1、2018 届浙江省镇海中学高三上学期期末考试数学试题（解析版）考生须知：1本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；2答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4考试结束后，只需上交答题卷。参考公式：柱体的体积公式：V= Sh，其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：V= Sh，其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.球的表面积公式：S =4R2 ，其中 R 表示球的半径 .球的体积公式：V= R3 ，其中 R 表示球的半径.第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共
2、8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若抛物线的准线方程为 , 则抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题得抛物线的标准方程为 .故选 D.2. 若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且 ，则 等于（ ）A. 11 B. 9 C. 5 D. 3【答案】B考点：双曲线3. 直线 a 与平面 所成角的为 30o，直线 b 在平面 内，且与 b 异面，若直线 a 与直线 b 所成的角为 ，则( )A. 0 30 B. 0 90 C. 30 90 D. 30 180【答案】C【解析】设直线 a 在平面 的
3、射影为直线 c，在平面 内作直线 dc，由三垂线定理可得直线da因为直线 a 与平面 所成的角为 30，所以直线 a 与直线 c 所成的角为 30，等于平面 内的直线与直线 a 所成角的最小值直线 b 在平面 内，当 b 与直线 d 平行或重合时，可得 ab，直线 a 与 b 所成的角为 90，达到最大值；当 b 与直线 c 平行或重合时，可得 a、b 所成的角为 30，达到最小值因此，直线 a 与 b 所成的角为 的取值范围为 30 90 故选 C4. 设 为向量，则“ ”是“ ”( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】
4、先讨论充分性：由 得 所以“ ”是“ ”的充分条件.再讨论必要性：因为 ，所以 ，所以“ ”是“ ”的必要条件.故选 C.5. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ）A. 若 ，且 ，则B. 若 ，且 ，则C. 若 ，且 ，则D. 若 ，且 ，则【答案】A【解析】对于选项 A，可以证明 ，所以选项 A 正确;对于选项 B，画图可知，直线 m 和 n 可能平行，也可能相交，也可能异面，所以选项 B 错误；对于选项 C，可以举反例，不垂直， 满足已知条件，但是 不垂直；对于选项 D， 可能不平行，是相交的关系.故选 A.6. 椭圆 M: 长轴上的两个顶点为 、 ，点 P
5、为椭圆 M 上除 、 外的一个动点，若且 ，则动点 Q 在下列哪种曲线上运动( )A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线【答案】B【解析】设 P（m，n），Q（x，y）椭圆 M 的方程为 ，作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为 A（a，0），B（a，0） =（x+a，y）， =（m+a，n） =0，（x+a）（m+a）+ny=0 ，可得 m+a= 同理根据 =0，可得 ma= ，可得 m2a2= 点 P（m，n）是椭圆 上的动点， ，整理得 n2= （a2m2），代入可得：m 2a2= （a2m2） ，化简得此方程对应的图形是焦点在 y 轴上的椭圆，可得动点 Q 的轨迹是一个椭圆，B
6、项是正确答案故选 B.7. 如图，小于 的二面角 中， ， ，且 为钝角， 是 在 内的射影，则下列结论错误的是（ ）A. 为钝角 B. C. D. 【答案】D【解析】如图,过点 B 作 垂足为 C,过点 A 作 垂足为 D.在直角BCO 中, ,在直角三角形 中，因为是锐角二面角，所以同理 ,因为 故选 D.点睛：本题的关键是证明利用什么方法来判断选项，由于选项判断的是角的大小关系，所以一般要构造直角三角形，再利用三角函数分析解析.8. 已知点 P 在以 为左右焦点的椭圆 上，椭圆内一点 Q 在 的延长线上，满足，若 ，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】
7、满足 QF1QP ，点 Q 与点 F2 重合时，sin F1PQ= ，不妨设|PF 1|=13，则|PF 2|=12可得：e= 因此 e 当点 Q 在最下端时，F 1QF2 最大，此时 F1QF 2Q可得点 Q 在椭圆的内部，当 b=c，e= ，因此 综上可得： 故选 C点睛：本题的关键在于找到点 Q 的临界位置，从而找到它们对应的椭圆的离心率. 所以本题利用了数形结合的思想，它是一种重要的数学思想，在解题过程中注意灵活运用.第卷（非选择题 共 110 分）二、 填空题: 本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分9. 双曲线 的焦距为_，渐近线方程为_【答案】
