1、64 第 12 讲尖子班教师版满分晋级新课标剖析当前形势 圆的方程在近五年北京卷（理）考查 514 分要求层次内容A B C具体要求圆的标准方程与一般方程 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程直线与圆的位置关系 掌握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程、弦长等有关直线与圆的问题高考要求两圆的位置关系 掌握圆与圆的位置关系，会求圆的公共弦方程2008 年 2009 年 2012 年（新课标）北京高考解读 第 7 题 5 分 第 19 题 14 分 第 2 题 5 分第 12 讲解析几何 1级直线方程六大考点解析几何 2级圆的初步解析几何 3级椭圆初步圆的初步知识切片【教师备案】因为直
2、线方程建议讲了 4 小时，所以本讲建议讲 2 小时12.1 圆的方程考点 1：圆的标准方程知识点睛1. 圆的标准方程以点 为圆心， 为半径的圆的方程：()Cab， r22()()xaybr圆心在原点的圆的标准方程： 22xyr【教师备案】我们知道，平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径现在我们来求以 为圆心，C，为半径的圆的方程设 是 上的rMxy， A任意一点点 在 上的条件是 也就是说，如果点MCAr在 上，则 ，反之，如果 ，则点 在A上由两点间的距离公式，所说条件可转化为方程表示：C22xaybr两边平方，得 显然， 上任意一2xyr CA点 的坐标 适
3、合方程 ；如果平面上一点 的坐标M， M适合方程，可得 ，则点 在 上因此方xy， CM程是以点 为圆心， 为半径的圆的方程，叫做圆的标ab， r MCO y x P(x, y)rO y x 66 第 12 讲尖子班教师版准方程特别地，如果圆心在坐标原点，这时 ，圆的标准方程就是0ab，22xyr圆的标准方程 圆心 ，半径为 ，它体现了圆的几何性22xaybr， r质，圆的标准方程直接给出了圆的圆心坐标和半径长，突出了确定一个圆的基本要素，因此，有利于画出图形圆的标准方程中共有三个待定系数 ，只要确定出这三个量的值，圆的方程即abr， ，被确定因此确定圆的方程需要三个独立的条件，其中圆心是圆的
4、定位条件，半径是圆的定形条件方程 ：22xaybt当 时，表示圆心为 ，半径为 的圆；0tCab， t当 时，表示一个点 ；，当 时，不表示任何图形t2. 点与圆的位置关系圆的标准方程 ，圆心 ，半径 ，22xaybrAab， r若点 在圆上，则 ；0My， 200xayr若点 在圆外，则 ；， 2若点 在圆内，则 ；反之，也成立0x， 200b【教师备案】判断点与圆的位置的方法是由两点间的距离公式，求出该点到圆心的距离，再与圆的半径比较大小即可例：写出圆心为 ，半径长等于 的圆的标准方程，并判断点 ， 是23A， 5157M， 251，否在这个圆上，若不在这个圆上，是在圆内还是在圆外？【解析
5、】 圆心为 ，半径长等于 的圆的标准方程是 把 的， 223xy17，坐标代入上述方程中，有 ，即点 的坐标适合圆的方程，可知点2257351在这个圆上；把 的坐标代入上述方程中，有1M21，可知点 不在这个圆上，而在这个圆内251342M3. 确定圆的方法要求出圆的标准方程必须求出圆心和半径确定圆的标准方程的主要方法是待定系数法，即列出的方程组，一般步骤为：abr， ，根据题意，设所求的圆的标准方程 ；22xaybr根据已知条件，建立关于 的方程组；abr， ，解方程组，求出 的值，并把它们代入所设的圆的方程中，就得到所求圆的方程abr， ，【教师备案】特殊位置的圆的方程条件 方程形式过原点
6、 22220xaybab圆心在 轴上x r圆心在 轴上y 222圆心在 轴上且过原点 0xaya圆心在 轴上且过原点 22b与 轴相切x与 轴相切y 220xaya与两坐标轴都相切 bb经典精讲【例 1】 圆的标准方程写出下列各圆的方程经过点 ，圆心为 ；63， 2，经过点 ， ，且以线段 为直径45A， 61B， AB【解析】 所求圆的方程为 224xy 所求圆的方程为 22139【备选】求以两直线 ， 的交点为圆心，且与 轴相切的圆的标准方程1:5lxy2:4lxyx【解析】 所求圆的标准方程为 2考点 2：圆的一般方程知识点睛1 圆的一般方程， （ ）20xyDEF240DEF说明： 和
7、 项的系数相等且都不为零；2没有 这样的二次项x表示以 为圆心， 为半径的圆,221例：二元二次方程 是否表示圆2340xyx【解析】 和 的系数不相等， 方程不表示圆268 第 12 讲尖子班教师版【教师备案】将圆的标准方程 展开，得 ，22xaybr2220xyaxbyr由此可见，圆的方程具有如下形式： 0DEF，其中 为常数DEF， ，那么，形如 的方程是否都表示圆呢？将方程 配方，得 ，20xy22214xyDEF与圆的标准方程比较，可知：当 时，方程 表示以 为圆心， 为半径24DEF2DE， 2的圆；当 时，方程 只有一个解，表示一个点 ；202DE，当 时，方程 无实数解，它不表
