1、第三章综合能力检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的中心为 O，则下列各命题中的真命题有( ) 与 是一对相反向量OA OD OB1 OC1 与 是一对相反向量OB OC OA1 OD1 与 是一对相反向量OA OB OC OD OA1 OB1 OC1 OD1 与 是一对相反向量OA1 OA OC OC1 A1 个 B2 个C3 个 D4 个答案 C解析 四边形 ADC1B1 为平行四边形，O 为对角线交点 与 是一对相反向量，故真
2、；OA OD OB1 OC1 ， ， ，OB OC CB OA1 OD1 D1A1 CB D1A1 ，OB OC OA1 OD1 假；设正方形 ABCD 中心为 O1，正方形 A1B1C1D1 中心为 O2，则 4OA OB OC OD ， 4 ，OO1 OA1 OB1 OC1 OD1 OO2 与 是相反向量，真；OO1 OO2 ， ，OA1 OA AA1 OC OC1 C1C 与 是相反向量， 真AA1 C1C 2若 a、b、c 是非零空间向量，则下列命题中的真命题是( )A(ab) c(bc)aBab|a|b|，则 a bCac bc，则 a bDaabb，则 ab答案 B解析 (a b)
3、c 是与 c 共线的向量，( bc)a 是与 a 共线的向量，a 与 c 不一定共线，故 A假；若 ab| a|b|，则 a 与 b 方向相反，ab，故 B 真；若 ac bc，则 (ab)c 0，即 (ab)c，不能得出 a b，故 C 假；若 aab b，则|a| b|，方向不确定，故得不出 ab，D 假3四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， (2 ，1，4)， (4,2,0) ，AB AD (1,2， 1)，则 PA 与底面 ABCD 的关系是( )AP A相交 B垂直C不垂直 D成 60角答案 B解析 0， 0，AP AB AP AD 平面 ABCD.AP 4已知点
4、A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，若存在点 D, 使得 DBAC，DCAB，则点D 的坐标为( )A(1,1,1)B(1,1,1)或(1，1，1)C( ， )1212 12D( ， )或(1 ，1,1)1212 12答案 A解析 设 D(x，y，z )，DBAC ，DCAB ，四边形 ABDC 为平行四边形从而 ，即(1,0,1) (x，y1，z)，AC BD Error! .5下面命题中，正确命题的个数为( )若 n1、n 2分别是平面 、 的法向量，则 n1 n2 ；若 n1、n 2分别是平面 、 的法向量，则 n 1n20；若 n 是平面 的法向量，b、c 是 内两不
5、共线向量 abc，( ，R)则na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直A1 个 B2 个C3 个 D4 个答案 D6已知 ABCD 是四面体，O 是BCD 内一点，则 ( )是 O 为BCDAO 13AB AC AD 重心的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件答案 C解析 设 E 为 CD 中点， ( )AO 13AB AC AD ( )13AB 13BC BA BD BA ( )13AB 13BC BD 23BA ，AB 23BE .即 O 为BCD 的重心反之也成立BO 23BE 7同时垂直于 a(2,2,1)，b(4,5,3)的单位向
6、量是( )A.(13， 23，23)B.( 13，23， 23)C.(13， 13，23)D. 或(13， 23，23) ( 13，23， 23)答案 D解析 设所求向量为 c(x ，y ，z )，则Error! ，检验知选 D.点评 检验时，先检验 A(或 B)，若 A 不满足，则排除 A、D ；再检验 B，若 A 满足，则排除 B，C ，只要看 D 是否成立8如图所示，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F 分别在 A1D，AC 上，且A1E A1D，AF AC，则( )23 13AEF 至多与 A1D，AC 之一垂直BEF 是 A1D，AC 的公垂线CEF 与 BD1 相交DEF
7、 与 BD1 异面答案 B解析 以 DA、DC 、DD 1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AB 1，则 A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C (0,1,0)，E ，F ，B (1,1,0)，(13，0，13) (23，13，0)D1(0,0,1)， (1,0，1)， ( 1，1,0)，A1D AC ， (1，1,1)，EF (13，13， 13) BD1 ， 0，EF 13BD1 A1D EF AC EF 从而 EFBD 1，EFA 1D，EFAC .9已知正方体 ABCDABC D中，点 F 是侧面 CDDC的中心，若 x y ，则 xy 等于
