1、空间两条直线的位置关系【复习目标】1 掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的定义，并能判定和证明两条直线是异面直线；2 会用转化的方法求异面直线所成的角，渗透“化归”的数学思想方法；3 初步掌握“文字语言” 、 “符号语言” 、 “图形语言”的相互转化。【课前预习】1. 空间两条直线位置关系的分类：2. 分别与两条异面直线同时相交的两条直线不可能有什么样的位置关系？ ；3. 两条直线没有交点是这两条直线为异面直线的 条件.4. 两异面直线在一平面内射影的可能图形是 （写出所有可能） 。5. “a、b 是两条异面直线”是指：（1） ，但 不平行 ；（2） 平面 ，ababa平面 ；且 ；（3）
2、平面 ， 平面 ；且 ；（4） 平面 ， 平面 ；（5）不存在平面 ，能使 平面 ，且 平面 .上述结论中，正确的是（ ）A （1） （4） （5） B （1） （3） （4） C （2） （4） D （1） （5）6. 设 a、b 是两条异面直线，下列命题结论正确的是 （ ）A有且仅有一条直线与 a、b 都垂直 B过 a 有且仅有一个平面与 b 平行C有且仅有一个平面与 a、b 都垂直 D过空间任一点必可作一条直线与 a、b 都相交1.：空间两条直线的位置关系（1）相交直线有且仅有一个公共点；（2）平行直线在同一平面内，没有公共点； （3）异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和
3、平行直线也称为共面直线异面直线的画法常用的有下列三种：2. 平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。3.等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等4 异 面 直 线 定 理 ： 连 结 平 面 内 一 点 与 平 面 外 一 点 的 直 线 ， 和 这 个 平 面 内 不 经 过 此 点 的 直 线ababab cbaPBCADO1D1 C1B1A1 PA BCDD1
4、C1B1A1A BCD是 异 面 直 线推理模式： 与 a 是异面直线,ABaAB三例题分析：【典型例题】例 2 如图，已知不共面的三条直线 相交于点 P，A,bc，B ，C ，D ，求证： AD 与 BC 是异面a直线。例 3 如图，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，A1C1 B1D1=O1，B 1D 截面 A1BC1=P，求证：P BO1； B1D 被平面 A1BC1 截于三等分点。例 4 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知AB=a，BC=b，AA 1=c，且 ，求：ab（1） 下列异面直线的距离：AB 与 CC1；AB 与A1C1；AB 与 B1C；（2） 异面直线
5、BD1 与 AC 所成的角的余弦值。例 3已知不共面的三条直线 、 、 相交于点 ， ，abcPaA， ， ，求证： 与 是异面直线aBbCcDABC证一：（反证法）假设 AD 和 BC 共面，所确定的平面为 ，那么点 P、A、 B、C、D 都在平面 内，直线 a、b、c 都在平面 内，与已知条件 a、b、c 不共面矛盾，假设不成立，AD 和 BC 是异面直线。证二：（直接证法）ac=P，它们确定一个平面，设为 ，由已知 C 平面 ，B 平面 ，AD 平面 ，B AD，AD 和 BC 是异面直线。【巩固练习】1. 若 a 与 b 是异面直线，b 与 c 也是异面直线，则 a 与 c （ ）A只
6、能是异面直线 B只能是平行直线 C只能是相交直线或平行直线 D可以是平行直线，也可以是相交直线或异面直线。2. 在正四面体 ABCD 中，设棱长为 a，E、F 分别是 AB、CD 的中点，则 EF 与 AC 所成角的大小为 ，AB 与 CD 成的角为 ，AB、CD 间的距离为 。3. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，BC 与 B1D 所成角的余弦值是 。【本课小结】【课后作业】1. 求证：每两条都相交，且不共点的四条直线必共面。2. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，MN 分别为 A1B1、BB 1 的中点，求 AM、CN 所成的角。3. a、b 为异面直线，A 、B 在 a
7、上，C 、D 在 b 上，AB=8，CD=6，M、N 分别为AD、BC 中点，且 MN=5，求 a、b 所成的角。4. 在空间四边形 ABCD 中，AD=AC=BD=BC=a，AB=CD=b，E、F 分别是 AB、CD 的中点。a) 求证：EF 是 AB 和 CD 的公垂线；b) 求 AB 和 CD 间的距离。5. 直三棱柱 A1B1C1ABC 中，BCA=90，点 D1、F 1 分别为 A1B1、A 1C1 的中点，若BC=CA=C1C，求 BD1 与 AF1所成角的余弦值。五、课后作业： 课题：9.02 空间两条直线的位置关系 日期：2009 年 月 日星期 一、选择题1下列四个命题：（1
