,5)若|a| ，3且 a 分别与 、 垂直，求向量 a.AB AC 解析 设 a( x，y ，z )，由题意得，Error!解得Error!或Error!所以 a(1,1,1)或 a(1， 1，1)21(本小题满分 12 分)如图，已知正三棱柱 ABCAB C的侧棱长为 2，底面边长为 1，M 是 BC 的中点，在直线 CC 上是否存在一点 N，使得 MNAB？若存在，请指出它的位置；若不存在，请说明理由解析 假设在直线 CC上存在一点 N，使得 MNAB，设x .CN CC x ，MN MC CN 12BC CC ，AB AB BB AB CC
16、 ( )0，MN AB (12BC xCC ) AB CC 即 x x 20，12BC AB 12BC CC CC AB CC | | |cos ， 4x 0.12BC AB BC AB 4x0，x .14 116即在直线 CC上存在一点 N，当| | 时，MNAB.CN 1822(本小题满分 14 分)(2010重庆理，19) 如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA底面 ABCD，PA AB ，点 E 是棱 PB 的中点6(1)求直线 AD 与平面 PBC 的距离；(2)若 AD ，求二面角 AECD 的平面角的余弦值3解析 解法一：(1) 如下图，在矩形 ABCD 中，
17、AD BC，从而 AD平面 PBC，故直线 AD 与平面PBC 的距离为点 A 到平面 PBC 的距离因 PA底面 ABCD，故 PAAB ，由 PAAB 知PAB 为等腰直角三角形，又点 E 是棱 PB 的中点，故 AEPB.又在矩形 ABCD 中，BCAB，而 AB 是 PB 在底面 ABCD 内的射影，由三垂线定理得BCPB ，从而 BC平面 PAB，故 BCAE ，从而 AE平面 PBC，故 AE 之长即为直线 AD与平面 PBC 的距离在 Rt PAB 中，PA AB ，所以 AE BP .612 12PA2 AB2 3(2)过点 D 作 DFCE，交 CE 于 F，过点 F 作 F
18、GCE ，交 AC 于 G，则DFG 为所求的二面角的平面角由(1)知 BC平面 PAB，又 ADBC，得 AD平面 PAB，故 ADAE，从而 DE .AE2 AD2 6在 Rt CBE 中，CE .BE2 BC2 6由 CD ，所以 CDE 为等边三角形，故点 F 为 CE 的中点，且 DFCDsin .63 322因为 AE平面 PBC，故 AECE ，又 FGCE，FG 綊 AE，从而 FG ，且 G 点为12 32AC 的中点连接 DG.则在 RtADC 中，DG AC .12 12AD2 CD2 32所以 cosDFG .DF2 FG2 DG22DFFG 63解法二：(1)如右图，
19、以 A 为坐标原点，射线 AB、 AD、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系 Axyz.设 D(0，a,0) ，则 B( ，0,0)， C( ，a,0)，P(0,0 ， )，E( ，0， )6 6 662 62因此 ( ，0， )， (0 ，a,0)，AE 62 62 BC ( ，0， )PC 6 6则 0， 0，所以 AE平面 PBC.AE BC AE PC 又由 ADBC 知 AD平面 PBC，故直线 AD 与平面 PBC 的距离为点 A 到平面 PBC 的距离，即为| | .AE 3(2)因为| | ，则 D(0， ，0)，C( ， ，0)AD 3 3 6 3设平面 AEC 的法向量 n1(x 1，y 1，z 1)，则 n1 0，n 1 0.AC AE 又 ( ， ，0)， ( ，0， )，故AC 6 3 AE 62 62Error!所以 y1 x1，z 1x 1.可取 x1 ，则 n1( ， 2， )2 2 2 2设平面 DEC 的法向量 n2(x 2，y 2，z 2)，则 n2 0，n 2 0，DC DE 又 ( ，0,0)， ( ， ， )，DC 6 DE 62 3 62故Error!所以 x20，z 2 y2，可取 y21，则 n2(0,1， )2 2故 cosn 1，n 2 .n1n2|n1|n2| 63