8、( )AF AD AB AA A0 B1C. D12 12答案 A解析 如图所示， ，AF AD DF x y ，DF AB AA x y ，12DC AB AA 12AB 12AB 12AA ，AB DC xy ，x y0.1210已知 A(4,1,3)，B(2，5,1)，C 是线段 AB 上一点，且 ，则 C 点的坐标为( )ACAB 13A. B.(72， 12，52) (83， 3，2)C. D.(103， 1，73) (52， 72，32)答案 C解析 由题意知，2 ，设 C(x，y ，z) ，则 2(x4，y1，z3)AC CB (2x ，5 y,1z)，Error! ，Error
9、! ，即 C .(103， 1，73)11若直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，则能使 l 的是( )Aa(1,0,0)， n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0， 1)Da(1，1,3)，n (0,3,1)答案 D解析 l，an0，经检验知选 D.12a(1t,1t，t)，b(2，t ，t)，则|ba| 的最小值是 ( )A. B. 55 555C. D.355 115答案 C解析 ba(1 t,2t1,0) ，|b a |2(1 t)2(2t1) 25t 22t25 2 ，(t 15) 95 95|b a |min .355二、填空
10、题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上)13|a| |b| c|1，abc0，则 acbc ab_.答案 32解析 设 acbcabx，则 2x(ab)c(bc )a(ca)b|c| 2|a| 2|b| 23，x .3214已知 A、B、C 三点共线，则对空间任一点 O，存在三个不为零的实数 、m、n 使 m n 0，那么 m n 的值等于_OA OB OC 答案 0解析 由 m n 0 得，OA OB OC .OA mOB nOC 根据空间直线的向量参数方程有， 1m n mn0.m n点评 A、B 、C 是空间不同三点，O 为空间任一点，设 x y
11、 ，则OA OB OC A、B 、C 共线x y1.15在平面直角坐标系中，A(2,3) ，B(3，2)，沿 x 轴把直角坐标系折成 120的二面角，则 AB 的长度为_答案 2 11解析 如图作 AMx 轴，BNx 轴，垂足为 M、N，由题设易知，| |3，| |2.MA NB ， 120，| |5 ，MA NB MN 由条件| |2( )2| |2| |2| |22 2 2 AB AM MN NB AM MN NB AM MN MN NB AM NB 92542| | |cos ， 44，AM NB AM NB | | 2 .AB 1116三棱锥 PABC 中，PAPBPCABAC 1，B
12、AC 90 ，则直线 PA 与底面ABC 所成角的大小为_答案 45解析 由条件知，AB AC1，BAC 90 ，BC ，2PBPC1， BPC 90，取 BC 边中点 E，则PE ，AE ，22 22又 PA1，PEA90，故PAE45 ，E 为 BC 中点，PE BC， AEBC ，BC平面 PAE，平面 PAE平面 ABC，PAE 为直线 PA 与平面 ABC 所成角三、解答题(本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)已知斜三棱柱 ABCABC，设 a， b ， c，在面对角线 AC和棱 BC 上分别取点 M、N，使 k ，
13、AB AC AA AM AC k (0k1)，求证：三向量 、a、c 共面BN BC MN 解析 kAN AB BN AB BC k( )AB AC AB ak(ba) (1k )akb，k k( )kbk c，AM AC AA AC (1 k )ak c.MN AN AM 向量 a 和 c 不共线， 、a、c 共面MN 18(本小题满分 12 分)如图所示，在棱长为 1 的正方体 AC1 中，M、N 、E 、F 分别是 A1B1、A 1D1、B 1C1、C 1D1 的中点，求证：平面AMN 平面 EFDB.解析 解法一： ，AN AA1 A1N BB1 B1E BE ANBE. ，NMEF，
