1、2018 年四川省遂宁市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=x|3x6，B=x |2x7，则 A（ RB）= （ ）A （2 ，6 ） B （2，7） C （ 3，2 D （ 3，2）2 （5 分）已知复数 z=a+i（aR ） ，若 z+ =4，则复数 z 的共轭复数 =（ ）A2 +i B2i C2+i D 2i3 （5 分） “ ”是“log 2alog 2b”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）已知随机变
2、量 服从正态分布 N（， 2） ，若 P（2）=P（ 6）=0.15，则 P（ 24）等于（ ）A0.3 B0.35 C0.5 D0.75 （5 分）已知 满足 cos2= ，则 cos（ +）cos（ ）=（ ）A B C D6 （5 分）执行如图所示的程序，若输入的 x=3，则输出的所有 x 的值的和为（ ）A243 B363 C729 D10927 （5 分）要排出某理科班一天中语文、数学、物理、英语、生物、化学 6 堂课的课程表，要求语文课排在上午（前 4 节） ，生物课排在下午（后 2 节） ，不同排法种数为（ ）A144 B192 C360 D7208 （5 分）若 a0，b0，且
3、函数 f（x）=4x 3ax22bx+2 在 x=2 处有极值，则 ab的最大值等于（ ）A121 B144 C72 D809 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1 为函数 f（x ）= sinx+cosx（xR）的最大值，且满足 ananSn+1= anSn，则数列a n的前2018 项之积 A2018=（ ）A1 B C1 D210 （5 分）若双曲线 C： =1（a0，b 0）的一条渐近线被圆 x2+y24x=0所截得的弦长为 2，则双曲线 C 的离心率为（ ）A2 B C D11 （5 分）已知 O 为ABC 的外心，A 为锐角且 sinA= ，若 = + ，则 +
4、 的最大值为（ ）A B C D12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x） =f（x） ，且对任意的不相等的实数 x1，x 20，+）有 0 成立，若关于 x 的不等式f（2mxlnx3 ）2f（3）f（2mx+lnx+3）在 x1， 3上恒成立，则实数 m 的取值范围（ ）A ，1+ B ，2+ C ，2+ D ，1+ 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+y 的最小值是 14 （5 分）二项式（2 ） 6 的展开式中常数项是 （用数字作答） 15 （5 分）已知点 A，B 的坐标分别
5、为（1，0） ， （ 1，0） 直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之和是 2，则点 M 的轨迹方程为 16 （5 分）设函数 与 g（x）=a 2lnx+b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数 b 的最大值为 三、解答题：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，向量 =（S n，2） ，满足条件 （1）求数列a n的通项公式；（2）设 cn= ，求数列c n的前 n 项和 Tn18 （12 分）已知函数 ，在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c（1）当 x0， 时，求函数 f（x）的取
6、值范围；（2）若对任意的 xR 都有 f（x ）f（A） ，c=2b=4，点 D 是边 BC 的中点，求的值19 （12 分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中用分层抽样的方法抽取 50 名同学（男 30，女 20） ，给所选的同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一题进行解答，选题情况如表（单位：人）几何体 代数题 总计男同学 22 8 30女同学 8 12 20总计 30 20 50（1）能否据此判断有 97%的把握认为视觉和空间能力与性别有关（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在 57 分钟，乙每次解答一道几何题所
7、用的时间在 68 分钟，现甲乙解同一道几何题，求乙比甲先解答完成的概率（3）现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的大题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X 的分布列及数学期 E（X）附表及公式P（k 2k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.481 5.024 6.635 7.879 10.828k2= 20 （12 分）设椭圆 + =1（ab 0）的离心率 e= ，左焦点为 F，右顶点为 A，过点 F 的直线交椭圆于 E，H 两点，若直线 EH 垂直于 x 轴时，有|EH|=（1）求
