1、云南省昆明第一中学 2018 届高三第八次月考理 科 数 学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，集合 ，则集合 与 的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据对数函数的性质求出集合 ，根据指数函数的性质求出集合 ，即可得到集合 与集合的关系.详解：集合集合故选 A.点睛：本题考查集合间的基本关系，研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系.2. 在复平面内，复数与复数 对应的点关于实轴
2、对称，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出详解：复数与复数 对应的点关于实轴对称，故选 B.点睛：复数的除法：除法的关键是分子分母乘以分母的共轭复数，解题时要注意 及复数 的共轭复数为 .3. 某班有 50 人，一次数学考试的成绩 服从正态分布 已知 ，估计该班本次考试学生数学成绩在 分以上的有（ ）A. 人 B. 人 C. 人 D. 人【答案】D【解析】分析：根据考试的成绩服从正态分布，得到考试的成绩关于 ，根据题设条件，即可求解数学成绩在 分以上的人数详解：因为考试的成绩 服从正态分布 ，所以考试的成绩 关于 对称，因为 ，所
3、以 ，所以该班数学成绩在 分以上的人数为 ，故选 D点睛：本题主要考查了正态分布的特点及曲线所表示的意义，属于基础题，解题的关键是考试的成绩 关于 对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，着重考查了推理与运算能力4. 展开式中 的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用展开式的通项，即可得到 的系数详解：因为 ，在 中， 的项系数为 ，对 的 的项系数为 ，所以 的系数为 ，故选 B点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题5. 已知点 是抛物线 的焦点， 为坐标原点，若以 为圆心， 为半径的圆与直线相切，则抛物线 的方程为（ ）A.
4、 B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由抛物线的方程 ，得焦点坐标 ，利用点到直线的距离公式，列出方程，求得 ，即可得到抛物线的方程详解：由抛物线的方程 ，则焦点坐标 ，所以焦点 到直线 的距离为 ，解得 ，所以抛物线的方程为 ，故选 B点睛：本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理能力与运算能力6. 已知函数 的部分图像如图所示，若图中在点 处 取得极大值，在点 处取得极小值，且四边形 的面积为 ，则 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据给定的三角函数的图象与性质，求得函数的最小正周期，利用周期的公式，即可求解的
5、值详解：根据题意，四边形 为平行四边形，且 ，即 ，所以 的最小正周期为 ，由 ，得 ，故选 D点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，着重考查了考生的识图能力，以及推理与运算能力7. 已知函数 ，函数 ，执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出 的值为的函数值的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：模拟程序框图的运行过程，得该程序运行的结果是什么；由 在 上的函数值的正负，即可求出输出的 的值为 的函数值的概率详解：模拟程序框图的运行过程，知：该程序运行的结果是输出函数值 与 中的较小者.当 时，输入的输出 的值为 的函数值的概率为 .故选 C.点睛：本题考查
6、了程序框图与几何概率的应用问题，是综合题.解决几何概型问题的常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关键是计算问题的长度以及事件的长度.8. 设数列 的前 项和为 ，若 构成等差数列，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据题意 ，得 ，即数列 从第二项起构成公比为 的对边数列，利用等比数列的通项公式，即可求解 详解：根据题意 ，即 ，所以 ，即数列 从第二项起构成公比为 的对边数列，所以 ，故选 A点睛：本题主要考查了等比数列的定义及其通项公式的应用，着重考查了推理能力与运算能力9. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 是双曲线 底
7、面右顶点，点 是双曲线上一点， 平分 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由题意，根据 平分 ，得到 ，再由，列出方程，即可求解双曲线的离心率详解：由题意，因为 平分 ，所以 ，又因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，故选 D点睛：本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键求双曲线的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法： 求出 ，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式) ，即可得 (的取值范围) 10. 过正方体 的顶点
8、的平面 与直线 垂直，且平面 与平面 的交线为直线，平面 与平面 的交线为直线 ，则直线与直线 所成角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先画出正方体 ，再根据题设条件将平面 平移到平面 ，可推出直线，直线 ，结合图形，可得 为直线与直线 所成角，从而得出角的大小.详解：由题意可知，将平面 平移到平面 ，则直线 ，直线 ，如图所示： 为等边三角形直线与直线 所成角的大小为故选 C.点睛：本题考查异面直线所成角的求法，对于异面直线所成的角，一般是通过平移的方法形成异面直线所成的角（或其补角） ，再根据其所在三角形的边角关系，计算其大小，要注意异面直线所成的角是锐角或直角
