1、2018-2019 学年必修二第二章训练卷点 、 直 线 、 平 面 之 间 的 位 置 关 系 （ 一 ）注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作
2、答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，异面直线 AB，A 1D1 所成的角等于（ ）A30 B45 C60 D902已知平面 和直线 l，则 内至少有一条直线与 l（ ）A平行 B相交 C垂直 D异面3下列命
3、题中，错误的是（ ）A一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C若直线 l 不平行于平面 ，则在平面 内不存在与 l 平行的直线D如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 4已知 、 是两个平面，直线 ll， ，若以l；l ； 中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（ ）A； B ； C； D；5对于两条不相交的空间直线 a 与 b，必存在平面 ，使得（ ）Aa，b Ba，bCa，b Da ，b6设直线 l平面 ，过平面 外一点 A 与 l， 都成 30角的直线有（ ）A1 条 B2 条 C3 条
4、D4 条7如图，A 是平面 BCD 外一点，E、F、G 分别是 BD、 DC、CA 的中点，设过这三点的平面为 ，则在图中的 6 条直线 AB、AC 、AD 、BC、CD、DB 中，与平面 平行的直线有（ ）A0 条 B1 条 C2 条 D3 条8已知三棱柱 ABCA 1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A 1 在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心 O，则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为（ ）A 13 B 23C 3 D 239等腰 RtABC 中，ABBC 1，M 为 AC 的中点，沿 BM 把它折成二面角，折后 A 与 C 的距离为 1，则二面角 CBMA 的大小为（ ）A3
5、0 B60 C90 D12010如图， ，l， ， ，A，B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB与 ， 所成的角分别是 和 ，AB 在 ， 内的射影长分别是 m 和 n，若 ，则（ ）A mn， B mn，C ， D ，11如图，在三棱柱 ABCA BC中，点 E，F，H ，K 分别为AC，CB，A B，BC 的中点，G 为ABC 的重心，从 K， H，G，B中取一点作为此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 P，使得该三棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为（ ）AK BH CG DB12如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45 ，BAD90
6、，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成四面体 ABCD，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是（ ）A平面 ABD平面 ABC B平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDC D平面 ADC平面 ABC二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）13直线 l 与平面 所成角为 30，l A，m ， ，则 m 与 l 所成角的取值范围是_14如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点，若B 1MN 是直角，则C 1MN 等于_15如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA
7、底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 16如图正方体 ABCDA 1B1C1D1，棱长为 1，P 为 BC 中点，Q 为线段 CC1 上的动点，过 A、P、Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下列命题正确的是_ （写出所有正确命题的编号）当 102CQ时，S 为四边形当 CQ 时，S 为等腰梯形当 CQ 34时，S 与 C1D1 交点 满足 C1R1 3当 Q时，S 为六边形当 CQ1 时，S 的面积为 62三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程
8、或演算步骤）17 （10 分）如图，在三棱锥 PABC 中，D、E、F 分别为棱 PC、AC、AB 的中点，已知 PAAC，PA 6，BC 8，DF5求证：（1）直线 PA面 DEF；（2）平面 BDE平面 ABC18(12 分) 如下图所示，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC3，BC4，AB5，AA 14，点 D 是 AB 的中点（1）求证：ACBC 1；（2）求证：AC 1平面 CDB1；（3）求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧棱 AA1底面ABC，ABAC 2AA 12， BAC120，D，D 1 分别是线
