1、2.2.3 两条直线的位置关系自主学习学习目标1能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系，能根据斜率判定两条直线平行或垂直2在学习过程中能够先从平面几何的角度考虑两条直线的位置关系，探索如何用数量关系来说明位置关系，进一步体会几何问题代数化的基本思想自学导引1判断两直线位置关系可以通过两直线方程组成的方程组的解的个数来判定，若只有一组公共解，则两直线_；若无解，则两直线_；若有无数个解，则两直线_2在两直线的斜率都存在的条件下，若斜率不等，两直线_；若斜率相等，则两直线_，其中在同一坐标轴上的截距_，两直线平行，在同一坐标轴上的截距_，两直线重合3对
2、于直线 l1：A 1xB 1yC 10，l 2：A 2xB 2yC 20l1与 l2相交_ 或_l1与 l2平行_ 或_l1与 l2重合_ 或_特别地，l 1l 2_ 4过直线 l1：A 1xB 1yC 10 和直线 l2：A 2xB 2yC 20 交点的直线 l 可写成_对点讲练知识点一 判断两直线的位置关系例 1 判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标(1)l1：2xy30，l 2：x2y10；(2)l1：xy20，l 2：2x2y30；(3)l1：xy10，l 2：2x2y20.点评 根据解的个数判断两直线的位置关系，在解方程时，要先观察方程系数，解出方程组解的个数，若方程组
3、有惟一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多个解，则两直线重合也可根据直线的斜率和截距的关系判断直线的位置关系，从而得到方程的系数与位置关系的联系，规律如下：方程组Error!(A 1B1C10，A 2B2C20)， 方程组有唯一解l 1，l 2相交A1A2 B1B2 方程组有无数多个解l 1，l 2重合A1A2 B1B2 C1C2 方程组无解l 1，l 2平行A1A2 B1B2 C1C2变式训练 1 判断下列各对直线的位置关系(1)l1：2x3y70，l 2：5xy90；(2)l1：2x3y50，l 2：4x6y100；(3)l1：2xy10；l 2：4x2y30.知
4、识点二 两条直线的交点问题例 2 求经过直线 l1：x3y40，l 2：5x2y60 的交点，且过点 A(2,3)的直线方程点评 求两直线的交点就是解方程组，如果方程组有一解，说明两直线相交，有无数组解，说明两直线重合；无解，说明两直线平行方法二中的方程 x3y4(5x2y6)0 无论 取什么值，它表示的直线都过 x3y40 和 5x2y60 的交点变式训练 2 求经过两直线 2x3y30 和 xy20 的交点且与直线 3xy10 平行的直线方程知识点三 综合应用例 3 在ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为 x2y10，A 的角平分线所在直线的方程为y0，若点 B 的坐标为(1,2)，
5、求点 A 和点 C 的坐标点评 求两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解求点坐标时，关键是弄清它是哪两条直线的交点变式训练 3 已知ABC 的三边所在直线的方程为lAB：xy80，l BC：x2y50，l AC：3xy0，求ABC 的垂心的坐标1两条直线 l1：A 1xB 1yC 10，l 2：A 2xB 2yC 20 的交点取决于它们组成方程组的公共解的个数：若只有一解，则 l1与 l2相交；若无解，则 l1l 2；若有无数解，则 l1与 l2重合解方程组时，要注意对含字母的系数能否为 0 作适当的讨论2轴对称问题要抓住两点：中点；垂直中心对称问题的实质是中点坐标公式的运用3若直
6、线 l1：A 1xB 1yC 10，l 2：A 2xB 2yC 20，则所有经过 l1与 l2交点的直线方程为：A1xB 1yC 1(A 2xB 2yC 2)0 (R)(不包含直线 l2). 【答案解析】自学导引1相交 平行 重合2相交 平行或重合 不相等 相等3A 1B2A 2B10 (A2B20) A 1B2A 2B10 且 B1C2C 1B20 或 A2C1A 1C20 A1A2 B1B2 (A2B2C20) A 1A 2，B 1B 2，C 1C 2(0)A1A2 B1B2 C1C2 (A2B2C20) A 1A2B 1B20A1A2 B1B2 C1C24A 1xB 1yC 1(A 2x
7、B 2yC 2)0对点讲练例 1 解 方法一 (1)解方程组Error!得Error!所以直线 l1与 l2相交，交点坐标为(1，1)(2)解方程组Error!知方程组无解所以直线 l1与 l2无公共点，即 l1l 2.(3)解方程组Error!知方程组有无数个解所以两直线重合方法二 (1) ，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(1，1)21 1 2(2) ，所以方程组没有解，两直线平行12 12 23(3) ，所以方程组有无数个解，两直线重合12 1 2 12变式训练 1 解 (1)解方程组Error!得Error!，所以交点坐标为(2,1)，所以 l1与 l2相交(2)解方程组Er
8、ror!2 得 4x6y100，因此和可以化成同一方程，即和表示同一条直线，l 1与 l2重合(3)解方程组Error!2，得10，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l 1l 2.例 2 解 方法一 解方程组Error!，得Error!.所以 l1与 l2的交点是(2,2)由两点式得所求直线的方程为 ，y 32 3 x 2 2 2即 x4y100.方法二 所求直线方程为：x3y4(5x2y6)0 (R)将点 A(2,3)代入，有2334(52236)0， ，722故所求直线为 x3y4 (5x2y6)0，722即 x4y100.变式训练 2 解 方法一 由方程组Error!得Error!直
9、线 l 和直线 3xy10 平行，直线 l 的斜率 k3.根据点斜式有 y 3 ，(75) x ( 35)即所求直线方程为 15x5y160.方法二 直线 l 过两直线 2x3y30 和 xy20 的交点，设直线 l 的方程为 2x3y3(xy2)0，即(2)x(3)y230.直线 l 与直线 3xy10 平行， ，解得 . 23 31 2 3 1 112从而所求直线方程为 15x5y160.例 3 解 如图所示，由已知，A 应是 BC 边上的高线所在直线与A 的角平分线所在直线的交点由Error!，得Error!，故 A(1,0)又A 的角平分线为 x 轴，故 kACk AB1，(也可得 B 关于 y0 的对称点(1，2)AC 方程为 y(x1)，又 kBC2，BC 的方程为 y22(x1)，由Error!，得Error!，故 C 点坐标为(5，6)变式训练 3 解 由Error!得 A(2,6)由Error!得 B(7,1)设ABC 的垂心为 H，则 kAH 2，k BH .1kBC 1kAC 13所以 AH 的方程为 y2(x2)6，BH 的方程为 y (x7)1.13由Error! 得Error!所以 H 的坐标为(4,2)高 考 试:题库
