1、两条直线的位置关系考试目标 主词填空1.两直线平行的充要条件.已知两直线分别为：l 1：y =k1x+b1；l 2：y =k2x+b2，则 l1l 2 k1=k2 且 b1b 2.2.两直线垂直的充要条件.已知两直线分别为：l 1：y =k1x+b1；l 2：y =k2x+b2，则 l1l 2 k1k2=-1.3.两条直线的夹角.设直线 l1 的斜率为 k1，l 2 的斜率为 k2，l 1 到 l2 的角为 ，l 1 与 l2 的夹角为 ，则 tan，tan .12k124.点到直线的距离.点 P0(x0，y 0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= .20BACyx5.两平行线间的距离.
2、两平行线 l1：Ax+ By+C1=0 与 l2：Ax +By+C2=0(C1C 2)之间的距离 d= 21BAC6.对称问题.(1)P(x，y)关于 Q(a，b) 的对称点为 (2a-x，2b- y).(2)P(x0，y 0)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点是. 202202 )(,BACBAy题型示例 点津归纳【例 1】 已知两直线 l1：x +m2y+6=0， l2：(m -2)x+3my+2m=0，当 m 为何值时，l 1 与l2：(1)相交；(2)平行；(3) 重合 .【解前点津】 对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用“充要条件”.【规范解答】 当 m=
3、0 时， l1：x+6=0， l2：x=0 l1 l2，当 m0 时，则化为斜截式方程： l1：y=- x- ，l 2： y= ，m63xm当- 即 m-1，m3 时， l1 与 l2 相交.213当 ，即 m=-1 时 l1l 2.362当 ，即 m=3 时， l1 与 l2 重合.3261综上所述知：当 m-1，m3 且 m0 时，l 1 与 l2 相交， 当 m=-1 或 m=0 时，l1l 2，当m=3 时， l1 与 l2 重合.【解后归纳】 判断两直线的位置关系，关键是化直线方程为“斜截式” ，若 y 的系数含有参数，则必须分类讨论.【例 2】 求经过点 P(2，3)且被两条平行线
4、 3x+4y-7=0 及 3x+4y+3=0 截得的线段长为的直线方程.5【解前点津】 画图可知，所求直线有两条，选择应用夹角公式，可“避免讨论”.【规范解答】 |AC|= =2，|AB|= 在 RtABC 中，24375求出|BC |=1，则 tanABC=2. 设所求直线斜率为 k，则 =2 解之：k= 或 .43121x-2y+4=0，11x -2y-16=0 为所求 .【解后归纳】 本题利用了图形的性质，重视利用数形结合的方法，从而发现解题思路.【例 3】 一条光线经过点 P(2，3) ，射在直线 l：x+y+1=0 上，反射后穿过点 Q(1，1).(1)求光线的入射线方程；(2)求这
5、条光线从 P 到 Q 的长度 .【解前点津】 先求出 Q 关于直线 l 的对称点 Q的坐标，从而可确定过 Q，Q的直线方程.【规范解答】 (1)设点 Q(x，y)为 Q 关于直线 l 的对称点，且 QQ交 l 于 M 点，k 1=-1，k QQ =1，QQ 所在直线方程为 x-y=0.由 得 M 坐标为 ，又M 为 QQ中点，故由0yx 21,Q(-2，-2).21)(21y设入射线与 l 交点为 N，且 P，N，Q 共线，得入射线方程为： ，即 5x-4y+2=0.3x(2)l 是 QQ 的垂直平分线，因而： |NQ|=|NQ|，|PN |+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|= ，41)
