1、二项式系数的性质及应用对于 nN ,(a+b)n= an+ an-1b+ an-rbr+ abn-1+ bn. 右边二项展开式中的0C1nC1-nC(r=0,1,2,n)叫做二项式系数,有如下性质：rnC(1) 对称性:在二项展开式中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 = ,0n, = ，r=0,1,2, ,n.1nrnCr(2) 增减性与最大值: 二项式系数 ,当 k 时二项式rn21n 21n系数是递减的，若 n 为偶数，则中间一项的二项式系数 最大，若 n 为奇数，则中间2Cn两项的二项式系数 ， 最大。21C21n(3)所有二项式系数的和为 2n，即 + + + =2n。0n2(
2、4)奇数项的系数和等于偶数项的系数和且等于 2n-1，即 + + += +0Cn4n1n=2n-1.53nC在解题时要注意二项式展开式中某项的系数不同于该项的二项式系数，下面看其应用。一、二项展开式的系数问题举例 1. 若(1-2x) 2012=a0+a1x+a2x2+a2012x2012(xR), 求(a 0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+ ( a0+a2012)=_（用数字作答） 。分析:求系数和有关问题时，常采用赋值法。解:令 x=0 得 a0=1，原式=2012a 0+(a1+a2+a3+a2012)=2011a0+(a0+a1+a2+a3+a2012)，再令x=1 得 a0
3、+a1+a2+a3+a2012=1，所以(a 0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+ ( a0+a2012)=2012.评注:对于二项式系数问题首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段，在运用时要仔细观察式子特点，寻找 x 赋何值时(-1，1，0 或其它值)可使已知所得等式更接近所求。二、求展开式中二项式系数最大项与系数最大项问题举例 2.若(1+2x) n的展开式中二项式系数的和为 256，求展开式中二项式系数最大的项与展开式中系数最大的项。分析:求二项式系数最大的项，必须先求指数 n 的值，而要求展开式中系数最大的项还需要确定 r 的值。
4、解:(1)由题意知二项式系数的和为 2n=256 得 n=8，故展开式中二项式系数最大的项为 T5=C(2x)4=1120 x4,(2)若 Tr+1 项的系数最大则 r=5 或 6,故展8 ,652C1881rrr 开式中系数最大的项为 T6= C (2x)5=1792 x5，T 7= C (2x)6=1792 x6.8评注:求二项式的展开式中二项式系数最大的项，由条件确定 n 之后，一般应用系数性质2，若求系数最大的项，一般是用比较法，记系数分别为 Pr，P r+1，P r+2 则有则 Pr+1 最大，求解出 r.12Prr三、求与等差数列有关的组合数的和举例 3 设 a0，a 1，a 2，
5、a n 成等差数列，求证: a 0+ a1 + a2 + an =( a0+ an)2n-1.nC分析:由等差数列性质、组合数性质结合数列求和的倒序相加法可证明该题。证明: 等差数列性质知:若 m+n=p+q,则 am+ an=ap+ aq,又 = ， Sn=a0+ a1 + rnrnCa2 + an , Sn= an + an-1 +a1 +a0. 2Sn=( a0+ an) + ( a1+ an-1) + ( a2+ CC-nan-2) +( an+ a0) = ( a0+ an)( + + + )=( a0+ an)2n, a0+ a1 + a2 + an =( 1n2nCnCa0+ a
6、n)2n-1.评注:此题证法与推导等差数列求和公式类似，此题可拆项求解: ak =( a0+kd) = a0 + nknnd , 左边= a0( + + + )+nd（ + ）= a02n+nd2n-1=2n-1knCn12nn01n1-1(2a0+kd)= ( a0+ an)2n-1.四、组合恒等式的证明举例 4 求证:（ ） 2+（ ） 2+（ ） 2+（ ） 2= 。n1nCnnC!分析:观察等式的特点 = ，想到构造等式(1+x) n(1+x)n=(1+x)2n.利用同一项系数相等进!2行证明。证明:由(1+x) 2n=(1+x)n(1+x)n=( + x+ x2+ xn) ( + x
7、+ x2+ xn)。由01n01nC于 xn 的系数是第一个因式中 xr 的系数与第二个因式中 xn-r 的系数乘积和。即 +0n1n1-nC+ + =（ ） 2+（ ） 2+（ ） 2+（ ） 2( = ,r=0,1,2, 2-n0Cn1nnCnrCrn,n)而在(1+x) 2n 的展开式中 xn 的系数为 = 因此原恒等式成立。2!评注:对与组合数有关的等式的证明常构造等式，利用两边某一项的系数证明。在证明中，首先对等式认真观察分析，充分利用展开式系数的特点，合理构造。五、综合运用举例 已知函数 f(x)=(1-x)2n(xR,nN +)(1)设集合 M 是以 f(x)展开式中所有二项式系
8、数为元素构成的一个集合，试求 M 中元素之和 An(要求化简结果)，(2)设 F(x)= f(x)+f(-x),当 x-1,1 时，求 F(x)的最大值。分析: (1)由集合元素的互异性和组合数性质易求解 An；(2) 展开化简放缩最后运用二项式系数求解。解析:由组合数性质 = , ,及元素互异性知 M= ， ， ，0Cn1n 02Cn12nn2C记 An= + + + ,又 + + + + ，即012nn2012nCn2n21An+An- =4n.A n= (4n+ ).(2) )F(x)=2( + x2+ x4+ x2n)2( + +221 02nnnC202n+ )=4n.(|x|=1 时取等号)所以 M 中元素之和为 (4n+ )，F(x)的最大值为 4n.4nC21评注:本题主要考查二项式系数性质，集合元素特征等知识，若忽示互异性，易得错误结论An=4n，本题综合考查了运用知识解决问题的能力。湖南省武陵源一中 高飞 邮编：427400 电话：13170446290