9、，若计算出是钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 11. 已知 的面积为 ， ， 为线段 上一点， ，点 在线段 上的投影分别为 ，则 的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由三角形的面积公式，结合 ，得 ，进而得到 和 ，即可求得 的面积详解：因为 的面积为 ， ，则 ， 所以 ，即 ，因为 ，所以 ，又因为 ，即 ，同理可得 ，所以 ，又因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 ，故选 B点睛：本题主要考查了解三角形的综合应用，其中解答中根据向量的条件，转化为三角形面积之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理论证能力12. 已知定义在 上的
10、函数 ，其中 ，设两曲线 与 有公共点，且在公共点处的切线相同，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：设曲线 与 在公共点 处的切线相同，根据导数列出方程组，求得 ，将 ，得 ，令 ，利用导数求解函数的单调性与最值，即可求解详解：设曲线 与 在公共点 处的切线相同，又由 ，根据题意可知 ，所以 ，由 可得 获 （舍去） ，将 代入 ，可得 ，所以 ，令 ，则 ，即 ，令 ，可得 ，当 时， ，当 时， ，所以 在 上的最大值为 ，故选 A点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行
11、：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值( 极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若 满足约束条件 ，则函数 的最小值为_【答案】5【解析】分析：作出约束条件所表示的平面区域，结合图象，得到目标函数经过点 时，目标函数取得最小值，即可求解详解：作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数 ，则 ，由图象可知当取可行域内点 时，目标函数取得最小值，由 ，解得 ，此时函数的最
12、小值为 点睛：本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距 的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如 14. 在数列 中， ，且 ，设数列 的前 项的积为 ，则 _【答案】【解析】分析：根据数列的递推关系式，利用归纳推理得到 ，即可求得 的值详解：由 经过递推关系计算可得 ，由此归纳得出 ，所以 点睛：本题考查了合情推理，对于合情
13、推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)15. 定义符号函数 ，若函数 ，则满足不等式 的实数的取值范围是_【答案】【解析】分析：根据分段函数，利用指数函数的性质，得到函数 在 上是增函数，即可得到不等式，即可求解详解：由函数 ，得 ，根据指数的性质可得函数 在 上是增函数，又由 ，则 ，解得 点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性
14、，转化为不等式 是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性去掉“” ，转化为具体的不等式(组)，即可求解16. 已知正方体 的棱长为 ，点 是 的中点，点 是 内的动点，若 ，则点到平面 的距离的范围是_.【答案】【解析】分析：在正方体 中，过 作 ，且 交线段 于 ，则 平面 ，分别求出点当点 与点 重合时，当点 与点 重合时，以及点 是 的四等分点，所以点 到平面的距离的最大值与最小值，即可求解结果详解：在正方体 中，点 是 的中点，连接 交 于 ，则 为线段 的中点，所以为 的中位线，又因为 平面 ，所以 ，过 作 ，且 交线段 于
15、，则 平面 ，则点 在平面 内的轨迹是线段 ；当点 与点 重合时，点 到平面 距离取得最大值为 4，当点 与点 重合时，点 到平面 距离最小，又因为 是 的四等分点，所以点 到平面 的距离小值为 3，所以点 到平面 的距离的取值范围是 点睛：本题主要考查了正方体的线面位置关系，以及点到平面的距离的取值范围问题，其中解答中正确把握正方体的线面位置关系和直线与平面垂直的判定，以及点到平面的距离的定义是解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与论证的能力三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，内角 的对边分别为 ，设平面向量
16、，且（）求 ；（）若 ，求 中边上的高 .【答案】(1) ;(2) .【解析】分析：（1）由向量的数量积的运算，得 ，根据正弦、余弦定理得 ，即可得到 ； （2）由余弦定理和 ，得 ，再利用三角形的面积公式，求得 ，即可得到结论详解：（1）因为 ，所以 ，即 ，即 ，根据正弦定理得 ，所以 ，所以 ； （2）由余弦定理 ，又 ，所以 ，根据 的面积 ，即 ， 解得 ，所以 中 边上的高 点睛：本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍
17、角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18. 某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如下表：使用智能手机 不使用智能手机 总计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀 16 2 18总计 20 10 30（）根据以上 列联表判断，能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？（）从学习成绩优秀的 12 名同学中，随机抽取 2 名同学，求抽到不使用智能手机的人数 的分布列及数学期望.参考公式： ，其中参考数据：0.05 0,。025 0.0
