1、 满分晋级新课标剖析当前形势 等比数列在近五年北京卷（理）考查 518 分要求层次内容A B C具体要求求等比数列的基本量 能够熟练运用等比数列的公式和基本性质求基本量高考要求等比数列证明和综合 熟练掌握等比数列的判定方法并会证明，解决等比数列的综合问题，2009 年 2010 年（新课标） 2011 年（新课标） 2013 年（新课标）北京高考解读 第 14 题 5 分第 20 题 13 分 第 2 题 5 分 第 11 题 5 分 第 10 题 5 分知识切片数列 3 级等差数列深入数列 4 级等比数列深入数列 5 级数列求和的三大方法第 3 讲 等比数列深入26 第 3 讲尖子班教师版寒
2、假知识回顾本块主要回顾等比数列的基本量通项的主要公式： ； 1naq12nnaS前 项和 的公式： ； nnS()nSaq1等比数列 中， 则数列 的通项 _；25943， ， nn已知等比数列 的通项公式为 ，则它的公比为_；na2na已知等比数列 ，则 是它的第_项； 是它的第_项；乘积 是它1， ， ， 14124n的第_项（2012 辽宁 14）已知等比数列 为递增数列，且 ，则数列n251021()5nnaa，的通项公式 _nana【解析】 ；3 ；4 ； ； ；2163 ；n2（2011 北京理 11）在等比数列 中，若 ， ，则公比 ；na124aq12naa设等比数列 的公比
3、，前 项和为 ，则 12qnS4已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的公比 的值为_nn31anaq求和： _35732【解析】 ； ；1 ； 或 ；4 ；2(41)3n3数列 的前 项和 ，则数列 的通项 _na21nSnan数列 的前 项和 ，则数列 的通项 _【解析】 ；12 1n， ， 4已知 是公差不为 的等 差数列， 是等比数列，其中 ，且存在常na0nb1243,abab数 ，使得 对每一个正整数 都成立，则 ， lognnb【解析】即 43.1 等比数列的性质寒假知识回顾寒假预习时我们学习过三个性质，这也是等比数列中非常常用的几个性质，但比较简单这里先通过第 1 题的四
4、道小题进行一下性质的回顾，再通过第 2 题进行一个巩固与加深若 是等比数列，则 nanmnaq若 是等比数列， ， ， ， ，当 时， ，ptNnptmnpta特别地：当 时， 2m2n若 是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列： ， ， 为等比数列，na n2nm，公比为 q1（2012 安徽文 5）公比为 2 的等比数列 的各项都是正数，且 ，则na316a_， _7a5 等比数列 中，若 ， ，则 _； _； _na3179514 已知各项均为正数的等比数列 ， ， ，则 （ ）n123789045628 第 3 讲尖子班教师版A B7 C6 D52 42（2012 新课标 5）
5、已知 为等比数列， ，则 （ ）na47568aa， 10aA B C D75【解析】 ， ；4a51 ； ； ；53843 A D；2 已知等比数列 中， ， 为方程 的两根，则 的值为（ na0n59a， 2106x20580a）A32 B64 C256 D64 已知 是等比数列，且 ， ，那么 的值为（ ）nn224465a35aA5 B10 C15 D20【解析】 B ； A；考点 1： 等比数列的性质（一）知识点睛前面复习回顾了寒假时学习过的等比数列性质，下面我们将探讨一下等比数列的其它几个性质对性质更多的是理解，而不是强记性质安排两道例题，其中目标班涉及到一点不等式，在寒假班的预习
6、范围内若 是等比数列，则 （ 为非零常数）仍然是等比数列，公比为 ；（保证 有意义）naknpa， kqkna；（等差数列也有类似的性质，在线性变换下仍然保持等差） ；若 是正项的等比数列，则 是等差数列，公差为 ；n logan logaq若 与 均为等比数列，则 也为等比数列abb这些性质的证明都比较容易，这里略去性质中最常见的是 与 是等比数2n1na列讲完这些性质可以直接做例 1经典精讲【例 1】 在各项均为正数的等比数列 中，若 ，nb783b则 等于（ ）3132loglb314logA B C D56 在等比数列 中，若 ，则 （ ）na2(2)1nnnSaa221naaA B