14、又ANMNN ，NM 12D1B1 FE AN、MN平面 AMN，BE EFE，BE，EF平面 EFDB，平面 AMN平面 AMN，BEEF E，BE、EF平面 EFDB.解法二：以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD 1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系则 D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(1 ， ，1)，N( ，0,1)，B(1,1,0) ，F(0，1)12 12 12 (0 ，1)， ( ，0,1) ， (1,1,0)， (0，1) AM 12 AN 12 DB DF 12设平面 AMN 与平面 EFBD 的法向量分别为 n1(x，y，z )和 n2(x 2，y 2，
15、z 2)则 n1 yz0，n 1 xz0.AM 12 AN 12解得 y2z，x 2z，令 z1 得 n1(2，2,1) 同理由Error! 可得Error!令 z21，平面 EFDB 的一个法向量 m2(2 ，2,1)，n 1n 2，n 1n 2，平面 AMN平面 EFDB.解法三：转化为线线平行或线面平行问题建立如图所示的空间直角坐标系，取 MN、DB 及 EF 的中点R，T， S 则A(1,0,0)，M(1，1)，N( ， 0,1)，D(0,0,0)，12 12B(1,1,0)，E ( ，1,1)，F (0，1) ，12 12R( ，1) ，S( ，1)，T ( ，0)，3414 143
16、4 1212 ( ， ，0)， ( ， ，0)MN 12 12 EF 12 12( ，1)， ( ，1) ，AR 1414 TS 1414 ， ，NEF，RTS，MN EF AR TS 得 MNEF，ARTS，由于 MN、AR平面 EFDBMN平面 EFDB，AR平面 EFDB，平面 AMN平面 EFDB.点评 本题可以用逻辑推理来证明，即用面面平行的判定定理证明，在实现判定定理的条件时，使用了向量法，此时可用建系求坐标法或空间基底表示法完成此题19(本小题满分 12 分)在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC3，BC4，AB5，AA 14，点 D 是 AB 的中点(1)求证：ACBC 1
17、.(2)求证：AC 1平面 CDB1(3)求 AC1 与 BC1 所成角的余弦值解析 直三棱柱 ABCA 1B1C1 底面三边长AC3，BC4，AB5，AC 、BC、C 1C 两两垂直如图所示，以 C 为坐标原点，直线 CA、CB、CC 1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系则 C(0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B(0,4,0)，B 1(0,4,4)，D ( ，2,0)32(1) (3,0,0)， (0，4,4) AC BC1 0，ACBC 1.AC BC1 (2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连结 DE，则 E(0,2,2) ( ，0,2) ，
18、 (3,0,4)DE 32 AC1 ，DEAC 1.DE 12AC1 DE平面 CDB1，AC 1平面 CDB1，AC 1平面 CDB1.(3) (3,0,4)， (0,4,4)，AC1 CB1 cos .AC1 CB1 AC1 CB1 |AC1 |CB1 | 225异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 .22520(本小题满分 12 分)长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AB 4，AD6，AA 14，M 是A1C1 的中点，P 在线段 BC 上，且 CP2，Q 是 DD1 的中点，求：(1)M 到直线 PQ 的距离；(2)M 到平面 AB1P 的距离解析 如图，建立空间直角坐
19、标系 Bxyz，则 A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)(1) (2，3,2)， (4，2，2) ，QM QP 在 上的射影为QM QP QM QP |QP |( 2)( 4) ( 3)( 2) 2( 2)( 4)2 ( 2)2 ( 2)2 ，566故 M 到 PQ 的距离为 .|QM |2 (566)2 17 256 4626(2)设 n(x，y，z)是平面 AB1P 的法向量，则 n ，n ，AB1 AP (4,0,4)， (4,4,0)，AB1 AP Error! .因此可取 n(1,1,1)，由于 (2 ，3，4)，MA 那么点 M 到平面 AB1P 的距离为d |MA n|n| |21 ( 3)1 ( 4)1|3 ，533故 M 到平面 AB1P 的距离为 .533点评 求点 P 到直线 l 的距离时，在直线 l 上任取一点 Q，则 在 l 上射影的长度为QP m| |cos ，n|(n 为直线 l 的一个方向向量)，QP QP
