1、专题9 解密二项式系数和及二项式展开项的系数和一、单选题1（2020辽宁省高三期末）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为A12B16C20D24【答案】A【解析】由题意得x3的系数为，故选A2（2020湖北省高三）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小项的系数为（ ）A-126B-70C-56D-28【答案】C【解析】只有第5项的二项式系数最大，的展开式的通项为，展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的展开式系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的展开式系数互为相反数.而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式第4项和第6项的系数相等且最小，系数为.故选
2、：C3（2020湖北省华中师大一附中高三月考）设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则( )A5B6C7D8【答案】B【解析】为正整数，由展开式的二项式系数的最大值为，以及二项式系数的性质可得，同理，由展开式的二项式系数的最大值为，可得再由，可得，即，即，即，解得，故选：4（2020山东省高三月考）若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A210B180C160D175【答案】B【解析】展开式中只有第六项的二项式系数最大，展开式中共有11项，n10；展开式的通项公式为令，得，常数项是，故选B5（2020四川省石室中学高三月考）若多
3、项式，则（ ）A9B10C-9D-10【答案】D【解析】， ，根据已知条件得 的系数为0， 的系数为1 故选D.6（2020北京高三）的展开式中，的系数是( )A160B80C50D10【答案】B【解析】依题的展开式的通项为:，当时，此时，所以的展开式中，的系数是.故选：B7（2020河南省高三月考）展开式中的系数为（ ）A10B24C32D56【答案】D【解析】，展开式中含的项为，展开式中含的项，故的系数为.故选：D.8（2020广东省执信中学高三月考）若的展开式中常数项等于，则（ ）ABCD【答案】C【解析】的展开式中的通项公式为，令得，可得常数项为，得，故选：C9（2020深圳市南山区华
4、侨城中学高三月考）已知展开式中的系数小于90，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为展开式为要想得到展开式中的项，只能是，和当时，二项式的展开通项要想得到项，只能，此时的系数为当时，二项式的展开通项要想得到项，只能，此时的系数为当时，二项式的展开通项要想得到项，只能，此时的系数为所以展开式中的系数为所以，解得,故选B.二、填空题10（2020河南省高三月考）在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_.【答案】112【解析】的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，通项公式为，令，求得，可得二项展开式常数项等于，故答案为11211（2020陕西省
5、高三）从的展开式各项中随机选两项,则这两项均是有理项的概率为_.【答案】【解析】 的展开式的通项公式为 Tr+1=(1)r，r=0，1，2，3，4，5，6，7，8.故当r=0，3，6 时，该项为有理项，故有理项共有3项，展开式共有9项.各项中随机选两项，则这两项均是有理项的概率为，故答案为：.12（2020辽宁省高三月考）在的展开式中，含项的系数是_，各项系数和是_【答案】 0 【解析】在的展开式中，当时，含项的系数是：，在的展开式中，各项系数和是故答案为：13（2020广东省深圳外国语学校高三月考）的展开式中的常数项为_（用数字作答）【答案】180【解析】的展开式中的通项公式 ，而分别令，解
6、得，或的展开式中的常数项故答案为：18014（2020安徽省六安一中高三月考）多项式的展开式中，含项的系数为_.【答案】420【解析】多项式的通项为由题意可知，且若求项的系数，则需求二项式中含项二项式的通项为：由题意可知，且令即若使得且，且成立则，则所求系数为.故答案为：15（2020山西省高三月考）若在的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中有理项的个数为_.【答案】4【解析】因为的展开式中二项式系数的和为128，所以，即，所以的展开式的通项为，当时，为自然数，所以有理项的个数为4.故答案为：416（2020河南省南阳中学高三月考）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则_.【答案】12【解析】由题意可知展开式的二项式系数为，当时，取得最大值展开式的系数为，当满足时，系数最大.即，即解得又时，系数的最大值为，则，故答案为：12