8、椭圆的方程；（2）设直线 l：x= 1 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点B（B 异于点 A） ，直线 BQ 与 x 轴相交于点 D若 APD 的面积为 ，求直线AP 的方程21 （12 分）已知函数 f（ x）=e x+px 2lnx（1）若 p=2，求曲线 y=f（x）在点（1，f （1） ）处的切线；（2）若函数 F（x）=f（x） ex 在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围；（3）设函数 g（x）=e x+ ，若在1，e上至少存在一点 x0，使得 f（x 0）g （x 0）成立，求实数 p 的取值范围请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多
9、做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为=4cos（ ） （1）求圆 C 的直角坐标方程；（2）若 P（x，y ）是直线 l 与圆面 的公共点，求 x+y 的取值范围23已知函数 f（x ）=|1xa|+|2a x|（1）若 f（1）3，求实数 a 的取值范围；（2）若 a ，xR，判断 f（x ）与 1 的大小关系并证明2018 年四川省遂宁市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60
10、 分在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=x|3x6，B=x |2x7，则 A（ RB）= （ ）A （2 ，6 ） B （2，7） C （ 3，2 D （ 3，2）【解答】解：B=x|2 x7， RB） =x|x2 或 x7，A（ RB）=（3，2，故选：C2 （5 分）已知复数 z=a+i（aR ） ，若 z+ =4，则复数 z 的共轭复数 =（ ）A2 +i B2i C2+i D 2i【解答】解：z=a+i ，z+ =2a=4，得 a=2复数 z 的共轭复数 =2i故选：B3 （5 分） “ ”是“log 2alog 2b”的（ ）A充分不必要条
11、件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：“ ”ab，“log2alog 2b”ab0“ ”是“log 2alog 2b”的必要不充分条件故选：B4 （5 分）已知随机变量 服从正态分布 N（， 2） ，若 P（2）=P（ 6）=0.15，则 P（ 24）等于（ ）A0.3 B0.35 C0.5 D0.7【解答】解：由题意可得 ，故选：B5 （5 分）已知 满足 cos2= ，则 cos（ +）cos（ ）=（ ）A B C D【解答】解： 满足 cos2= ，则 cos（ +）cos（ ）=cos（ +）cos （ +）=cos（ +）sin （ +）= sin（ +
12、2）= cos2= ，故选：A6 （5 分）执行如图所示的程序，若输入的 x=3，则输出的所有 x 的值的和为（ ）A243 B363 C729 D1092【解答】解：模拟程序的运行可得：当 x=3 时，y 是整数；当 x=32 时，y 是整数；依此类推可知当 x=3n（nN* ）时，y 是整数，则由 x=3n1000，得 n 7，所以输出的所有 x 的值为 3，9 ，27，81，243，729，其和为 1092，故选：D7 （5 分）要排出某理科班一天中语文、数学、物理、英语、生物、化学 6 堂课的课程表，要求语文课排在上午（前 4 节） ，生物课排在下午（后 2 节） ，不同排法种数为（
13、）A144 B192 C360 D720【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析：，要求语文课排在上午（前 4 节） ，生物课排在下午（后 2 节） ，则语文课有 4 种排法，生物课有 2 种排法，故这两门课有 42=8 种排法；，将剩下的 4 门课全排列，安排在其他四节课位置，有 A44=24 种排法，则共有 824=192 种排法，故选：B8 （5 分）若 a0，b0，且函数 f（x）=4x 3ax22bx+2 在 x=2 处有极值，则 ab的最大值等于（ ）A121 B144 C72 D80【解答】解：由题意，求导函数 f（x ）=12x 22ax2b，在 x=2 处有极值，2a+b=2
14、4，a 0 ，b 0，2ab （ ） 2=144，当且仅当 2a=b 时取等号，所以 ab 的最大值等于 72，故选：C9 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1 为函数 f（x ）= sinx+cosx（xR）的最大值，且满足 ananSn+1= anSn，则数列a n的前2018 项之积 A2018=（ ）A1 B C1 D2【解答】解：函数 f（x） = sinx+cosx=2sin（x + ） ，当 x=2k+ ，kZ 时，f（x ）取得最大值 2，则 a1=2，由 ananSn+1= anSn=1anSn，即为 an=anSn+1anSn+1，即有 an+1= =1
15、 ，an+2=1 = ，an+3=1 =an，则数列a n为周期为 3 的数列，且 a1=2，a 2= ，a 3=1，则一个周期的乘积为1，由于 2018=3672+2，则数列a n的前 2018 项之积 A2018=12 =1故选：A10 （5 分）若双曲线 C： =1（a0，b 0）的一条渐近线被圆 x2+y24x=0所截得的弦长为 2，则双曲线 C 的离心率为（ ）A2 B C D【解答】解：双曲线 C： =1（a0，b 0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆 x2+y24x=0 即为（x 2） 2+y2=4 的圆心（2，0） ，半径为 2，双曲线的一条渐近线被圆 x2+y24x=0
