1、70 第 7 讲目标班教师版满分晋级新课标剖析当前形势 不等式在近五年北京卷（理）考查 510 分要求层次内容A B C具体要求均值不等式 理解并运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题高考要求均值不等式构造和应用 理解并会构造基本不等式的形式，利用均值不等式证明一些结论，解决与实际生活相关的问题2009 年 2010 年（新课标） 2012 年（新课标） 2013 年（新课标）北京高考解读 第 13 题 5 分 第 1 题 5 分第 7 题 5 分 第 14 题 5 分 第 8 题 5 分第 7 讲 均值不等式三大难点突破不等式 2 级常见不等式通用解法不等式 4 级不等式证明不等式 3 级
2、均值不等式三大难点突破知识切片寒假知识回顾在寒假预习课中，对于均值不等式我们只是介绍了 （ ） ，已知和为2ab 0,定值，求积的最大值；已知积为定值，求和的最小值的简单题型在这里简单回顾一下1、 已知 ， ，且满足 ，则 的最大值为 xyR134xyx【解析】 32、 已知 ， ，且 ，则 的最小值为 0a b 2ab2ab【解析】 23、 已知 ，则 的最小值为_1x12x【解析】 27.1 利用均值定理求最值考点 1：均值不等式的直接运用知识点睛72 第 7 讲目标班教师版1均值定理：如果 ， （ 表示正实数） ，那么 ，当且仅当 时，有等号成abR2ab ab立此结论又称均值不等式或基
3、本不等式2均值不等式推广： ，其中 需要前提条件 2ab 2ab ,abR叫 做 ， 的 算 术 平 均 值 ， 叫 做 ， 的 几 何 平 均 值 ， 叫做平方平均值abab23可以认为基本元素为 ， ， ；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最值ab2关于上述三个基本元素的引入， ， 可由等周问题引入：周长一定的矩形什么时候面积最大，面积一定的矩形什么时候周长最小 可由一下情形引入：斜边长度固定2ab为 的直角三角形，什么时候周长最大，什么时候面积最大2ab在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几个条件：一正：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进
4、行转化，再运用均值不等式；实际过程中，两项全是负的其实也可以用均值，提出一个负号即可所以说“一正”这个条件可以扩展为“ 同号”二定：函数式中含变量的各项的和或积或平方和必须是定值；特殊情况下，至少要求各项的和、积、平方和是一个可化简的定式三相等：只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值需要注意，只要满足条件，即使等号不成立，不等号也是一定成立的这种均值的应用常用于不等式放缩经典精讲【例 1】 已知 ，则 的最大值为_01x0x 已知 ，则 的最大值是_41y 下列函数中，最小值为 的函数是_ ； ； ；4yxex334l
5、oglyx ； sin02 tan02x （目标班专用） （2012 年上海春）已知等差数列 的首项及公差均为正数，na令 （ ， ） ，当 是数列 的最大项时， 201nnbaN21kbnk【解析】 ；25 4 106【备选】 （2013 山东 12）设正实数 ， ， 满足 则当 取得最大值时，xyz22340xyzxyz21xyz的最大值为（ ）A B C D01943【解析】 B考点 2：求两个正数和的最小值知识点睛1利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数通常要通过添加常数、凑分母等方式进行构造2对于分子分母的最高次数为平方关系的分式函数 ，可以经过适当的变
6、形，把含有 的部分最fx x终化为 的形式，进而利用均值不等式处理函数的最值agxb事实上，处理此类问题的实质是去寻找定值，把给定的式子整理为可以找出其乘积为定值的形式，进而处理原式子的最值求分式函数的最值在以后的解析几何中会比较常出现经典精讲【铺垫】 求函数 的最小值，并求出取得最小值时的 值241yx x【解析】时取到等号 的最小值为 1x3【例 2】 已知 ，求函数 的最小值521xy 求函数 的最大值240fx （目标班专用）求 的最大值264xy【解析】 ；974 第 7 讲目标班教师版 最大值为 24 的最大值为 y3【备选】已知 ， ，求 的最小值abc0abc， ， 2abc【