8、）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）若 与 是异面直线， 与 是异面直线，则 与 也异面abbcac其中真命题个数为 （ D ） 3 2 1 0()A()B()C()D2在正方体 中， 、 分别是棱 和 的中点， 为上底面ABCD MNABP的中心，则直线 与 所成的角为（ A ）P300 450 600 ()()()()D3AB、CD 在平面 内，AB/CD，且 AB 与 CD 相距 28 厘米，EF 在平面 外，EF/AB，且 EF 与 AB 相距 17 厘米，EF 与平面 相距 15 厘米，则
9、EF 与 CD 的距离为（ C ）25 厘米 39 厘米 25 或 39 厘米 15 厘米()A()B()C()4已知直线 a，如果直线 b 同时满足条件：a、b 异面a、b 所成的角为定值a、b间的距离为定值，则这样的直线 b 有（ D ）1 条 2 条 4 条 无数条()()()()5已知异面直线 a 与 b 所成的角为 500，P 为空间一点，则过点 P 与 a、b 所成的角都是300 的直线有且仅有（ B ）1 条 2 条 3 条 4 条()A()()C()班级 姓名 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题6在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成的角的大小
10、 1CBA12B1ABC097在棱长为 的正四面体中，相对两条棱间的距离为_ _ a a28两条异面直线 、 间的距离是 1cm，它们所成的角为 600， 、 上各有一点 A、B，b b距公垂线的垂足都是 10cm，则 A、B 两点间的距离为_ _cm31或三、解答题9在三棱台 中，侧棱 底面 ，且 ，CBA11ABC21CAcm21（1）求证： ， ， 111（2）求异面直线 和 的距离ABC9、 （1）略证，先证 BC平面 AA1B1B，即得 BCA 1B，BCA 1A，又 A 1AA 1C（已知） ，由三垂线定理的逆定理可知，A 1AA 1B（2）略解，由（1）知，A 1AA 1B，A
11、1BBC，A 1B 就是 A1A 和 BC 的公垂线段。但AA 1BBB 1A1， ，又 AB=2cm，1110 一条长为 的线段 夹在互相垂直的两个平面 、 之间，AB 与 所成角为cm2，与 所成角为 ，且 ， ， ， 、 是垂足，求（1）04503llAClBDC的长；（2） 与 所成的角CDABCD解：（1）连 BC、AD ，可证 AC，BD，ABC=30 0，BAD=45 0 ，RtACB 中， BC=ABcos300= ，3在 Rt ADB 中，BD=ABsin45 0= 2在 Rt BCD 中，可求出 CD=1cm（也可由 AB2=AC2+BD2+CD2-2ACBDcos900
12、求得）（2）作 BE/l，CE/BD，BE CE，则ABE 就是 AB 与 CD 所成的角，连 AE，由三垂线定理可证 BEAE，先求出 AE= ，再在 RtABE 中，求得ABE=60 0。3说明：在（3）中也可作 CHAB 于 H，DFAB 于 F，HF 即为异面直线 CH、DF 的公垂线，利用公式 CD2=CH2+DF2+HF2-2CHDFcos，求出 cos= 。3【备用题】【参考资料】空间直线与平面一、复习目标：1了解空间两条直线的位置关系2掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长二、课前预习：1下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2
13、）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）若 与 是异面直线， 与 是异面直线，则 与 也异面abbcac其中真命题个数为 （ D ）3 2 1 0()A()B()C()D2在正方体 中， 、 分别是棱 和 的中点， 为上底面CD MNABP的中心，则直线 与 所成的角为 （ A ）BP300 450 600 ()()()()3在棱长为 的正四面体中，相对两条棱间的距离为_ （答案：a）a24两条异面直线 、 间的距离是 1cm，它们所成的角为 600， 、 上各有一点 A、B，b ab距公垂线的垂足都是 10cm，则 A、B 两点间的距离为_答案
14、： cm301或三、例题分析：例 1已知不共面的三条直线 、 、 相交于点 ， ， ， ， ，abPaABbCcD求证： 与 是异面直线ADBC证一：（反证法）假设 AD 和 BC 共面，所确定的平面为 ，那么点 P、A、B 、C、D 都在平面 内，直线 a、b、c 都在平面 内，与已知条件 a、b、c 不共面矛盾，假设不成立，AD 和 BC 是异面直线。证二：（直接证法）ac=P，它们确定一个平面，设为 ，由已知 C 平面，B平面 ，AD 平面 ，B AD，AD 和 BC 是异面直线。小结：例 2在三棱台 中，侧棱 底面 ，且 ，AC11ABC21AcmA21（1）求证： ， ， B111（