9、段 BC，B 1C1 的中点，P 是线段 AD 上异于端点的点（1）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线 l平面 ADD1A1；（2）设（1）中的直线 l 交 AC 于点 Q，求三棱锥 A1QC 1D 的体积 （锥体体积公式：V 3Sh，其中 S 为底面面积，h 为高）20 （12 分）如下图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，AB4，BC3，AD5，DAB ABC90，E 是 CD 的中点（1）证明：CD平面 PAE；（2）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 PABCD
10、 的体积21 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC 2，BAC60，（1）求三棱锥 PABC 的体积；（2）证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 ACBM，并求 PMC的值22 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，已知AB3，AD 2，PA2，PD 2，PAB 60 （1）求证：AD平面 PAB；（2）求异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值；（3）求二面角 PBDA 的正切值2018-2019 学 年 必 修 二 第 二 章 训 练 卷点 、 直 线 、 平 面 之 间 的 位 置 关 系 （ 一 ）答 案一、选择
11、题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【答案】D【解析】由于 ADA 1D1，则BAD 是异面直线 AB，A 1D1 所成的角，很明显BAD90故选 D2 【答案】C【解析】1直线 l 与平面 斜交时，在平面 内不存在与 l 平行的直线，A 错；2l 时，在 内不存在直线与 l 异面，D 错；3l 时，在 内不存在直线与 l 相交无论哪种情形在平面 内都有无数条直线与 l 垂直故选 C3 【答案】C【解析】直线 l 不平行于平面 ，可能直线 l 在平面 内，此时，在平面 内存在与 l 平行的直线故选 C4 【答案】A【
12、解析】因为 ，所以在 内找到一条直线 m，使 m，又因为 l，所以 lm又因为 l，所以 l，即；因为 l，所以过 l 可作一平面 n，所以 ln，又因为 l，所以 n，又因为 n，所以 ，即故选 A5 【答案】B【解析】因为已知两条不相交的空间直线 a 和 b所以可以在直线 a 上任取一点A，则 b过 A 作直线 cb，则过 a，c 必存在平面 且使得 a，b 6 【答案】B【解析】如图，和 成 30角的直线一定是以 A 为顶点的圆锥的母线所在直线，当ABCACB30且 BCl 时，直线 AC，AB 都满足条件，故选 B7 【答案】C【解析】显然 AB 与平面 相交，且交点是 AB 中点，A
13、B，AC，DB，DC 四条直线均与平面 相交在BCD 中，由已知得 EFBC ，又 EF， BC，BC同理，AD ，在题图中的 6 条直线中，与平面 平行的直线有 2条，故选 C8 【答案】B【解析】由题意知三棱锥 A1ABC 为正四面体，设棱长为 a，则 AB1 3a，棱柱的高 A1O 2223aa 6a（即点 B1 到底面 ABC的距离） ，故 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为 1AOB 3故选 B9 【答案】C【解析】如图，由 ABBC 1，A BC90，知 AC 2M 为 AC 的中点，MCAM 2，且 CMBM，AMBM，CMA 为二面角 CBM A 的平面角AC1，MCMA
14、 2，MC 2MA 2AC 2，CMA90，故选 C10 【答案】D【解析】由勾股定理得 22=anbmAB又 ab， mn由已知得 sin ，sin ，而 ， ，又 ， 0,2，bABsin 故选 D11 【答案】C【解析】应用验证法：选 G 点为 P 时，EFAB且 EFAB，此时恰有 AB和 AB平行于平面 PEF，故选 C12 【答案】D【解析】由平面图形易知BDC90平面 ABD平面 BCD，CDBD ，CD平面 ABD CDAB 又 ABAD，CD ADD，AB平面 ADC又 AB平面 ABC，平面 ADC平面 ABC 故选 D二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共
15、20 分，把正确答案填在题中横线上）13 【答案】30，90【解析】直线 l 与平面 所成的 30的角为 m 与 l 所成角的最小值，当 m 在 内适当旋转就可以得到 lm，即 m 与 l 所成角的最大值为 9014 【答案】90【解析】因为 C1B1平面 ABB1A1，MN平面 ABB1A1，所以 C1B1MN又因为 MNMB 1，MB 1，C 1B1平面 C1MB1，MB 1C1B1B 1，所以 MN平面C1MB1，所以 MNC 1M，所以C 1MN90 15 【答案】DMPC（或 BMPC）【解析】连接 AC，则 BDAC，由 PA底面 ABCD，可知 BDPA，BD 平面 PAC，BD
16、PC 故当 DMPC( 或 BMPC)时，平面 MBD平面 PCD16 【答案】【解析】设截面与 DD1 相交于 T，则 ATPQ，且 AT2PQDT2CQ对于，当 02CQ时，则 01D，所以截面 S 为四边形，且 S 为梯形，所以为真对于，当 CQ 1时，DT 1，T 与 D 重合，截面 S 为四边形 APQD1，所以 APD 1Q，截面为等腰梯形，所以为真对于，当 CQ 34，QC 1 ，DT 32，D 1T ，利用三角形相似解得，C1R1 ，所以为真对于，当 314Q时， 32T，截面 S 与线段 A1D1，D 1C1 相交，所以四边形 S 为五边形，所以为假对于，当 CQ1 时，Q
