1、2016 届河南省百校联盟高三 4 月教学质量监测数学（理）试题 理科数学 第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则 （ ）2|21,|0xAyRBxABA B C D1,12.若复数 的共轭复数为 ，且满足 ，其中 为虚数单位，则复数 的模为（ ）zz21ziiizA1 B3 C D403.下列满足“ 且 ”的函数是（ ）,xRffx0fxA B C Dxfesinflg1,0xf2fx4.已知 是等差数列 的前 项和， ，则 （ ）nSna3618S5SA14 B10 C9 D55.从 1，
2、2，3，4，5，6 这六个数字中任取 3 个数，组成无重复数字的三位数，则十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为（ ）A B C D1326.已知 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，直线 与抛物线交于 两点，点OF4yx:1lymx,AB在第一象限，若 ，则 的值为（ ）AmA3 B C D317.如果执行如图所示的程序框图，那么输出的 （ ）aA2 B C-1 D以上都不正确18.在正方体 中， 为线段 的中点，若三棱锥 的外接球的体积为 ，1AE1BC1EAD36则正方体的棱长为（ ）A2 B C D4239.已知 ，则下列结论错误的是（ ）21sincosicos2fxxxA 在区间 上
3、单调递增 B 的一个对称中心为f0,6f ,012C当 时， 的值域为 D先将函数 的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为,3xfx1,3fx原来的 倍，再向左平移 个单位后得到函数 的图象1282cos46y10.如图所示为某几何体的三视图，其体积为 ，则该几何体的表面积为（ ）8A B C D243607811.已知双曲线 的左，右焦点分别为 为坐标原点， 是双曲线在第2:1,xyab12,OFP一象限上的点， ，直线 交双曲线 于另一点 ，若 ，且 ，MOP2FCN12P021MFN则双曲线 的离心率为（ ）CA B C D2373212.已知不等式 恒成立，则 的最小值为（ ）ln1xaxb
4、32baA B C D12e2ee1e第卷二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.向量 ，则向量 与 的夹角为_ 1,2,1ababAab14.已知 的展开式中 的系数为 ，则 _5xy24xym21mxd15.若点 在不等式组 表示的平面区域内，则 的最大值为2,Qab0521xy 2zab_16.已知三角形 中， 为 的中点，当 最小时，三角形 的面积ABC6,4,ABCDADABC为_ 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.（本小题满分 12 分）已知等比数列 的前 项和为 ，公
5、比 成等差数列na1,3nSa13270,qSaSa（1）求 ；（2）设 ，求数列 的前 项和 1213,lognnnbcbancnT18.（本小题满分 12 分）随着手机的发展， “微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取 了 50 人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表：年龄（单位：岁） 15,2,35,45,65,7频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 5 10 12 7 2 1（1）若以“年龄 45 岁为分界点” ，由以上统计数据完成下面 列联表，判断是否有 99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：年龄不
6、低于 45 岁的人数年龄低于 45 岁的人数合计赞成不赞成合计（2）若从年龄在 的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的 4 人中赞成“使5,6,7，用微信交流”人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望。参考数据如下： 2PKk0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.82822 ,nadbcnabcdd19.（本小题满分 12 分）如图所示的几何体中， 为菱形， 为平行四边形， 为等边三角形， 为 与 的ABCDEFBDFOACBD交点（1）求证： 平面 ；BDACEF（2）若 ， ，求二面角 的正弦值06BECD20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率
7、 ，椭圆的右焦点 ，椭圆的右顶点为 ，上顶2:10xyCab2e,0FcA点为 ，原点到直线 的距离为 BAB63（1）求椭圆 的方程；（2）判断在 轴上是否存在异于 的一点 ，满足过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于xFG0klC两点， 是点 关于 轴的对称点， 三点共线，若存在，求出点 坐标；若不存在，MN、 PxNFP、 、 G说明理由21.（本小题满分 12 分）已知函数 lnfxb（1）当 时，求 在区间 上的最值；2Gxf1,2e（2）若存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围01,e00bfxb请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22
8、.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，等边三角形 内接于圆，以 为切点的圆 的两条切线交于点 交圆 于点 ABCBC、 O,DAOE（1）求证：四边形 为菱形；ABDC（2）若 ，求等边三角形 的面积2E23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，l1423xty x曲线 的极坐标方程为 Ccos（1）求曲线 的直角坐标方程与直线 的极坐标方程；l（2）若直线 与曲线 交于点 （不同于原点） ，与直线 交于点 ，求 的值6CAlBA24. （本小题满分 10 分）选修
9、 4-5：不等式选讲设函数 52,fxxR（1）求不等式 的解集；6f（2）若方程 恰有两个不同的实数解，求实数 的取值范围1xaa参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C A B C B A D C D B C二、填空题13 14 15 163415ln261357三、解答题17解：（1）因为 成等差数列，1327,SaSa所以 3227化简得 ，319a（2） 1133loglnnnba，122ncnn1231 1134521212nTcc nnn = 12 分418解：（1） 列联表如下：2年龄不低于 45 岁的人数年龄低于 45 岁的人数
10、合计赞成 10 27 37不赞成 10 3 13合计 20 30 50 3 分所以有 99%的把握认为“使用微信交流 ”的态度与人的年龄有关 5 分（2） 所有可能取值有 0，1，2，3，23456905CPA，121233445563412005，20113234455643010CCPA 10 分2013425所以 的分布列是：0 1 2 3P955所以 的期望值是 12 分13060225E19解：（1）因为 为菱形，所以 ，又因为 为 与 的交点，ABCDBACOACBD所以 为 的中点，又 为等边三角形，所以 ，OFF因为 ，,E平 面 平 面所以 平面 4 分BE（2）因为 为 的
11、中点，所以 ，,AFCOACOF因为 ，所以 平面 ，DFBD则以 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，xyz不妨设 ，因为 ，2AB06DAB所以 ，0,13,13,0,3CF因为 ，则 ，FE0设 为平面 的一个法向量，则 ，11,nxyzBEC10nBCEA可求得 1,3同理可求得平面 的一个法向量 ，D21,3n所以 ，1212cos,5nA所以二面角 的正弦值为 12 分BEC620解：（1） 所在直线的方程为 ，即 A1xyab0xayb由题意知： ，22263cabab解得 ，椭圆 的方程为 4 分,1cC21xy（2）假设存在点 满足题 意，设点 ，则直线
12、 的方G0121,0MNxyPFl程为 ，0ykx由 ，得 ，21y2220014kxkx所以 ，22001214,xkk 三点共线， ，NFP、 、 /FNP， ，2201,xyxkx 1110,xyxkx 012022200441kkxxk 解得 ，0x所以存在点 满足题意 12 分2,0G21解：（1）当 时， ， ，令1b22ln0xfxx21xG，0x,11 ,Gx0极小值 ，211lnl2,10,1124Gee所以 在区间 上 4 分Gx,e2maxmin,0x（2）若在 上存在一点 ，使得 成立，1,0001bf即在 上存在一点 ，使得 成立，,e0x00lnbx设 ，1lnhxb又 ，2 21xbxb 当 ，即 时，在 上 ，所以函数 在 上单调递增；10b10,0hhx0,当 ，即 时，在 上 ，在 上， ，1xbx1,bx所以 在 上单调递减，在 上单调递增；hx, ,综上所述：当 时， 的递减区间为 ；递增区间为 ；1bhx0,当 时， 只有递增区间为 ,所以要使得在 上存在一点 ，使得 成立，1,e0x001lnbx则只需要函数 在 上的最小值小于零01lnbhx,e当 ，即 时， 在 上单调递减，1behx