7、解析】 ；23考点 3：求两个正数积的最大值知识点睛利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，调整系数，使其和为常数通常要通过乘以或除以常数、平方等方式进行构造此类题型中一般用到不等式 的形式，其中 为定值若 为定值，2ab abab通过调整系数，可以得到 （ ）的形式211 R，经典精讲【例 3】 若 ，则代数式 的最大值为_275x3275xx 设 ， ，则 的最大值为_0y ， 21y2y 已知 ，则 的最大值为 _23ab2()()ab【解析】 160 4 176考点 4：由已知条件求最值知识点睛（以下 为正常数， ）abcde， ， ， ， 0xy，已知 ，求 的最小值；
8、或者已知 ，求 的最小值axbycdexydecxyaxby对于上面两类问题，我们都可以采用求 的最小值即可ab比如：设 ， 若 ，则 的最小值为_答案：0ab1 2误解： ， ，求 的最小值xy， 125xyxy ， 的最小值为 24 xy425此种类型的题是均值不等式的简单应用，思想是将代数式化齐次此类题型我们可以通过调整定值式子的次数之后，使得正的次数与负的次数之和为 ，之后把待求式乘以调整之0后的已知式子，进而转化为齐次的式子，转为齐次的式子一般剩下的都是形如 和 的xy式子，之后直接利用均值不等式求最值比如：已知 ，则 的最小值是 230xyy， xy因为 为二次的式子，已知的定值为
9、负一次的式子，x从而我们需要把已知的定值转化为负二次的，平方即可 ，223491491236124yxxyxxy当且仅当 时，等号成立，此时 ， 49yy经典精讲【例 4】 （目标班专用 ）已知 且 ，则 的最小值是_0xy， ， 19xyxy （2010 宣武一模理 13）若 为 的三个内角，则 的最小值为 ABC， ， 41ABC【解析】 16； ；9【备选】已知 为正常数， ， ，求证： ；利用此结论求函数,abab,0,xy22abxyx的最小值291,0,12fxx【解析】 由于 ， ， ， 均为正实数，aby76 第 7 讲目标班教师版而 ， 2 2 2222abaybxaybxx
10、y所以 当且仅当 ，即 时等号成立2 xyxy，223935111fxx当且仅当 ，即 时等号成立即当 时，函数 取最小值 51xfx25【考点 5：转化定值的形式题目中给出的条件不是两个数的和或者积为定值，而是别的形式，需要用均值不等式将已知条件转化为求解关于目标式的不等式，由不等式的解来确定要求的最值主要思想是将和 通过均值不等式统一为 或 的不等式abab经典精讲【例 5】 （目标班专用） （2010 重庆）已知 ， ， ，则 的最小值0xy28xy2xy是（ ）A B C D349212 （2010 浙江文 15）若正实数 满足 ，则 的最小值是_,xy6yxy （2011 浙江理 1
11、6）设 为实数，若 ，则 的最大值是, 24_【解析】 B 18 205【备选】已知单位向量 与 的夹角为 ，单位向量 （ ， ） ，则OAB23OPxAyB0xy的最大值为_xy【解析】 2以下例题涉及到多次使用均值不等式，北京目前不考，作为选讲内容，老师可以针对不同班次选择部分讲解1、 设 ，则 的最小值是_0ab21ab【解析】 42、 设 ，则 的最小值是_0ab21ab【解析】 43、 （2010 四川理 12）设 ，则 的最小值是（ ）0abc2 21105()aacbA B C D2455【解析】 B7.2 利 用 均 值 定 理 证 明 不 等 式北京对于利用均值证明不等式的题
12、型考察比较浅，经常需要分组，分类考虑比较常见利用 ，和 这两种情形，本版块仅安排一道例题2ab 2ab经典精讲【例 6】 已知 是互不相等的正数，求证： abc、 222()()()6abcacbac 已知： ，求证： R， ， bc【解析】 是互不相等的正数， c、 22()c同理可得： 2()()baca、三个同向不等式相加，得 222()6bcab ， ，即 ，cR， ， aa c同理： ，2,2bcb 三个同向不等式相加得 ， ()bcac bacbc【备选】若 ，且 ，求证： abcR、 1bc118abc78 第 7 讲目标班教师版【解析】 不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是
