1、1二项式系数增减性的拓广及应用（完善）杨亢尔 （浙江省奉化中学 315500）1问题的提出人教版全日制普通高级中学教科书（试验修订本必修）数学第二册（下 A）第 109页，结合“杨辉三角” ，对 展开式的二项式系数的增减性和最大值，有如下阐述：nyx)(因为 kCkn)!1()2，kn1所以 相对于 的增减情况由 决定。由knkk211nkkn可知，当 时，二项式系数是逐渐增大的。由对称性知它的后半部分是逐渐2减小的，且在中间取得最大值。当 是偶数时，中间的一项 取得最大值；当 是n2nCn奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得最大值。21nC而对于 展开式的系数，其增减性和最大值则没有提及
2、，许多教学参考byax)(书采用“两边夹”的方法求二项展开式的系数最大值，请看下例：例 1求 展开式中系数最大的项。10)23(解：设展开式第 项 的系数 为最大，则r1rT1rt由 ，可得 ， 21rt1910103232rrrrC解得 ， ， ，57N4展开式中系数最大的项为第 项 。466105 90)(yxyxT注：此法只对 的类型（3）适用，的递增，的递减不适用。nbyax)(2以上解法常见于各种书刊，其依据是默认二项展开式各项系数先增后减，我们不禁要问：对于 ，其展开式第 项 的系数 的增减nbyax)(1rrTrnrrbaCt1性真的与二项式系数 的增减性相仿而不受 、 制约而变
3、化吗？会否出现展rnCnab开式各项系数先减后增或多次增减及其他情况？若存在系数最大的项，这样的项是否一定唯一？下面我们就来探讨这些问题。2系数增减性的研究为方便起见，我们先约定 ， ，记 展开式的第 项系数0abnbyax)(1r为 ，则1rt abrnanrrnrbaCtrnr !)1()!(11（1） ，bratr )(1特别地，若 即 则 时对一切 恒成立，此nba)1(bnnr1时 单调递增。rt（2） ，banrartr )(11特别地，若 即 则 时对一切 恒成立，此)(banbnr1时 单调递减。rt（3） 当 （即 ）时，n1an且 ，nbba)1(应用（1）、（2）有 ，
4、，rtr1 rtab1)(此时，二项展开式系数先增后减，并且若 ，令 ，则第 项系数最大；*)(Nban)(bankk3若 ，令 ，则第 项，第 项系数最大且相等。*)1(Nbanbank)1(k1特别地，当 时，上述结论与二项式系数性质一致。因此，上述性质可看作0二项式系数增减性的拓广。综上所述，当 时，, 二项展开式系数 单调递增；abnrt 二项展开式系数 单调递减；r （即 ） 二项展开式系数 先增后减，并且n1abn且 rt若 ，令 ，则第 项系数最大；*)(Nba)1(k1k若 ，令 ，则第 项，第 项系数最大且相等。b对于 展开式 ， 系数的增减性，只须先考虑展开式各项系数的ny
5、x)(0a绝对值的增减性，再结合奇数项系数为正，偶数项系数为负的特征加以确定。小注： 同时 也成立，则 n1 必为分数，不是我们讨论的。所以不用担心abn的结论同时成立， 既增且减。rt记 M= ， 、 成立且只成立其一（此时 ， 一大一小）时，),(mxbanbab有 nM，进而转化为或的情形。综上，n 的所有相关情况皆讨论完毕。3应用举例例 1 求 展开式中系数最大的项。6)7(yx解 令 ，则 ，所以 展开式系数单调递减，,1nbaba6)7(yx系数最大的项为第 1 项 。060149)7(yxCT例 2求 展开式中系数最大的项和系数最小的项。)3(yx解 先考虑 展开式系数的增减性，
6、令 ，102 10,23nba4由于 ，且 ，令 ，nab1*52)1(Nb4)1(bank知 展开式中系数最大的项为第 项，又 展开式中第 项的系数为0)23(yx 023yx5正，所以 展开式中系数最大的项为 。1 4659T又因为 展开式各项系数的绝对值先增后减，且系数最大的项为第 项，考虑0)(yx到展开式偶数项系数为负，因此系数最小的项只能是第 4 项或第 6 项，比较这两项系数可知 展开式中系数最小的项为 。10)23( 37373104 2095)(yxyxCT例 3某次英语测验有 50 题选择题，每题有 4 个选项可供选择，其中有且只有一个选项是正确的。现让一个不懂英语的人每题任选一个选项填入，答对几题的概率最大？解 该人答对 题的概率为 ，要求 最大时 的值，k kkkP505050)()( )(50kP只须求二项展开式 系数最大时 的值，由于 ，满足)41(yx ,41,3nba，且 ，令 ，知该人答对 12 题的概率nab1*Nb2)1(nk为最大。在此我们顺便指出：如果随机变量 服从二项分布，即 ，其中 ，),(pnB10p讨论当 由 增加到 时， 的变化情况，以及 取什么值时， 取最大k0n)(kPk)kP值，可由上述结论求得。