7、C D2()1n41n3(41)n143n （2012 湖北 7）定义在 上的函数 ，如果对于任意给定的等比数,0,fx列 ， 仍是等比数列，则称 为“保等比数列函数”现有定义在nanf fx上的如下函数：,0, ； ； ； 2fx2xf()flnfx则其中是“保等比数列函数” 的 的序号为（ ）A B C D 已知 是等比数列， ， ，则 （ ）na2a5141231naaA B C D16(4)6()n(4)32()n【追问】已知等比数列 共有 项，公比为 ，求它的任意两项（两项不同）的乘积的nq和，即求 1ijija 【解析】 C C； C； C；【追问】2121()nnijijnaq
8、考点 2： 等比数列的性质（二）知识点睛 当 都非零时，它们构成等比数列，公比为 特别地，等比数列相邻232mmSS， ， ， mq两项的和构成等比数列，即 构成公比为 的等比数列123456aa， ， ， 2这个性质在等差数列中有对应的，证明也比较容易，需要注意的是，它们中间可能出现项这时结论不成立，如公比为 的数列的连续两项的和01可以结合下面的例子进行讲解这个性质，讲完让学生做例 2例：在等比数列 中，前 项和记为 ， ， ， （ ）nanS0m6mS3mA120 B110 C140 D40【解析】 C经典精讲【例 2】 各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于（ na
9、nS1023014S40S）A80 B26 C30 D1630 第 3 讲尖子班教师版 等比数列 中， ， ，则 _na910a1920ab910a 已知等比数列 中，各项都是正数，且 、 、 成等差数列，则 322013a（ ）A B C D1212 （2010 安徽理 10）设 是任意等比数列，它的前 项和，前 项和与前nannn项和分别为 ， ， ，则下列等式中恒成立的是（ ）XYZA BYXZC D2【解析】 C ； ；98ba D D等比数列与等差数列类比的，也有用函数观点去看数列的一些对应的性质，但这些性质不太典型，应用较少，我们不作为考点给出，老师可以稍微提及一下： 或 递增；
10、或 递减；10aq1naq10q1na为摆动数列，且奇数项与偶数项的正负一致n例：设 是公比为 的等比数列， ，令 ，若数列 有连续na11(2)nba， ， nb四项在集合 中，则 532193782， ， ， ， 6q【解析】 ；9还原成数列 中的项得： ， ，此数列一定是摆动数列，n5438， 1q于是等比数列 中各项的绝对值呈递增，将这五个数按绝对值从小到大的顺序排列得：na，易知 不是 中的项，且 ，从而 82436581， na32q69q 等比数列通项公式的函数理解： ， 时，点 在指数函数图象上，1n0()na，我们可以得到一个等差数列如果同时是等比数列，则只能是非零常数列因为
11、指数函数与一次函数最多有两个交点见下面的例子，大千世界也是这个性质的一个对应结论例： 与 分别是等差和等比数列，且 ， ，试比较 与 的大小nab10ab20abnab【解析】 本题如果从函数角度出发，很容易得到结论：时，显然 ；21n时，公比 ，公差 ，考虑一个指数函数与一个一次函数知 ；1q0d n同样的， 时，公比 ，公差 时，也可以得到 2a1q0dnab直接证明：又 ， ，于是 ，21da21aq1()daq1()n nnbbaq 1()()nq，221 ()naqq于是讨论 与 即可得到大小关系01当然从这个角度出发，首项与第二项都相同且为正的等差与等比数列，它们的前 项和也有n等
12、差数列的前 项和小于等于等比数列的前 项和nn 等比数列求和公式的函数理解：当 时，1q，是系数和常数项互为相反数的类指数函数，111nnnaqaSAq底数为公比 例：若等比数列 的前 项和为 ，则 n nSbr1若 ，则对应的数列从第二项起才是等比数列3nS考点 3： 等比数列与等差数列的性质对比知识点睛等差数列与等比数列性质对比：等差数列 的性质na等比数列 的性质na通项性质 ()nmad nmaq下标和公式若 ，则 ；pqmnpqa特别地，若 ，则 22p若 ，则 ；pmnpq特别地，若 ，2则 2mnpa下标间隔等差的子数列性质下标成等差数列的子列构成等差数列， ， 为等差数列，公差