13、左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“ ”连2乘而来，而 12abca ，又 ， ， ，a00c ，即 同理 ， ，2bc 12ba 12ab 12abc ，当且仅当 时，等号成立18ac 3ac（注：证明不等式可以不说明等号取到的条件）7.3 均值不等式应用题此类题型北京高考不会考，但学校学习必修 5 的时候，学校的模块测试中基本上都会出现，重点在于如何建立函数关系式，确定自变量取值范围，剩下的工作才是均值不等式的，整理函数之后利用均值不等式求最值即可本版块安排了一道例题，老师讲解的时候可以重点强调一下如何通过实际情况去建立数学模型，进而得到函数关系式进行求解经典精讲【例 7】 如图，某小
14、区准备在一直角围墙 内的空地上植造一块 “绿地 ”，ABCABD其中 长为定值 ， 长可根据需要进行调节（ 足够长） 现规划在ABaD的内接正方形 内种花，其余地方种草，且把种草的面积 与种D BEFG1S花的面积 的比值 称为“草花比 ”2S12y 设 ，将 表示成 的函数关系式；y 当 为多长时， 有最小值？最小值是多少？BE【解析】 212tan1Sy 当 时， 有最小值为 y【备选】 如图，设矩形 的周长为 ，将矩形 沿对角线 对折， 折过后ABCD24ABCDAB BPD CBADCGFEBA交 于点 ，若 的长在变化，求三角形 的面积的最大值，以及取得最大值时相应DCPABADP的
15、 的值AB【解析】 S 618210872当且仅当 时取等号a已知直角三角形的周长 （定值） 问：直角三角形满足什么条件时，可使其面积最大？l【解析】 设直角三角形的三边分别为 ，其中 为斜边，则,abc法 1：， ，22abcabcl面积为 2 22 211444ablclc而 ， ， ，于是 2 cl 2l 1l因此面积的最大值为 ，当且仅当 ，也即直角三角形为等22213144lllab腰直角三角形时，取得最大值法 2： ，ab 2ab l因此 ，即 22l 23abl实战演练【演练 1】 若 、 且 ，则 的最大值是_xyR41xyx 比较大小：已知 ，则 _ abc()abc2ac【
16、解析】 16 【演练 2】已知 且 ，则 的最小值是_0xy， ， 12xyxy80 第 7 讲目标班教师版【解析】 ；2【演练 3】 若 ，则 的最小值是_ 0x423x 的最小值是_421y【解析】 ；3 ；【演练 4】 若 ， ，且 ，求 的最大值及此时 ， 的值abR213ba2abab 设 ， ，且 ，那么 的最小值为 _12xyxyxy【解析】 ， 有最大值 631ab2b3 2【演练 5】已知 ，求证： ac14abca【解析】 法一（换元法） ， ，b00， ，设 ，axcy，则 ，原不等式转化为： ，即证： ，14xy 1()4xy ，故原不等式成立1()2xyxy法二： ，
17、 ，abc00abca， ， ，11()()bc122()4()abcabc 4abca注：求最值时，一般都尽量避免用两次均值，以防等号不能同时取到，对本题的情况一般都会先展开再用一次均值但在证明不等式时，对等号是否取到没有要求，故可以直接用两次均值不等式得到结论【演练 6】某村计划建造一个室内面积为 的矩形蔬菜温室在温室内，沿左右两侧与后侧内墙280m各保留 宽的通道，沿前侧内墙保留 宽的空地当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜1m3的种植面积最大最大种植面积是多少？【解析】 当且仅当 ，即 ， 时，取到等号，此时种植面积最大，为 2ab4()()b 2648m大千世界（第二十一届希望杯全国数学邀请赛高二第 2 试 16）已知 ，且 ，则 的最小值是_abR， 2ab2ba【解析】 ；由于 ，则2 22221babb由由均值不等式知 ，22ab则 222 2baabb 且仅当 ，同时取到等号所以 的最小值是 22ba2