8、示任何图形4EF例：若 表示一个圆的方程，则 的取值范围是（ ）2xymmA B C D112 122【解析】2 如何选用圆的方程圆的方程有标准方程和一般方程，求哪一种都需要三个独立条件，都要用到待定系数法，但要灵活选用圆的方程的形式，以便简化计算一般来说如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 ；abr， ，如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数 DEF， ，例：求经过两点 、 且圆心在 轴上的圆的方程；14A， 32B， y求过三点 ， ， 的圆的方程，并求这个圆的半径和
9、圆心坐标()， ()， (4)C，【解析】 圆的方程是 210xy 所求圆的方程为 273xy半径 ，圆心52r，【教师备案】老师可以配合知识点睛中的例子先讲圆的一般方程以及一般方程表示圆的条件，然后让学生做例 2 以及相应班次的学案；最后再根据知识点睛中的例子讲如何选用圆的方程，然后再做例 3 和相应班次的学案经典精讲【例 2】 方程 表示圆的条件20xyDEF判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径 ；214 ；0xyax ；2【追问】若表示圆，则当圆的面积最小时， 的值为多少？a 2216xyx 450my【解析】 解法一： 表示一个点，坐标为 ；2x 102， 表示圆，圆心 ，半径
10、 ；220ayaa， ra 表示圆，圆心 ，半径 ；1， 21【追问】当 时，圆的面积取最小值 ，不表示任何图形22060xy 或 时表示圆，圆心为 ，半径为 1m421m， 2451m当 时，方程不表示圆 【备选】若直线 经过圆 的圆心，则 等于（ ）530xy22 104xymmA B C 或 D 或1616616【解析】 A【例 3】 求圆的一般方程已知 三边所在直线方程 ， ， ，求此三ABC :60ABx:280Cxy:20CAxy角形外接圆的方程求过原点及 且在 轴上截得的线段长为 的圆的方程1， 3【解析】 2430xyxy 所求圆的方程为 或 250xy230xy70 第 12
11、 讲尖子班教师版12.2 直线（圆）与圆的位置关系考点 3：直线与圆的位置关系知识点睛1直线与圆的位置关系：直线与圆相交，有两个公共点；直线与圆相切，有一个公共点；直线与圆相离，没有公共点2直线与圆的位置关系的判定有两种方法：代数法：判断直线 和圆 的位置关系，0AxByC20xyDEF可将 消去 （或 ） ，得 （或 ）2DEF x2mnxp20mynp当 时，直线与圆相交，有两个公共点；0当 时，直线与圆相切，有一个公共点；当 时，直线与圆相离，无公共点几何法：已知直线 和圆 ，可用圆心到直线的距离0AxByC22xaybr与 的大小关系判断直线与圆的位置关系2abdr当 时，直线与圆相交
12、，有两个公共点；r当 时，直线与圆相切，有一个公共点；当 时，直线与圆相离，无公共点；一般的，判定直线与圆的位置关系都用几何法，代数法在圆锥曲线才会常用。例：判断下列直线与圆的位置关系圆 ： ，直线 ： ；C24xyl340xy圆 ： ，直线 ： ；219圆 ： ，直线 ： 255l28【解析】 圆 与直线 相切l圆 与直线 相交Cl圆 与直线 相离l经典精讲【铺垫】已知圆的方程是 ，直线 ，当 为何值时，2xyyxb 圆与直线有两个公共点； 圆与直线只有一个公共点； 圆与直线没有公共点【解析】 圆心 到直线 的距离 ，圆的半径 0O， yxb2bd2r 时，直线与圆有两个公共点；2b 当 或
13、 时，直线与圆有一个公共点；2 当 或 时，直线与圆没有公共点【例 4】 判断直线与圆的位置关系已知圆 ，定点 ，问过 点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线28xy40P， P与已知圆：相切，相交，相离【解析】 当 时，直线与圆相切1k 当 时，直线与圆相交 或 时，直线与圆相离k考点 4：圆的切线问题知识点睛1圆的切线的性质切点与圆心的连线与切线垂直；圆心到切线的距离恰为半径 ；r过圆外一点一定有两条切线，而过圆上一点有且只有一条切线2求圆的切线的一般方法对于过已知圆上的一点求切线，可利用切线的性质；切点与圆心的连线与切线垂直求得切线的斜率，从而用点斜式求得切线的方程当点 在圆 上时，
14、切线方程为 ；0xy， 22xyr20xyr若点 在圆 上，则切线方程为 ， 2abr200xaybr由切点与圆心的连线与切线垂直，可以得到切线的斜率（注意斜率不存在的情况） ，然后用点斜式求方程即可。点 在圆外，则设切线方程为 ，变成一般式 ，因为与0xy， 00ykx0kxykx圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，解出 ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上72 第 12 讲尖子班教师版经典精讲【例 5】 求圆的切线方程求由下列条件确定的圆 的切线方程：24xy经过点 ；经过点 ；切线斜率为 31P， 30Q， 1已知圆 ，点 ，过 点作圆 的切线 、 ，22:
15、Cx2P， CPAB、 为切点求 所在直线的方程和 的长度 ABAB、 A【解析】 340xy2560xy 所求切线 的方程分别是 和 PAB、 10xy7150xy 2求过点 ，且与圆 相切的直线 的方程31M， 214xyl【解析】 直线 的方程是 或 l430y考点 5：弦长问题知识点睛直线与圆相交被圆截得的弦长的计算方法：1将直线的方程与圆的方程联立，解得两交点，然后利用两点间的距离公式求弦长；2设弦长为 ，弦心距为 ，半径为 ，则有 ，即由半径长、弦心距、半径组成的勾mdr22mdr股关系在求解弦长问题时，一般不求交点坐标，而通常用由半径长、弦心距、半径组成的勾股关系例：直线 与圆
16、相交于 两点，则 _250xy28xyAB， A【解析】 23经典精讲【例 6】 弦长问题直线经过点 被圆 截得的弦长为 ，求此弦所在直线的方程32P， 25xy8【追问】若过点 的直线与圆 相交，求出弦长的最小值以及此时的直线方程， 2【解析】所求直线方程为 或30x4150xy【追问】所求直线方程为 最短弦长为 2y452【备选】自点 向圆 引割线，所得弦长为 ，则这条割线所在直线的方程64P， 20x6是_【解析】 或20xy716y考点 6：圆与圆的位置关系知识点睛圆与圆的位置关系：如图，平面上两圆的位置关系有五种，可以从两圆的圆心距与两圆半径的数量关系来判断 两两两两两两两两两两 d
17、r1 r2C1 C2 dr1r2C1C2dr1r2C1C2dr1 r2C1 C2C2C1 r2r1 d几何法：判断圆与圆的位置关系可以利用两圆圆心距 与两圆的半径 的关系进行判断：d12r，外离 ；12dr外切 ；相交 ；1212r内切 ；r内含 120d代数法：两圆的位置关系也可以利用两圆方程所构成的方程组的解判断：当方程组无解时，两圆外离或者内含；当方程组只有一解时，两圆外切或者内切；当方程组有两解时，两圆相交由于“代数法”计算量大，运用不方便，所以一般情况下利用“几何法”来判断两圆的位置关系74 第 12 讲尖子班教师版例：判断下列两个圆的位置关系 ；221:60:8120CxyCxy，
18、 46，【解析】 两圆外切两圆相交经典精讲【例 7】 判断圆与圆的位置关系已知圆 ，圆 ， 为何值时，221:450Cxymxy22: 30Cxymy圆 与圆 ：外离；外切；相交；内切；内含【解析】 或 ；25或 ；m或 ；5212或 ；21m已知圆 的方程为 ，定点 ，直线 ，有如下两组论断：C22xyr0Mxy， 20:lxyr第组 第组点 在圆 内且 不为圆心， 直线 与圆 相切，aMlC点 在圆 上， 直线 与圆 相交，b点 在圆 外； 直线 与圆 相离c l以第组论断作为条件， 第组论断作为结论，写出所有可能成立的命题_【解析】 ， 3a12bc，设圆心到直线的距离为 ，则 ，d20
19、rxy若点 在圆内且不为圆心，则 ， ， 直线与圆相离；0Mxy， 220r20rdxy若点 在圆上，则 ， ， 直线与圆相切；0Mxy， 220xyr20rdxy若点 在圆外，则 ， ， 直线与圆相交0， 22020实战演练【演练 1】以点 为圆心，且与 轴相切的圆的标准方程为（ ）(5,4)AxA B2216xy22(5)(4)16xyC D5 5【解析】 A【演练 2】若方程 表示圆，则 的取值范围是（ ）2210xyayaaA 或 B C D332023a【解析】 D【演练 3】直线 与圆 的位置关系是（ ）450xy21xyA相交 B相离 C相切 D无法判断【解析】 C【演练 4】直
20、线 被圆 所截得的弦长等于_20xy:26150xy【解析】 5【演练 5】已知圆 ，求过点 与圆 相切的切线2:4Oxy(2,4)PO【解析】 过点 的圆的切线方程为 或 P310xy2x大千世界If a circle has a radius of 5 and is tangent to both the and axis， then which of the xyfollowing is a possible equation for the circle?A B2xy25yC D2(5) 2()E【解析】 E76 第 12 讲尖子班教师版Radii of the circle will be perpendicular to both the and axis at the points of tangency xyThe center of the circle cannot be on either the or axis or the circle will intersect the axes at more than one point The only possible solution， therefore， is ， a 22(5)()5xycircle with center and radius of 5(5)、