17、与 C1 重合，截面 S 与线段 A1D1 相交于中点 G，即即为菱形 APC1G，对角线长度为 2和 3，S 的面积为 62，所以为真，综上，选三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）在PAC 中，D、E 分别为 PC、AC 中点，则 PADE ，PA 面 DEF，DE 面 DEF，因此 PA面 DEF（2）DEF 中，DE 12PA3，EF 12BC4，DF 5，DF 2DE 2EF 2，DEEF，又 PAAC，DE AC DE面 ABC，面 BDE面 ABC18 【答案】 （1）见解
18、析；（2）见解析；（3） 25【解析】 （1）证明：在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面三边长 AC3，BC4，AB5，AC BC 又C 1CAC AC 平面 BCC1B1BC 1平面 BCC1B，ACBC 1（2）证明：设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连接 DE，又四边形 BCC1B1 为正方形D 是 AB 的中点， E 是 BC1 的中点，DEAC 1DE平面 CDB1，AC 1 平面 CDB1，AC 1平面 CDB1（3）解：DEAC 1，CED 为 AC1 与 B1C 所成的角在CED 中，ED 2AC1 5，CD 2AB 5，CE 2CB1 ， 5cosCED异面直线 A
19、C1 与 B1C 所成角的余弦值为 2519 【答案】 （1）见解析；（2） 36【解析】 （1）在平面 ABC 内，过点 P 作直线 l 和 BC 平行理由如下：由于直线 l 不在平面 A1BC 内，l BC，故直线 l 与平面 A1BC 平行在ABC 中，AB AC，D 是线段 AC 的中点，ADBC，l AD 又AA 1底面 ABC，AA 1l而 AA1ADA，直线 l平面 ADD1A1（2）过点 D 作 DEAC 于点 E侧棱 AA1底面 ABC，三棱柱 ABCA 1B1C1 为直三棱柱，则易得 DE平面 AA1C1C在 Rt ACD 中， AC2，CAD60，ADAC cos601，
20、DEAD sin60 3SQA 1C1 2A1C1AA1 2211，三棱锥 A1QC 1D 的体积 1113326AQDQsVDE 20 【答案】 （1）见解析；（2） 285【解析】 （1）证明：如下图所示，连接 AC，由 AB4，BC3，ABC 90 ，得 AC5又 AD5，E 是 CD 的中点，所以 CDAEPA平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以 PACD 而 PA，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE（2）过点 B 作 BGCD，分别与 AE，AD 相交于 F，G，连接 PF由（1）CD平面 PAE 知，BG 平面 PAE于是BPF 为直线 PB 与平
21、面 PAE所成的角，且 BGAE 由 PA平面 ABCD 知，PBA 为直线 PB 与平面 ABCD所成的角由题意，知PBABPF，因为 sinPBA， sinBPF ，所以 PABF由DABABC90 ，知 ADBC，又 BGCD，所以四边形 BCDG 是平行四边形，故 GDBC3于是 AG2在 RtBAG 中，AB4，AG 2，BGAF，所以 25ABG， 1685ABGF于是 PABF 85又梯形 ABCD 的面积为 S 12(53)416，所以四棱锥 PABCD 的体积为 V 13SPA 16 85 1221 【答案】 （1） 36；（2）见解析， 【解析】 （1）在ABC 中，AB1
22、，AC 2，BAC60SABC 2ABACsinBAC 12sin60 3又PA面 ABC，PA 是三棱锥 PABC 的高， 113=326ABCPABCVS三 棱 锥（2）过点 B 作 BN 垂直 AC 于点 N，过 N 作 NMPA 交 PC 于 M，则 MN面面 BM面 面 ACBM ，此时 M 即为所找点，在ABN 中，易知 AN 12CP NA32 4 PC1322 【答案】 （1）见解析；（2） 72；（3） 94【解析】 （1）证明：在PAD 中，PA2，AD2，PD 2，PA 2AD 2PD 2，ADPA 在矩形 ABCD 中，AD ABPAABA，AD平面 PAB（2）BCA
23、D，PCB 是异面直线 PC 与 AD 所成的角在PAB 中，由余弦定理得 PB 2cos=7PABAPB由（1）知 AD平面 PAB，PB 平面 PAB，ADPB，BCPB，则PBC 是直角三角形，故 tanPCB C 72异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值为 （3）过点 P 作 PHAB 于点 H，过点 H 作 HEBD 于点 E，连结 PEAD平面 PAB，PH平面 ABCD，AD PH又ADAB A，PH平面 ABCD又PH 平面 PHE，平面 PHE平面 ABCD又平面 PHE平面 ABCDHE ，BDHE，BD 平面 PHE而 PE平面 PHE，BDPE，故PEH 是二面角 PBDA 的平面角由题设可得，PHPA sin60 3，AHPAcos601， BHABAH2，BD 2=1ABD，HE ADBBH 43在 RtPHE 中，tan PEH PHE 9二面角 PBDA 的正切值为 34