13、为nam2n，d 下标成等差数列的子列构成等比数列 ， ， 为等比数列，公2m，比为 q若 是等差数列，则n（ 为常数）仍然是等差数列，kapk，公差为 d若 是等比数列，则na（ 为非零常数）仍然是等kp，比数列，公比为 ；（保证 有意义） ；kkna若 是等差数列，则 是等比数列，nna公比为 （保证 有意义） ；dan 若 是正项的等比数列，则na是等差数列，公差为loglogaq构成等差数列，232mmSS， ， ，公差为 构成等比232mmSS， ， ，数列，公比为 q等差与等比的区别是等差是加出来的，等比是乘出来的，所以把等差数列的性质中的加改成乘就会出现等比数列对应的性质同样的，
14、因为这个原因，等差数列的前 项和的n性质很难推广到等比数列中去，因为这对应等比数列的前 项积的一些性质，见例 3n32 第 3 讲尖子班教师版经典精讲【铺垫】在等差数列 中，当 （ ）时， 必定是常数列然而在等比数列 中，narsanana对某些正整数 （ ） ，当 时，非常数列 的一个例子是_rs， rs n【解析】 ；(1)n【例 3】 等比数列 的公比为 ，其前 项的积为 ，并且满足条件 ，naqnnT1a， ，给出下列结论：910a910 ； ； 的值是 中最大的；q10n使 成立的最大自然数 等于 nTn98其中正确的结论是_【解析】 ；3.2 等比数列的判定考点 4：等比数列的判定
15、等比数列的判定是本讲的一个重点与难点，涉及到例 4，例 5，例 6，例 7（选讲）四道例题，内容较丰富其中例 5 还涉及到了与不等式的一些综合，难度较大例 7 涉及到了用反证法证明三个数不构成等比数列，是选讲题，如果班上同学程度不太好，可以先不讲等比数列和求通项的关系比较紧密，其思想可作为后面求通项公式的铺垫知识点睛等比数列的常用判定方法： 是等比数列，na 公式法：利用通项公式 是常数； 前 项和公式 ， ， 是常数；nq， ， nnSaqq 定义法：， （ 为常数且 ） （如果考虑 ，需要验证 ） *nN1naq0q1naq10a 等比中项法： ， ，但应注意这里 *212nna 0()N
16、这三种判定方法是层次是逐渐加深的，第种方法是求出通项，这个数列就完全确定了；第种方法是可以求出公比，例 4 与例 5 都是这种方法；第种方法是不用或很难求出公比，只知道商是相等的，即 ，例 6 和例 7 证明一个数列是不是等比数列就是用12na这种方法解决的一般比较常用的是这两种方法经典精讲【铺垫】在数列 中， ， 求证 是等比数列，并求 的通项公式na1212nnaa2nna【解析】 由条件得 ，又 时， ，22() 21故数列 构成首项为 ，公比为 的等比数列从而 ，即 n121na21na【例 4】 已知数列 的首项 ， ， 证明：数列 是等na1231nna13， ， ， na比数列，
17、并求 n （2010 全国卷理 22）已知数列 中， 设 ，na1152nna， 12nba证明 是等比数列，并求 的通项公式23nbnb【解析】 ， ，1na12nnaa ，又 ， ，12nn312数列 是以为 首项， 为公比的等比数列na故 ，解得 12nn21na 由已知得 15nna，即 1422nn14nb，又 ，故 3nb1a12a所以 是首项为 ，公比为 4 的等比数列，334 第 3 讲尖子班教师版， 1243nnb123nb【例 5】 （2010 上海文 21 改编）已知数列 的前 项和为 ，且 ，nanS3nna*N证明： 是等比数列；1na求数列 的通项公式，并求出使得
18、成立的最小正整数 S1nS【解析】 当 时， ；16当 时， ，即 2 11nnnSa12na故 ，即 ，又 ，1()na()270所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列；7；13472nnS()N最小正整数 5【例 6】 已知 ，其中 成等差数列，且公差不()log()log()log0mmmbcxaybzabc，为零，判断 是否成等比数列？yz，【解析】 设等差数列 的公差为 ，则 ， ， ，a(0)dcd2dd代入 ，()log()loglog0mmmbcxyabz可得 2dz ， lllz2x又 ，故 成等比数列00xy，yz【例 7】 （选讲）已知数列 和 满足： ， ，nab1a
