1、2018 届云南省昆明市第一中学高三第五次月考数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设 ，（其中为虚数单位，是的共轭复数）， 则 （ ）A. 2 B. C. D. -2【答案】D【解析】故选 D2. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合集合集合集合故选 A3. 直线 是双曲线 的一条渐近线，则 （ ）A. B. 4 C. 12 D. 16【答案】B【解析】直线 是双曲线 的一条渐近线故选 B点睛：已知双曲线方程 求渐近线： 4
2、. 在 中，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】故选 B5. 从一颗骰子的六个面中任意选取三个面，其中只有两个面相邻的不同的选法共有（ ）A. 20 种 B. 16 种 C. 12 种 D. 8 种【答案】C【解析】从一颗骰子的六个面中任意选取三个面有 种，其中有三个面彼此相邻的有 8 种，所以只有两个面相邻的不同的选法共有 种故选 C6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 8【答案】B【解析】由图可知该几何体底面积为 8，高为 2 的四棱锥，如图所示：该几何体的体积故选 B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的
3、关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. 执行如图所示程序框图，若输入的取值范围为 ，则输出的 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知得程序框图可得 关于的函数图象如图所示： 故选 D8. 已知样本 的平均数为 ；样本 的平均数为 （ ），若样本 ， 的平均数为 ；其中 ，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】依题意可得故选 A9. 若函数 的图像关于点 对称，且当 时， ，则（ ）A. B.
4、 C. D. 【答案】A【解析】令 ，解得 得对称中心为令 ，解得 ， ， 故选 A10. 函数 的最大值是（ ）A. B. C. D. 7【答案】C【解析】 函数的最大值是故选 C点睛：本题考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质，研究函数 的图象和性质的关键一步是利用配角公式将函数的形式变成 的形式，再利用三角函数的图象及性质进行求解.11. 已知定义在 上的函数 是奇函数，且满足 ， ，数列 满足 且，则 （ ）A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】A【解析】 函数 是奇函数又 ，即 是以 为周期的周期函数 ， ，即 ，又 ，故选 A点晴：本题主要考查了函数的奇偶性、周期性的应
5、用，着重考查了学生的计算和推理能力，根据，可推得 及将关系式 转化为 是解答本题的关键. . . . . . . . .12. 已知双曲线 ： 的左、右焦点为 ，过点 的直线与双曲线 的左支交于 两点，若，则 的内切圆面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意， ， ，则 ， ， ， ，即 ，则直角三角形 的内切圆半径是 的内切圆面积为故选 D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 中，角 的对边分别为 若 ， ， ，则 _【答案】4【解析】根据余弦定理 ， ，故答案为 414. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位
6、歌手，甲说：“我没有获奖” ，乙说：“是丙获奖” ，丙说：“是丁获奖” ，丁说：“我没有获奖”.在以上问题中只有一人回答正确，根据以上的判断，获奖的歌手是_【答案】甲【解析】若甲回答正确，则正确表述为：甲：我未获奖；乙：丙未获奖；丙：丁未获奖；丁：我获奖.此情况下丙、丁冲突，故错误；若乙回答正确，则正确表述为：甲：我获奖；乙：是丙获奖；丙：丁未获奖；丁：我获奖.而只有一个人获奖，故错误；若丙回答正确，则正确表述为：甲：我获奖；乙：丙未获奖；丙：是丁获奖；丁：我获奖.而只有一个人获奖，故错误；若丁回答正确，则正确表述为：甲：我获奖；乙：丙未获奖；丙：丁未获奖；丁：我没有获奖.此时获奖人数只有一个
7、，为甲.故正确。故答案为甲15. 已知 四点在球 的表面上，且 ， ，若四面体 的体积的最大值为 ，则球的表面积为_【答案】【解析】设 的外接圆圆心为 ，点 为 的中点 平面设直线 交球 于 和 ，不妨设点 在线段 内 为四面体 高的最大值由题意知 ，即 ，当且仅当 与 重合时 取最大值，此时由 得故答案为点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体 的体积的最大值，是解答的关键16. 已知函数 ， ，过点 作函数 图像的切线，切点坐标为 ， ， ，则 _【答案】【解析】由题意得， ，则设切点为 ，则切线斜率为切线方程为将点 代入切线方程得 ，即令曲线 ，直线 ，则直
8、线与曲线 交点的横坐标即为切点横坐标又直线与曲线 均关于点 对称，则它们的交点横坐标成对出现，在区间 内共有 对，每对之和为过点 作函数 ， 的切线共有 条，即切点共有 个故答案为三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 满足 .（1）证明： 是等比数列；（2）令 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由数列 ，求出通项公式 和 的关系，由此判断 是否为等比数列；（2）由（1）可知数列 的通项公式，代入 可知 的通项公式，通过裂项相消法算出 的前 项和 。试题解析：（1）由 得： ， ，从
9、而由 得 ， 是以 为首项， 为公比的等比数列 （2）由（1）得 ，即 ， 点晴：本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各 50 名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户列为“微信控” ，否则称其为“非微信控” ，调查结果如下：微信控 非微信控 合计男性 26 24 50