18、10 0.005 0.0013.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）由列联表和卡方的计算公式，得 的字，即可作出判断； （2）根据题意， 可取的值为 ，求解随机变量取每个值的概率，列出分布列，利用期望的公式即可求解数学期望详解：（1）由列联表可得所以能在犯错误的概率不超过 的前提下认为使用智能手机对学习有影响（2）根据题意， 可取的值为 ， ， ， ， 所以 的分布列是的数学期望是 点睛：本题主要考查了独立性检验的应用和随机变量的分布列和数学期望，解答本题，首先要准确独立性检验的计算公式作出准确计算，利用组合数的公式求
19、解随机变量的取值对应的概率，得到分布列和求得数学期望，本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.19. 如图，在三棱锥 中， ，点 为边 的中点.（）证明：平面 平面 ；（）求二面角 的余弦值.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】分析：（1）由题意， 平面 ，得 ，又 为等边三角形，得 ，与 相交于点 ，利用线面垂直的判定定理得 平面 ，再由面面垂直的判定定理，即可得到结论（2）由（1）可知，以点 为坐标原点，直线 为 轴，直线 为 轴，过点 且与平面 垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，求得平面 和平面 的法向量，利用向量的夹角公式，即可得到二
20、面角的余弦值详解：（1）由题意， 平面 ， 平面 ，可得 ，又 为等边三角形，点为 边的中点，可得 ， 与 相交于点 ，则 平面 ， 平面 ，所以，平面平面 （2）由（1）可知，在直角三角形 中， ， ，可得 ，以点 为坐标原点，直线 为 轴，直线 为 轴，过点 且与平面 垂直的直线为轴建立空间直角坐标系可得 ， ， ， ， ， ， ， 设 为平面 的一个法向量，则，得 ，同理可得， 为平面 的一个法向量，设二面角 的平面角为 ，所以，二面角 余弦值为 点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线
21、与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20. 设点 在圆 上，直线上圆 在点 处的切线，过点 作圆 的切线与交于点（）证明 为定值，并求动点 的轨迹 的方程；（）设过点 的直线 与曲线 分别交于 和 ，且 ，求四边形 面积的最小值【答案】(1)见解析;(2) .【解析】分析：（1）设 与圆 相切于点 ，根据题意得 ，进而得，利用椭圆的定义，即可求解椭圆的方程（2） （）当直线 的斜率为零或斜率不存在时，四边形 的面积为 ；（）当直线 的斜率 存在且不为零时，设 ： ，联
22、立方程组，得 ，得到，同理得 ，进而得到四边形面积的表达式，利用基本不等式，即可求解四边形面积的最小值详解：（1）设 与圆 相切于点 ，作 轴于点 ，因为 ，所以 ，而 ， 又因为 ，所以，动点 的轨迹为椭圆， ，所以点 的轨迹 的方程为： （2） （）当直线 的斜率为零或斜率不存在时，四边形 的面积为 ；（）当直线 的斜率 存在且不为零时，设 ： ， ， ，由 得： ，由 ， ， ，所以 ， 而 ： ，所以同理得： ， 所以 ，令 （ ） ，则 ，所以，所以 ，即 时，四边形 面积的最小值 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答中利用椭圆的定义确
23、定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线平行于 轴（）求函数 的单调区间；（）证明：当 时， （为自然对数的底数）【答案】(1) 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 (2)见解析.【解析】试题分析：（1）本题首先由导数的几何意义知 ，从而求得值，然后通过 确定增区间， 确定减区间；（2）考虑到 ，因此首先证明特
24、殊情况， 的情况，此时研究函数 ，求出导函数 ，为了确定 的正负，设并求导得 ，考虑到式子中的 ，可分类证明 和 时都有 ，即 单调递增，因此 即 只有唯一解 ，正负随之而定，从而得 ，于是结论得证再由不等式的性质 也得证试题解析：（1）由 ，依题意， ，有 ，所以 ，显然 在上单调递增，且 ，故当 ，当 ，所以函数 的递减区间为，递增区间为 .（2）设 .当 时， ，设 则 .当 时， ，当 时， ，则 ，所以 单增且 故当 ，当 ，所以 . 时，因为 所以有知综上所述，当 时， 恒成立.考点：导数的几何意义，导数与单调性，用导数证明不等式【名师点睛】导数的几何意义：曲线 上点 处的切线的斜
25、率是 ，因此切线方程为；用导数研究函数的单调性，必须确定导函数 的正负及 的解，有许多时候，也比较复杂，这时我们又必须确定其正负，因此可对它再求导，即设 ，求导得 ，确定的正负及零点，对于较难的问题可能还要对 再一次求导，确定正负、单调性，零点解题时一定要细心，耐心请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知=曲直线 （ 为参数）与曲线 （ 为参数） ，且曲线 与 交于 两点，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线 的极坐标方程；（）直线 绕点 旋转 后，与曲线 分别交于 两点，求
26、【答案】(1) , ;(2) .【解析】分析：（）根据曲线 和曲线 的参数方程可得其轨迹是圆，从而可得曲线 的极坐标方程；（）由 得 ，设 ， ，分别代入曲线 的极坐标方程，即可求得 和 ，从而可得 详解：（）曲线 是以 为圆心， 为半径的圆，其极坐标方程为 ，曲线 是以 为圆心， 为半径的圆，其极坐标方程为 （）由 得 ，即直线 的斜率为 ，从而 ， .由已知，设 ， .将 代入 ，得 ；同理，将 代入 ，得 .所以， 点睛：本题考查了参数方程化为极坐标方程、极坐标方程的相交问题，意在考查推理能力与计算能力，注意对极坐标的意义的把握. 23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 （）若 ，且 恒成立，求实数的取值范围；（）若 ，求 的最大值【答案】(1) ;(2) .【解析】分析：（）运用绝对值的含义，对 讨论，去掉绝对值符号，求得 ，从而可得实数的取值范围；（）根据柯西不等式即可求得 的最大值详解：（） ，所以， ，只需 ，故实数的取值范围为 （）由柯西不等式， ，当且仅当 即 时，等号成立，故 的最大值为 点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
