1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 83 炼 特殊值法解决二项式展开系数问题一、基础知识：1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式3、常用赋值举例：（1）设 ，012nnnrnnabCabCab 令 ，可得： 02nn令 ，可得： ，即：,11231n（假设 为偶数） ，再结合可得：023nnn nCC 112nn （2）设 012nfxaxax 令 ，则有： ，即展开式系数和121nf 令
2、，则有： ，即常数项0x0f 令 ，设 为偶数，则有：n 0123121nnaaf，3na 即偶次项系数和与奇次项系数和的差由即可求出 和 的值02naa 131n二、典型例题：例 1：已知 ，则 的值为_828013xxx 1357aa思路：观察发现展开式中奇数项对应的 指数幂为奇数，所以考虑令 ，则偶数1,x项相同，奇数项相反，两式相减即可得到 的值1357解：令 可得： 1x80182aa高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -令 可得： 1x801284aa 可得： 357281357a答案： 842例 2：已知 ，则9 2101 12xaxaax的值为（ ）11
3、aaA. B. C. D. 0 252思路：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对 赋予特殊值得到系数的关系式，观察所x求式子特点可令 ，得到 ，只需再求出 即可。令 可得2x0110aa 0a1x，所以0a12答案：B例 3：设 ，则 的值为4234012xaxax220413aa（ ）A. B. C. D. 1661思路：所求 ，220413023401234aaaaa在恒等式中令 可得： ，令 时x024x，所以40123442413 16aa答案：A例 4：若 ，则52345012xxaxax等于（ ）01345aaA. B. C. D. 5 5252思路：虽然 展开式的系数有正有负，
4、但 与 对应系数的绝对值相52x53x高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -同，且 均为正数。所以只需计算 展开的系数和即可。令 ，可得系数523x523x1x和为 ，所以5012345aa答案：A例 5：若 ，则2014 20141xxx_0102024aaa思路：所求表达式可变形为： ，从而只需求出 和系数和即0120143a 0a可。令 可得： ，令 可得： ，所以x01x024213aa答案：2014例 6：若 ，且 ，则26200nCN201n nxaxax等于（ ）0121naaA. B. C. D. 874379思路：由 可得 或 ，解得 ，所求表2620
5、0n62620n4n达式只需令 ，可得1x441118aa答案：A例 7：若 ，则 2013220131xxR（ ）2320311aaA. B. C. D. 0 1402614026思路：所求表达式中的项呈现 2 的指数幂递增的特点，与恒等式联系可发现令 ，可得：x，令 可得： ，所以 ，所201301a 0x01a220131aa以所求表达式变形为： ，而 ，所以12a120346xCxx，从而表达式的值为14026a406高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -答案：D例 8：已知 ，若20111nnxxaxa ，则 的值为（ ）129naaA. B. C. D. 3
6、456思路：在恒等式中令 可得系数和 ，与条1x 20121nnaa 件联系可考虑先求出 ，令 ，可得 ，展开式中 为最高次项系数，所以0,nan， ，所以 ，即1na122n 1229n，解得234答案：B例 9：若 ，则5234501xaxaxax的值是（ ）012345aA. B. C. D. 223思路：观察所求式子中 项的系数刚好与二项展开式中 所在项的次数一致，可联想到幂函iaia数求导： ，从而设 ，恒等式两边求导再令 可解得1nx53fx1x的值，再在原恒等式中令 计算出 即可12345a0x0解：设 234501fxaxaa4 23455x令 可得：1x1345而在 中，令
7、可得：52023axaxax050324a012345a答案：D例 10：若等式 对于一切实数 都成立，则2014220141xaxax x（ ）01220435a高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -A. B. C. D. 1403120520150思路：从所求表达式项的系数与展开式对应项联系起来可联想到在恒等式中两边同取不定积分。例如： ，再利用赋值法令 23 1112,nnaxaxaxax即可得到所求表达式的值x解： ，两边同取不定积分可得：2014220141xx5 32015012443xCaaax令 可得： 1 20143令 可得： 0x040312215aa答案：B小 炼 有 话 说 ：（1）本题可与例 9 作一个对照，都是对二项展开的恒等式进行等价变换。是求导还是取不定积分是由所求表达式项的系数与展开式系数对照所确定的。（2）在取不定积分时，本题有两个细节，一个是寻找 的原函数，要注意其2014yx原函数求导时涉及复合函数求导，所以系数要进行调整。此类问题多是先猜函数的原型，再通过对所猜函数求导后与已知比较，调整系数；第二个是在求原函数时，要注意添加常数“C”，再利用赋值法求出 的值即可C