10、女性 30 20 50合计 56 44 100（1）根据以上数据，能否有 95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人，再随机抽取 3 人赠送礼品，记这 3 人中“微信控”的人数为 ，试求 的分布列和数学期望 .参考公式: ，其中 .参考数据：0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【答案】 （1）没有 的把握认为“微信控”与“性别”有关（2）【解析】试题分析：（1）根据列表中的数据计算观测值 ，对照数表得出结论；（2）根据题意知
11、的可能取值，计算对应的概率值，即可求出 的分布列与数学期望值.试题解析：（1）由列联表可得所以没有 的把握认为“微信控”与“性别”有关 （2）根据题意所抽取的 位女性中， “微信控”有 人， “非微信控”有 人，可取的值为 ， ， ，所以 的分布列是的数学期望是 19. 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， 与均为等边三角形，点 为 的中点.（1）证明：平面 平面 ；（2）试问在线段 上是否存在点 ，使二面角 的余弦值为 ，若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）见解析（2）点 为 的中点【解析】试题分析：（1）连接 ，根据题设条件可证四边形 为正方形，即
12、可得 ，设 与相交于点 ，根据 与 均为等边三角形可证 ，即可证 ，从而证明平面平面 ；（2）由题设条件及（ 1）可知，建立以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 和平面 的一个法向量，结合二面角 的余弦值为 ，即可求出点 的位置.试题解析：（1）证明：连接 ，由于 ，点 为 的中点， ，四边形 为正方形，可得设 与 相交于点又 与 均为等边三角形在等腰 中，点 为 的中点 ，且 与 相交于点 ，可得 平面又 平面平面 平面 （2）由 ， 与 均为等边三角形，四边形 为正方形， 与 相交于点 ，可知 ， ，所以 ，又平面 平面 ，所以 平面 ，以点 为坐标
13、原点， 为 轴， 为 轴， 为轴建立空间直角坐标系可得 ， ， ，设点 的坐标为 ， ，由 ， ，可得 ，故 ，设 为平面 的一个法向量，则，得 ，平面 的一个法向量为 ，由已知 ，解得所以，在线段 上存在点 ，使二面角 的余弦值为 ，且点 为 的中点点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，且点 在椭圆 上.（1）求椭圆 的方程；（2）已知 ，设点 （ 且 ）为椭圆 上一点，点 关于 轴的
14、对称点为 ，直线分别交 轴于点 ，证明： .（ 为坐标原点）【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率为 及点 在椭圆 上即可得椭圆 的方程；（2）根据对称性得 ，即可得直线 与直线 的方程，从而求得 和 坐标，进而推出 ，即可证明.试题解析：（1）由已知得： ，又 ，椭圆 的方程为 （2）点 关于 轴的对称点为 ，直线 的方程为 ，令 得 ；直线 的方程为 ，令 得 ，而点 在椭圆 上， ，即： ，即 ， 21. 已知函数 .（1）求函数 的单调区间；（2）设 ，求 在区间 上的最大值；（3）证明：对 ，不等式 成立.（为自然对数的底数）【答案】 （1）函数 在
15、上单调递增，在 上单调递减（2） （3）见解析【解析】试题分析：（1）确定函数的定义域，求导数，由导数的正负明确函数的单调区间；（2）对 分类讨论，确定函数 再 上得单调性，从而可求函数的最大值；（3）先确定函数在 上，恒有，即 ，结合（1）可证，从而可得 ，恒有 ，进而可得结论.试题解析：（1） 的定义域为 ， ，由 ，得 当 时， ；当 时， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减 （2）当 ，即 时， 在 上单调递增， 当 时， 在 上单调递减， 当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， （3）由（1）知，当 时， ，所以在 上，恒有 ，即且当 时等号成立因此，对 ，恒有 ，
16、，即 ， 即对 ，不等式 成立点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和及放缩法.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为， 的极坐标方程为 .（1）求直线 与 的交点的轨迹 的
17、方程；（2）若曲线 上存在 4 个点到直线 的距离相等，求实数的取值范围 .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）利用 化为直角坐标方程，在进行消参，即可得直线 与 的交点的轨迹的方程；（2）由（1）可得曲线 表示圆心在 ，半径为 的圆，可得点 到直线 的距离，再根据曲线 上存在 4 个点到直线 的距离相等，即可得实数的取值范围 .试题解析：（1） 的直角坐标方程为 ，可化为 ，的直角坐标方程为 ，可化为 ，从而有 ，整理得 ， 当 或 时，也满足上式，故直线 与 的交点的轨迹 的方程为 （2）由（1）知，曲线 表示圆心在 ，半径为 的圆，点 到直线 的距离为 ，曲线 上存在 4 个
18、点到直线 的距离相等， ，解得 ，实数的取值范围为 23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）求 的最小值；（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）最小值为 （2）【解析】试题分析：（1）利用绝对值的意义，写出函数 的解析式，即可求得 的最小值；（2）由不等式 恒成立，得 恒成立，令 ，则恒成立，即可求得实数 的取值范围.试题解析：（1） ，所以， 时， 取最小值，且最小值为（2）由 ， 恒成立，得 恒成立，即恒成立，令 ，则 恒成立，由（1）知，只需可化为 或 或 ，解得 ，实数 的取值范围为点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