8、(1). 6 (2). 【解析】由题得 所以焦距 ,故第一个空填 6.由题得渐近线方程为 .故第二个空填 .10. 命题“若实数满足 ，则 ”的逆否命题是_命题（填“真”或者“假”） ；否命题是_命题（填“真”或者“ 假”）【答案】 (1). 假 (2). 真【解析】 ，所以原命题是假命题，由于原命题和逆否命题的真假性是一致的，所以其逆否命题是假命题. 其否命题是“若实数满足 ，则 ”，所以其否命题是真命题. 故填(1). 假 (2). 真.11. 已知 是边长为 1 的正三角形， 平面 ，且 ，则 与平面 所成角的正弦值为_若点 关于直线 的对称点为 ，则直线 与 所成角的余弦值是_【答案】
9、 (1). (2). 【解析】如图，取 AC 中点 O，连接 BO，PO，ABC 是边长为 1 的正三角形， PA平面 ABC,BOAC，BO 平面 APC则 PB 与平面 PAC 所成角是BPO，可得 BO= ，PB=sin BPO= = 如图，建立空间直角坐标系，易得 AD 与 PC 的交点 H 为 PC 中点，A（0，0，0），B（ ， ，0），C（0，1，0），H（0， ， ）=（0， ， ）， =（ ， ，0）cos ，故答案为： (1). (2). 点睛：本题的难点在第二问，直接研究比较困难，利用空间向量来研究问题就简单了很多，所以要注意一点，如果利用几何法比较困难，可以尝试用空间
10、向量来研究.12. 已知 ，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差是 ，则点 M的轨迹 C 的方程是_ 若点 为轨迹 C 的焦点， 是直线 上的一点， 是直线 与轨迹 的一个交点，且 ，则 _【答案】 (1). (2). 【解析】设 M（x，y），A（1， ），B（1， ） ，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差是 ，k AMkBM= ，整理，得点 M 的轨迹 C 的方程是 x2=4y（x1）点 F 为轨迹 C 的焦点， F （0，1），P 是直线 l：y=1 上的一点， Q 是直线 PF 与轨迹 C 的一个交点，且
11、 =3 ，作 QMy 轴于 M 点，作 PNy 轴于 N 点，则 ，MF= ，Q（ ， ），|QF|= 故答案为：(1). (2). 13. 过正四面体 ABCD 的中心且与一组对棱 AB 和 CD 所在直线都成 60角的直线有_条【答案】4【解析】由于正四面体的所有边长都相等，所有三角形的内角都是 60，除了一组对棱 AB 和 CD，剩下的四条棱与 AB 和 CD 所成的角都是 60，所以只要把这四条棱平移到正四面体的中心，所以有四条. 故填4.14. 已知双曲线 上一点 P 到两渐近线的距离分别为 ，若 ，则双曲线的离心率为_【答案】 或【解析】双曲线 的两条渐近线的方程为 bxay=0
12、或 bx+ay=0，点 P（x0，y0）到两条渐近线的距离之积为 ，即 ，又点 P（x0，y0）满足双曲线的方程，b 2x02a2y02=a2b2， ，即 2a2+2b2=5ab，b=2a 或 b= a，则 e= 故填 或 15. 四棱锥 中， 平面 ABCD， ， ，BC/AD，已知 Q 是四边形 ABCD 内部一点，且二面角 的平面角大小为 ，若动点 Q 的轨迹将 ABCD 分成面积为的两部分，则 =_【答案】【解析】以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设 Q 的轨迹与 y 轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b0）由题意可知 A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1）， =
13、（2，0，1）， =（2，b，0）. =（2，0，0）设平面 APD 的法向量为 =（x1，y1，z1） ，平面 PDQ 的法向量为 =（x2，y2，z2）则即 ，令 y1=0 得 =（0，1，0） ，令 z2=2 得 =（1， ，2） 二面角 QPDA 的平面角大小为 ，cos = 即 解得 b= S ADQ = S 梯形 ABCDS ADQ= S 1S 2，S 1= ，S2= S 1：S2=（3 4）：4故答案为（3 4）：4点睛：本题的关键是找到点 Q 的轨迹在四边形 ABCD 内的部分，它就是一条线段 DQ，确定点 Q 在 y 轴上的位置,由于本题的背景比较适宜用坐标系和空间向量来解答
14、. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. 已知从椭圆 上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 又点 A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，点 B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ， （）求椭圆 C 的方程；（）在椭圆 C 中，求以点 为中点的弦 MN 所在的直线方程【答案】 （） ；（ ） .【解析】试题分析: (1)第一问,直接由 得到 ,化简得到一个方程,再结合 对应的方程,得到 a,b,c 的值，即得到椭圆 C 的方程. （2）先利用韦达定理得到斜率 k 的方程，再根据点斜式写出直线的方程.试题解析：（）由题意知： ，故 ，即 ，解得 ，又 ，解得 ， 故椭圆 C 的方程为 ； （）因为点 在椭圆内，且显然直线 MN 的斜率存在， 故设直线 MN 的方程为 ，代入椭圆方程得故 ，解得 ， 故直线 MN 的方程为17. （本小题满分 15 分）如图，三棱柱 中，侧棱 平面 ， 为等腰直角三角形， ，且 ， 分别是 的中点（）求证： 平面 ； 平面 ；（）求直线 与平面 所成角【答案】 （）见解析；（） .【解析】试题分析：（1）第一问，先证明 ，即可证明 平面 ；证明 和 ，即可证明 平面 . (2)第二问，先证明 即为直线 与平面 所成角 再解 ，即可得到直线 与平面 所成角