6、2()3(即这条光线从 P 到 Q 的长度是 .41【解后归纳】 无论是求曲线关于直线的对称方程，还是解答涉及对称性的问题，关键在于掌握点关于直线的对称点的求法.【例 4】 已知三条直线 l1：2x -y+a=0(a0)，直线 l2：-4 x+2y+1=0 和直线 l3：x+y-1=0，且 l1 与 l2 的距离是 .507(1)求 a 的值；(2)求 l3 到 l1 的角 ；(3)能否找到一点 P，使得 P 点同时满足下列三个条件： P 是第一象限的点；P 点到 l1 的距离是 P 点 l2 的距离的 ；P 点到 l1 的距离与 P 到 l3 的距离之比是 ；若1 25能，求 P 点坐标；若
7、不能，说明理由.【解前点津】 求解本题用到三个公式：平行线间的距离公式，直线到直线的“到角”公式，点到直线的距离公式.【规范解答】 (1)由 l2：2x- y- =0，l 1 与 l2 的距离 d= ，化简得：1057)(22a，a0 ，a=3. 271(2)由(1)，l 1：2x- y+3=0 k1=2，而 k3=-1，t an = =-3，)1(213k0 ， =-arctan3.(3)设点 P(x0， y0)，若 P 点满足条件 ，则 P 点在与 l1， l2 平行的直线 L：2x-y+c=0 上，且 ，即 c= 或 c= .5213c3612x 0-y0+ =0 或 2x0-y0+ =
8、0.若 P 点满足条件，由点到直线的距离公式，有：，即：|2x 0-y0+3|=|x0+y0-1|，x 0-2y0+4=0，或 3x0+2=0，215300由 P 在第一象限，3x 0+2=0 不可能，由方程组：，舍去， 由213421300yxyx 18379042610yxyx得P 即为同时满足三个条件的点.【解后归纳】 (3)属于“存在性问题 ”的解答，往往从“假设存在入手” ，推出某种结论( 肯定的或否定的)，然后检验这种结论是否满足题设中的各条件 .对应训练 分阶提升一、基础夯实1.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行，那么系数 a= ( )A.-3 B. 6
9、 C.- D. 2232.点(0，5) 到直线 y=2x 的距离是 ( )A. B. C. D.255353.已知直线 2x+y-2=0 和 mx-y+1=0 的夹角为 ，那么 m 值为( ) 4A.- 或 -3 B. 或 3 C. 或 3 D. 或-33111314.若直线 l1：y=kx+k +2 与 l2：y=-2x+4 交点在第一象限内，则实数 k 的取值范围是( )A. (- ，+) B.(-，2) C.(- ，2) D.(-，- )(2 ，+)2 3225.两条直线 A1x+B1y+C1=0，及 A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是 ( )A. A1A2+B1B2=0 B.A
10、1A2=B1B2 C. =-1 D. =11A21BA6.如果直线 ax-y+2=0 与直线 3x-y-b=0 关于直线 x-y=0 对称，那么，a、b 值为( )A.a=， b=6 B. a= ，b=-6 C. a=3，b=-2 D. a=3，b=637.过两直线 y=- x+ 和 y=3x 的交点，并与原点相距为 1 的直线有( )10A. 0 条 B. 2 条 C. 1 条 D. 3 条8.对 0| | 的角 ，两直线 l1：x-ysin =cos 与 l2：xcos +y=1 的交点为( )4A.在单位圆上 B.在单位圆外 C 在单位圆内，但不是圆心 D.是单位圆的圆心9.已知 A(-
11、3，8)和 B(2，2) ，在 x 轴上有一点 M，使得|AM|+|BM|最短，那么点 M 的坐标是( )A.(-1，0) B.(1，0) C.( ，0) D.(0， )525210.设直线 l1：x sin +y +6=0， l2：x+y =0， ，则直cos1cos1,3线 l1 与 l2 的位置关系是( )A.平行 B.垂直 C.平行或重合 D.相交但不垂直二、思维激活11.直线 l1：2x-5y +20=0，l 2：mx-2y-10=0 与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数 m 的值等于 .12.直线 ax+4y-2=0 与直线 2x-5y+c=0 垂直相交于点(1，m)，则 a=