19、124(1)321)3nnnnaba，其中 为实数， 为正整数 对任意实数 ，证明数列 不是等比数列；n 试判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论nb【解析】 假设存在一个实数 ，使 是等比数列，则有 ，na213a即 ，矛盾224439909所以 不是等比数列na 当 时， 不是等比数列；18nb当 时，数列 是等比数列18nb易错门诊的两道题是对学完等差和等比数列的基本概念和基本性质后的一个简单的检验1在数列 中， ，若 （ 为常数） ，则称 为“等差比数列” na*N21nakna下列是对“等差比数列”的判断： 不可能为 ； 等差数列一定是等差比数列；k0等比数列一定是等差比数列；等差
20、比数列中可以有无数项为 0其中正确的判断是_【解析】 2在数列 中，如果对任意的 ，都有 （ 为常数） ，则称数列 为na*nN21nacna“比等差数列” ， 称为比公差现给出下列命题：c等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；如果 是等差数列， 是等比数列，那么数列 是比等差数列；nanbnab斐波那契数列 不是比等差数列；nF若 ，则数列 为比等差数列，比公差为12nna2c其中正确的判断是_【解析】 （2012 西城二模理题 20）在数列 和 中， ， ， ，其中 且 ，nabna(1)banb1,23 2a *NbR 若 ， ，求数列 的前 项和；12n 证明：当 时，
21、数列 中的任意三项都不能构成等比数列,【解析】 因为 ，所以 ， ，1a1ab由 ，得 ，所以 ，2b2021a因为 且 ，所以 ， *N所以 ， 是等差数列，3nn所以数列 的前 项和 b2132nSb 由已知 ，假设 ， ， 成等比数列，其中 ，n3mt,mnt*N且彼此不等，则 ，232t所以 ，9693nt36 第 3 讲尖子班教师版所以 ，232nmttn若 ，则 ，可得 ，与 矛盾；030tmtt若 ，则 为非零整数， 为无理数，t(2)n所以 为无理数，与 是整数矛盾23n23nt所以数列 中的任意三项都不能构成等比数列b实战演练【演练 1】在等比数列 中，若公比 ，且前 3 项
22、之和等于 21，则该数列的通项公式 na4q na（2012 江西文 13）等比数列 的前 项和为 ，公比不为 若 ，且对任意的nanS11a，*nN都有 ，则 _210nnaa5S设等比数列 的前 项和为 若 ， ，则 _n16344【解析】 14 ； ；3【演练 2】在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 _87【解析】 ；16【演练 3】等比数列 的各项都是正数，且 ，则 的值是（ na5681a3132310logllogaa）A B C D201040【解析】 A【演练 4】设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）nanS6396SA B C D27
23、38【解析】 B【演练 5】若 成等差数列， 成等比数列， 成等差数列，则 一定成（ abc，bcd，1cde， ace，）A等差数列 B等比数列C既成等差数列又成等比数列 D以上答案都不是【解析】 B；【演练 6】已知数列 的前 项和为 ， ，设 nanS1124naSa， 12nnba证明数列 是等比数列，并求 ；bb证明 是等差数列，并求 2nn【解析】 由于 14nSa当 时， 1n，得 ，4na所以 112()na又 ，所以nb2nb因为 ，且111所以 ，23723a故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 ；n 132nb ，两边同除以 得： ，又 ，11na 1n124naa故 构成首项为 ，公差为 的等差数列， ，234(1)4n故 2(3)nn大千世界（2012 北大自主招生测试 2）已知 为一元二次函数，且 成正项等比数列，fx()()()mfffm， ， ，求证： m【解析】 成正项等比数列，()()()fff， ， ，即 0qff记点 ， ， ，,A()()Bfm， ,Cffm则 ，0OBOCkq若 ，fm则 、 、 的横坐标为成公比不为 的正项等比数列，于是 、 、 为不同的三点1ABC此时该三点共线，与 、 、 三点在抛物线上矛盾AB因此 f38 第 3 讲尖子班教师版