16、 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为： = ，解得： =3，由 e= ，可得 e2=4，即 e=2故选：A11 （5 分）已知 O 为ABC 的外心，A 为锐角且 sinA= ，若 = + ，则 + 的最大值为（ ）A B C D【解答】解：如图所示，以 BC 边所在直线为 x 轴，BC 边的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系（D 为 BC 边的中点） 由外接圆的性质可得BOD=COD=BAC由 A 为锐角且 sinA= ，不妨设外接圆的半径 R=3则 OA=OB=OC=3cosCOD= =cosA= ，OD=1，DC= =2 B（2 ，0） ，C （2 ，0） ，O（0，1） ，A（
17、m，n） ，则ABC 外接圆的方程为：x 2+（y 1） 2=9 （*） = + ，（m，1n）=（2 m， n）+（2 m，n ） ， ，+1 时，否则 = ，由图可知是不可能的可化为 ，代入（*）可得 + =9，化为 18（+）=9+32，利用重要不等式可得 18（+）9 +32（ ） 2，化为 8（+） 218（+）+90，解得 + 或 + 又 +1，故 + 应舍去+ ，则 + 的最大值为 ，故选：D12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x） =f（x） ，且对任意的不相等的实数 x1，x 20，+）有 0 成立，若关于 x 的不等式f（2mxlnx3 ）2f（3）f（
18、2mx+lnx+3）在 x1， 3上恒成立，则实数 m 的取值范围（ ）A ，1+ B ，2+ C ，2+ D ，1+ 【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）的图象关于 y 轴对称，函数 f（x ）为偶函数，函数数 f（x）在0，+ ）上递减，f（ x）在（，0）上单调递增，若不等式 f（2mxlnx3）2f （3） f（2mx+lnx+3）对 x1，3恒成立，即 f（2mxlnx3）f（3）对 x1，3恒成立3 2mxlnx 33 对 x1，3恒成立，即 02mxlnx 6 对 x1，3恒成立，即 2m 且 2m 对 x1，3恒成立令 g（ x）= ，则 g（x ）= ，在1，e）上递增
19、， （e ，3上递减，g （x） max= 令 h（x）= ，h（x）= 0，在1，3上递减，h（x） min= 综上所述，m ， 故选：D二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+y 的最小值是 15 【解答】解：x，y 满足约束条件 的可行域如图：在坐标系中画出可行域ABC，A（ 6，3） ，B （0，1） ，C （6，3） ，由图可知，当 x=6，y= 3 时，则目标函数 z=2x+y 的最小，最小值为15故答案为：1514 （5 分）二项式（2 ） 6 的展开式中常数项是 160 （用数字作答） 【解
20、答】解：因为 =208（ 1）=160所以展开式中常数项是160故答案为：16015 （5 分）已知点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （ 1，0） 直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之和是 2，则点 M 的轨迹方程为 x 2xy1=0（x1） 【解答】解：设 M（x，y） ，AM ，BM 的斜率存在，x1，又k AM= ，k BM= ，由 kAM+kBM=2 得： =0，整理得：x 2xy1=0，点 M 的轨迹方程为： x2xy1=0（x1） 故答案为：x 2xy1=0（x 1）16 （5 分）设函数 与 g（x）=a 2lnx+b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数
21、 b 的最大值为 【解答】解：设公共点坐标为（x 0，y 0） ，则 ，所以有 f（x 0）=g （x 0） ，即 ，解出 x0=a（ 舍去） ，又 y0=f（x 0）=g（x 0） ，所以有 ，故 ，所以有 ，对 b 求导有 b=2a（1+lna） ，故 b 关于 a 的函数在 为增函数，在 为减函数，所以当 时 b 有最大值 故答案为： 三、解答题：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，向量 =（S n，2） ，满足条件 （1）求数列a n的通项公式；（2）设 cn= ，求数列c n的前 n 项和 Tn【解答】解：（
22、1） ， =Sn+22n+1=0，S n=2n+12，当 n2 时，a n=SnSn1=2n，当 n=1 时，a 1=S1=2 满足上式，a n=2n，（2）c n= = ， ，两边同乘 ，得 ，两式相减得：， 18 （12 分）已知函数 ，在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c（1）当 x0， 时，求函数 f（x）的取值范围；（2）若对任意的 xR 都有 f（x ）f（A） ，c=2b=4，点 D 是边 BC 的中点，求的值【解答】解：（1）当 x0， 时，2x ， ，sin（ 2x ） ，1，所以函数 的取值范围是0，3； （2）由对任意的 xR，都有 f（x ）f（A）