15、2）求异面直线 和 的距离AC（1）略证，先证 BC平面 AA1B1B，即得 BCA 1B，BCA 1A，又A 1AA 1C（已知） ，由三垂线定理的逆定理可知，A 1AA 1B（2）略解，由（1）知，A 1AA 1B，A 1BBC，A 1B 就是 A1A 和 BC 的公垂线段。但AA 1B BB1A1， ，又 AB=2cm，A 1B1=1cm，A 1B= cm。112小结：例 3 一条长为 的线段 夹在互相垂直的两个平面 、 之间，AB 与 所成角为cm2，与 所成角为 ，且 ， ， ， 、 是垂足，求04503llClBDC（1） 的长；（2） 与 所成的角CDABD解：（1）连 BC、A
16、D ，可证 AC，BD，ABC=30 0，BAD=45 0 ，RtACB 中，BC=ABcos30 0= ，3在 RtADB 中，BD=AB sin450= 2在 RtBCD 中，可求出 CD=1cm（也可由 AB2=AC2+BD2+CD2-2ACBDcos900 求得） （2）作 BE/l，CE/BD，BE CE，则ABE 就是 AB 与 CD 所成的角，连 AE，由三垂线定理可证 BEAE，先求出 AE= ，再在 RtABE 中，求得ABE=60 0。3说明：在（3）中也可作 CHAB 于 H，DFAB 于 F，HF 即为异面直线 CH、DF 的公垂线，利用公式 CD2=CH2+DF2+H
17、F2-2CHDFcos，求出 cos= 。3小结：四、课后作业： 班级 学号 姓名 1AB、CD 在平面 内，AB/CD，且 AB 与 CD 相距 28 厘米，EF 在平面 外，EF/AB，且 EF 与 AB 相距 17 厘米，EF 与平面 相距 15 厘米，则 EF 与 CD 的距离为（ C ）25 厘米 39 厘米 25 或 39 厘米 15 厘米()A()B()C()D2已知直线 a，如果直线 b 同时满足条件：a、b 异面a、b 所成的角为定值a、b间的距离为定值，则这样的直线 b 有 （ D ）1 条 2 条 4 条 无数条()()()()3已知异面直线 a 与 b 所成的角为 50
18、0，P 为空间一点，则过点 P 与 a、b 所成的角都是300 的直线有且仅有 （ B ）1 条 2 条 3 条 4 条()A()B()C()D4在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成的角的大小 1CA12B1AB 答案： 095如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 的中，求证：B 1D 被平面 A1BC1 分成 12 的两段证明：如图 1，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，连结 B1D1，A 1C1，BD， AC设 B1D1 A1C1M，BD ACN M，N 分别是 B1D1， AC 的中点连结 BM，D 1N BB1DD 1，且 BB1DD 1， 四边形 BDD1B1 是平行四边
19、形在平面 BDD1B1 中，设 B1D BMO，B 1D D1NO 1，在平行四边形 BDD1B1 中，A1A BB1DD1CC1OA1A BB1DD1CC1图 1MONO1 D 1MNB，且 D1MNB ， 四边形 BND1M 是平行四边形 BMND 1，即 OMO 1D1， O 是 BO1 的中点，即 O1OOB 1同理，OO 1O 1D O 1OOB 1O 1D综上，OB 1OD 1126如图，已知平面 、 交于直线 ，AB、CD 分别在平面 ， 内，且与 分别交于l lB，D 两点若ABDCDB，试问 AB，CD 能否平行？并说明理由证明：直线 AB，CD 不能平行否则，若 ABCD，
20、则 ABCD 共面，记这个平面为 AB，CD AB ，D由题知，AB ，D ，且 DAB，根据过一条直线及这条直线外一点，有且仅有一个平面， 与 重合同理， 与 重合 与 重合，这与题设矛盾 AB，CD 不能平行7平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，求证：CD 1 所在的直线与 BC1 所在的直线是异面直线证明：假设 CD1 所在的直线与 BC1 所在的直线不是异面直线设直线 CD1 与 BC1 共面 C，D 1CD 1，B，C 1 BC1，C，D 1，B，C 1CC 1BB 1，CC 1，BB 1 确定平面 BB1C1C，C，B，C 1平面 BB1C1C不共线的三点 C，B， C1 只有一个平面，平面 与平面 BB1C1C 重合D 1平面 BB1C1C，矛盾因此，假设错误，即 CD1 所在的直线与 BC1 所在的直线是异面直线B CDAlAA1D1D CC1B1B
