1、2017 届河南省百校联盟高三 12 月教学质量监测数学（理）试题 理科数学第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则集合 中元素的个数为（ ） 2|43AxZxAA5 B6 C7 D82. （ ） 201734iiA B C D65i17625i17625i17625i3. （ ） 0sinxedxA B C D3131e3e3e4.已知 4 位同学和 1 位老师参加歌咏比赛，若老师不能在第一位和最后一位出场，且 同学不能在第 4 位A出场，则不同的排法种数为（ ） A36 B54 C60 D7
2、25.朱载堉（15361611） ，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作律学新说中制成了最早的“十二平均律” ，十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制.各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律” ，即一个八度 13 个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的 2 倍.设第三个音的频率为 ，第七个音的频率1f为 ，则 （ ） 2f1fA B C D3612486.已知随机变量 ，则 （ ）35,8xN:47.Px 0.220.954PA0.3413 B0.1587 C0.0228 D0.04567.运行如图所示
3、的程序框图，若输出的 值为 127，则判断框中可以填（ ） SA B C D10?k12?k14?k16?k8.已知函数 ，将函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数sinfxfx32的图象，则当 时，函数 的值域为（ ） g0,2gA B C D30,123,13,20,39.已知某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，则该四棱锥的体积为（ ） A B 40 C D1603803410.已知双曲线 的右支上存在一点 ，使得 ，其中2:1,xyabMPQ，若 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ） ,0,PbQtn2MQPCA B C D215yx415yx615y
4、x95yx11.已知四棱锥 中，底面四边形 为等腰梯形，且ACDAB，若平面 平面 ，则四棱锥/,2,23,4BPPABC的外接球的表面积为（ ） PABCDA B C D48525412.已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ,mnpq2ln03pq22mpnq） A36 B18 C9 D27第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题-第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 满足 ，若向量 的夹角为 ，则 _,ab,3b,ab233a
5、b14.已知椭圆 与椭圆 相交于 四点，21:0xyCa2:10yxCABCD、 、 、若椭圆 的一个焦点为 ，且四边形 的面积为 ，则椭圆 的离心率 为 1,FABD631e_15.已知实数 满足 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为 _,xy2403y6axya16.已知数列 的首项为 9，且 ，若 ，则数列 的前 项na212nn12nnbnb和 _nS三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.（本小题满分 12 分）如图，在 中， ，且 ，若 ABC15sin4,82CAB12sinsinBAC:（1）求 的面积；（2）已知 在线
6、段 上，且 ，求 的值以及 的值 DBDsiD18.（本小题满分 12 分）已知函数 现有一组数据（该组数据数量庞大） ，从中随机抽取 10 个，绘制214mfxx所得的茎叶图如图所示，且茎叶图中的数据的平均数为 2（1）现从茎叶图中的数据中任取 4 个数据分别替换 的值，求至少有 2 个数据使得函数 没有零点mfx的概率；（2）以频率估计概率，若从该组数据中随机抽取 4 个数据分别替换 的值，记使得函数 没有零点f的个数为 ，求 的分布列以及数学期望、方差19.（本小题满分 12 分）已知正方形 如图（1 ）所示， 是线段 的中点现以 为轴，将正方形 旋转到BCE1C1C1BC，使得 ，得到
7、的图形如图（2）所示，连接 1AA 1,ABEA（1）证明： 平面 ；1BC1A（2）求二面角 的大小1EABC20.（本小题满分 12 分）已知抛物线 的焦点 与椭圆 的一个焦点重合，点 在抛物线2:0ypxF2:165xyC0,2Ax上，过焦点 的直线 交抛物线于 两点Fl,MN（1）求抛物线 的方程以及 的值；CA（2）记抛物线 的准线与 轴交于点 ，若 ，求实数 的值xB2,40FBMN 21.（本小题满分 12 分）已知函数 2lnxeaf Rx（1）当 时，讨论函数 的单调性；af（2）若 存在三个不同的极值点，分别为 ，且 ，求实数 的取值范围，并证fx12,x120xa明： 1