12、c= m= . 13.两条平行直线分别过点 A(6，2) 和 B(-3，-1)， ，各自绕 A，B 旋转，若这两条平行线距离最大时，两直线方程分别是 .14.p，q 满足 2p-q+1=0，则直线 px+2y+q=0 必过定点 .三、能力提高15.已知直线 l 与点 A(3，3) 和 B(5，2) 的距离相等，且过两直线 l1：3x-y-1=0 和 l2：x+y-3=0的交点，求直线 l 的方程.16.直线 l 过点(1，0)，且被两平行线 3x+y-6=0 和 3x+y+3=0 所截得的线段长为 9，求直线 l的方程.17.求函数 y= 的最小值.84122xx18.已知点 A(4， 1)，
13、B(0，4)，试在直线 l：3x-y-1=0 上找一点 P，使| PA|-|PB|的绝对值最大，并求出这个最大值.第 2 课 两条直线的位置关系习题解答1.B 由- =3 即得 a=-6.22.B 直接利用公式计算.3.C k1=-2， k2=m tan 得：|2m-1|=| m+2|解之即得.|21|)(44.C 解方程组 kyxyx26得由 .23320264 kk或5.A 当 l1，l 2 分别与坐标轴垂直时， C 答案不满足.6.A 因直线 ax-y+2=0 关于直线 y=x 的对称直线为 ay-x+2=0，故 x-ay-2=0 与 3x-y-b=0 重合，故 = = ，a= ，b=6
14、.3317.B 交点 P 为(1，3)，单位圆的两条切线 .8.C 由 x-ysin =cos 且 xcos +y=1 ，cosin1si2xx 2+y2= 1，但 x=y=0 不成立.242)cosin1(i9.B 因 B 关于 x 轴对称点为 B(2 ，-2)，则直线 AB的方程可求得为： 2x+y=2 令 y=0 得x=1.10.B 两直线的斜率之积 k1k2= |sin|co1sico1cosin2又 ，|sin |=-sin ，k 1k2=-1，l 1l 2.2,311. 四边形对角互补时有外接圆，由于两坐标轴互相垂直， =-1 m=-5.512. a=10，c=-12，m=-2 两
15、直线垂直，所以- =-1 a=10，又两直线都过点(1，m) ，524故 .1205241c13. AB 的斜率 kAB= ，当两直线都与 AB 垂直时，平行线距离最大 .36所求直线为：3x+y-20=0，3x+y+10=0.14.由 2p-q+1=0 直线为 px+2y+(2p+1)=0 (x+2)p+(2y+1)=0，令 故定点为 .2101yxyx得 21,15.解方程组： 得交点 C(1，2)，03x当 A、B 两点在 l 的同侧时， lAB，而 kAB= ，故 l 为：y -2=- (x-1)，即：215321x+2y-5=0.当 A、B 两点在 l 异侧时，则 l 过线段 AB
16、中点(4， )，由两点式知 l 方程为化之 x-6y+11=0.1425xy综上所述知，l 的方程是：x +2y-5=0 或 x-6y+11=0.16.如图所示，当 l 的斜率不存在时， l 方程为 x=1 它与两平行线交点为(1，3) 和(1，-6) ，其距为 |3-(-6)|=9 符合题意.当 l 的斜率存在时，设 l：y=k(x-1)，由 063)1(yk及 ，解得 l 与两平行直线的交点分别为 03)1(yxk.36,6k及故由 =92，得：k=- 故此时 l：y =- (x-1)， 即 4x+3y-4=0.293k3434综上所述知，l 的方程为：4x+3y-4=0 或 x=1.17. y= 222222 )0()()10()(81 xx令 A(0，1) ，B(2，2)，P( x，0) ，则问题转化为：在 x 轴上求一点 P(x，0)，使得|PA|+|PB|取得最小值，A 关于 x 轴的对称点为 A(0，-1)，所以(|PA|+|PB|) min=|AB|= .1318.如图所示，设 B 关于 l 的对称点为 B( x，y) ，由解得 B(3，3) ，直线 AB的方程为 012403yx即 2x+y-9=0.1y由 ，故所求 P 点坐标为(2，5)5,039x解 得此时|PA|-|PB|=|PA|-|PB|=|AB|= 为所求.52)1()24(
