1、二次函数与线段和差问题例题精讲：如图抛物线 与 x轴交于 A,B（1,0），与y=ax2+bx+c(a 0y轴交于点 C,直线 经过点 A,C.抛物线的顶点为 D，对称轴为直线 l,y=12x-2（1） 求抛物线解析式。（2） 求顶点 D的坐标与对称轴 l.（3） 设点 E为 x轴上一点，且 AE=CE,求点 E的坐标。（4） 设点 G是 y轴上的一点，是否存在点 G，使得 GD+GB的值最小，若存在，求出 G点坐标，若不存在，说明理由。（5） 在直线 l上是否存在一点 F，使得BCF 的周长最小，若存在，求出点 F的坐标及BCF 周长的最小值，若不存在，说明理由。（6） 在 y轴上是否存在一
2、点 S,使得 SD-SB的值最大，若存在，求出 S点坐标，若不存在，说明理由。（7） 若点 H是抛物线上位于 AC上方的一点，过点 H作 y轴的平行线，交 AC于点 K，设点 H的横坐标为 h,线段 HK=d求 d关于 h的函数关系式求 d的最大值及此时 H点的坐标（8） 设点 P是直线 AC上方抛物线上一点，当 P点与直线 AC距离最大值时，求 P点的坐标，并求出最大距离是多少？1.如图，矩形的边 OA在 轴上，边 OC在 轴上，点 的坐标为(10,8)，沿直线 OD折叠矩形，使点 正好落在 上的处，E 点坐标为(6,8)，抛物线 经过 、 、三点。（1）求此抛物线的解析式。（2）求 AD的
3、长。（3）点 P是抛物线对称轴上的一动点，当PAD 的周长最小时，求点 P的坐标。2.如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴相交于点 A，点 B与412xy点 O关于点 A对称。（1）填空：点 B的坐标是 。（2）过点 的直线 （其中 ）与 轴相交于点 C，过点 C作直线 平行于 轴，P 是直线 上一点，且 PB=PC，求线段 PB的长（用含 k 的式子表示），并判断点 P是否在抛物线上，说明理由。（3）在（2）的条件下，若点 C关于直线 BP的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点 P的坐标。3.如图,抛物线 与 x轴交于 A,B两点,与 y轴交于点 C,点 O为坐标原点,点 D为抛
4、物线的顶点,点 E在抛物线上,点 F在 x轴上,四边形 OCEF为矩形,且 OF=2,EF=3,.(1)写出抛物线对应的函数解析式: AOD 的面积是 (2)连结 CB交 EF于 M,再连结 AM交 OC于 R,求ACR 的周长.(3)设 G(4,-5)在该抛物线上,P 是 y轴上一动点,过点 P作 PH垂直于直线 EF并交于 H,连接 AP,GH,问 AP+PH+HG是否有最小值?如果有,求点 P的坐标;如果没有,请说明理由.4.在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别ACB在 轴、 轴的正半轴上， ， ，D 为边 OB 的中点 若 、 为xy3O4EF边 上的两
5、个动点，且 ，当四边形 的周长最小时，求点 、 的OA2EFEF坐标5.四边形 ABCD 是直角梯形， BCAD ，BAD=90 ， BC 与 y 轴相交于点 M，且 M 是 BC 的中点，A、B、D 三点的坐标分别是 A（ ），B （ ），D（3，0）连接 DM，并把线段1 0， 1 2，DM 沿 DA 方向平移到 ON若抛物线 经过点 D、M、Nyaxbc（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点 P，使得 PA=PC，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线与 x 轴的另一个交点为 E，点 Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点 Q 在什么位置时有| QE-
6、QC|最大？并求出最大值6.已知，如图，二次函数 图象的顶点为 H，与 x 轴23yax(0)a交于 A、B 两点（B 在 A 点右侧），点 H、B 关于直线 对称3:lyx（1）求 A、B 两点坐标，并证明点 A 在直线 上；l（2）求二次函数解析式；（3）过点 B 作直线 BKAH 交直线 于 K 点，M 、N 分别为直线 AH 和直线l上的两个动点，连接 HN、NM、MK，求 HN+NM+MK 和的最小值llyxKHBOA7.如图，已知点 A(-4，8)和点 B(2，n) 在抛物线 上2=yax（1）求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 A
7、Q+QB 最短，求出点 Q 的坐标；（2）平移抛物线 ，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为2=yaB，点 C(-2，0)和点 D(-4，0) 是 x 轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，A C+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 ABCD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由8.如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y=x2+4x 上，且横坐标为 1，点 B与点 A 关于抛物线的对称轴对称，直线 AB 与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点，点 E 的坐标为（1，1）（1
8、）求线段 AB 的长；（2）点 P 为线段 AB 上方抛物线上的任意一点，过点 P 作 AB 的垂线交 AB 于点H，点 F 为 y 轴上一点，当PBE 的面积最大时，求 PH+HF+ FO 的最小值；（3）在（2）中，PH +HF+ FO 取得最小值时，将CFH 绕点 C 顺时针旋转 60后得到CFH ，过点 F作 CF的垂线与直线 AB 交于点 Q，点 R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 S，使以点 D，Q，R，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 S 的坐标，若不存在，请说明理由9.在 RtABC 中，A=90，AC=AB=4， D，E 分别是 AB，AC 的中点若等腰 RtADE 绕点 A 逆时针旋转，得到等腰 RtAD 1E1，设旋转角为（0 180），记直线 BD1与 CE1的交点为 P（1）如图 1，当 =90时，线段 BD1的长等于 ，线段 CE1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图 2，当 =135时，求证：BD 1= CE1，且 BD1CE 1；（3）设 BC 的中点为 M，则线段 PM 的长为 ；点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值为 （直接填写结果）E1 BCED（D1（APE1BCEDD1A