8、2请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 的普通方程为xOy1C1cosinxy2C以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系2164xyx（1）求曲线 的普通方程和 的极坐标方程；1C2（2）若 是曲线 上的两点，且 ，求 的值,AB2OAB221OB23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ，若不等式 的解集为 41fxx3fxP（1）求 ；P（2）若 ，且 ，证明： ,abb219ab参考答案一、选择题 题
9、号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B B D C A C B A D B C B二、填空题13. 14. 15. 16. 9123， 2190n三、解答题17.【解析】 （1）记 ，因为 ，且 ，故,ACbBa15sin4C2C又 ，故 ；5 分32ab6故 的面积 6 分ABC115sin4632SabC（2）依题意， ，即 ，27co,cossin8caABACDAC1sin48 分故 ，1517sinsi448DC故 12 分627sii 71584AAD18.【解析】 （1）依题意，；1 分 20.35.19.23.4.5107a a 对于函数 ，解得 ；2
10、,0mfxx2m则茎叶图中，有 4 个数据满足 ；4 分故所求概率 6 分13164408234CP（2）由（1）可知任取 1 个数据，能够使得函数 没有零点的概率 ；7 分fx25P故 的可能取值为 0，1，2，3，4；则 ，3148216,565PPC，2 34 439, 25C .1652P故所求分布列为：0 1 2 3 4P8625659162510 分因为 ，故 12 分4,B:82344,5ED19.【解析】 （1）因为 ，故 ，故 ；1 分2ACB22ACBACB因为棱柱 为直棱柱，故 平面 平面 ，故 ；2 分1B1,1因为 ，故 平面 ；因为 平面 ，故 ；3 分11又因为
11、，故 ；因为 ，故 平面 4 分1C1BCABCABC（2）以 为坐标原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立如xy1z图所示的空间直角坐标系 ；xyz不妨设 ，则 ，2AC110,2,0,20,20E,1ABCB则 ，1,EB易知， 平面 ，则平面 的一个法向量 ，1,1A,m设 是平面 的一个法向量，,nxy1AE则 ， ，得 ，10EB:20xy,12n所以 ，2213cos,mn:因为二面角 为锐角，故二面角 的大小为 3012 分1EABC1EABC20.【解析】 （1）依题意，椭圆 中， ，故 ，2:65xy26,5ab221cab故 ，故 ，则 ，故
12、抛物线 的方程为 2 分,0F2p424yx将 代入 ，解得 ，故 3 分Axyx01pAF（2）依题意， ，设 ，设 ，1,:lmy12,MxyN联立方程 ，消去 ，得 5 分24yx240所以 ，且 ，124y12yxm又 ，则 ，即 ，MFN12,12y代入得 ，消去 得 ，8 分24y2y4易得 ，则 ，1,0B12,1,xBNxy则 22 22 21 1121MNxxy122122144868606myymyy:由 ，解得 ，42102故 12 分321.【解析】 （1） ，1 分323xxeaeafx当 时， ，所以当 时， 单调递减；0a0,ea00,ffx当 时， 单调递增；2
13、 分2xfxf当 时，令 ，则 ，令 ，得 ，0eaxheaxhea0hxlna故 在 上单调递减，在 上单调递增，hx,lnln,，l le因为 ，所以 ，即 ，所以当 时， 恒成立，0ea1al0ha0ea0xea故 在 上单调递减，在 上单调递增4 分fx,22,综上，当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增5 分efx02,（2）由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增.h,lnalna若要 的两个不同根为 且 ，则必有 ，解0x12,x120x02lnha得 7 分2ea由 ，两边取对数得 ，1 12 21200xxhxeaea 1122lnlxax两式相加得 ，11lnl故要
14、证 ，只需证明 即可9 分2x2nxa易知 ，12la设 ，其中 ，lngxhx20ln, 20xaxagea故 在 上单调递增，故 ，0,lal0g故 ，10 分2n0lnhxxa令 得 ，因为 ，故 11 分11lh12hx21lnhxax又因为 ，且 在 上单调递增，21,l,xaxln,a因此有 ，即 成立，原命题得证12 分n12lx22.【解析】 （1）依题意，曲线 的普通方程为 ，即 3 分C21xy220xy曲线 的极坐标方程为 （只要写出 的关系式均给分）5 分2C22cos4in16、（2）曲线 的极坐标方程为 ，22s16设 ，代入得 ，12,AB22221coinsincos, 14164故 ，22222121csinsics5646 10 分225OAB23.【解析】 （1） ，则当 时， 不成立；当 时，,4315,xfx4x5341x，23x解得 ；当 时， 成立，故 5 分01x3|0Px（2）因为 ，所以 ，当且仅当 时，取等号，故,ab24abb2ba，当且仅当 222 2221141591b，即 ， 时取等号10 分2241ba63b