23、 ，得2A =2k+ ，kZ，解得 A=k+ ，k Z，又A （0，） ，= （ c2+b2+2bccosA）= （c 2+b2+bc）= （16+4+8）=7，所以 19 （12 分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中用分层抽样的方法抽取 50 名同学（男 30，女 20） ，给所选的同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一题进行解答，选题情况如表（单位：人）几何体 代数题 总计男同学 22 8 30女同学 8 12 20总计 30 20 50（1）能否据此判断有 97%的把握认为视觉和空间能力与性别有关（2）经过多次测试后，甲每次解
24、答一道几何题所用的时间在 57 分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在 68 分钟，现甲乙解同一道几何题，求乙比甲先解答完成的概率（3）现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的大题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X 的分布列及数学期 E（X）附表及公式P（k 2k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.481 5.024 6.635 7.879 10.828k2= 【解答】解：（1）由表中数据，得：k2= = ，据此判断有 97%的把握认为视觉和空间能力与性别有关（2）设甲、乙解答同一
25、道题的时间分别为 x，y 分钟，则基本事件满足区域为 ，如图所示：设事件 A 为“ 乙比甲先做完此题 ”，则满足的区域还要满足 xy，由几何概型得乙比甲先解答完成的概率 P（A）= = （3）由题意知在 8 名女生中任意抽取 2 人，抽取方法有 种，其中甲、乙两人没有一个人被抽取有 种，恰有一人被抽到有 种，两人都被抽到有 种，X 的可能取值有 0，1，2，P（X=0）= ，P （X=1 ）= ，P（X=2）= ，X 的分布列为：X 0 1 2P E（ X） = = 20 （12 分）设椭圆 + =1（ab 0）的离心率 e= ，左焦点为 F，右顶点为 A，过点 F 的直线交椭圆于 E，H 两
26、点，若直线 EH 垂直于 x 轴时，有|EH|=（1）求椭圆的方程；（2）设直线 l：x= 1 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点B（B 异于点 A） ，直线 BQ 与 x 轴相交于点 D若 APD 的面积为 ，求直线AP 的方程【解答】解：（1）设 F（ c，0） （c 0） ，e= ，a=2c，又由|EH|= ，得 ，且 a2=b2+c2，解得 ，因此椭圆的方程为： ；（2）设直线 AP 的方程为 x=my+1（m0） ，与直线 l 的方程 x=1 联立，可得点 P（ 1， ） ，故 Q（ 1， ） 将 x=my+1 与 联立，消去 x，整理得（3m 2+4）y
27、2+6my=0，解得 y=0，或 y= 由点 B 异于点 A，可得点 B（ ） 由 Q（ 1， ） ，可得直线 BQ 的方程为，令 y=0，解得 ，故 D（ ） |AD|= 又APD 的面积为 ，故 ，整理得 ，解得|m|= ，m= 直线 AP 的方程为 ，或 3x 3=021 （12 分）已知函数 f（ x）=e x+px 2lnx（1）若 p=2，求曲线 y=f（x）在点（1，f （1） ）处的切线；（2）若函数 F（x）=f（x） ex 在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围；（3）设函数 g（x）=e x+ ，若在1，e上至少存在一点 x0，使得 f（x 0）g （x 0）成立
28、，求实数 p 的取值范围【解答】解：因为函数 f（x ）=e x+px 2lnx，（1）当 p=2 时，f（x）=e x+2x 2lnx，f（1）=e，又 ，f（1）=e +2，则曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为： ye=（e+2） （x1） ，即（e+2）xy2=0；（2）F（x）=f（x）e x=px ， ，由 F（x）在定义域（0，+）内为增函数，F（ x）0 在（0，+）上恒成立，px 22x+p0，即 对任意 x0 恒成立，设 ，可知 h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，则 h（x） max=h（1）=1，p h（1）=1，即 p1，+） ；
29、（3）设函数 （x）=f（x）g （x ）=px ，x 1，e，则原问题在1，e上至少存在一点 x0，使得 （x 0）0 （x ）max0（x1，e） ，当 p=0 时， ，则 （x）在 x1，e上单调递增，（x）max=（ e）=40， （舍） ；当 p0 时，（x）=p（x ） ，x1，e， x 0， 0，lnx0，则 （ x）0， （舍） ；当 p0 时， ，则 （x）在 x1，e上单调递增， （x） max=（e ）=pe 0，整理得 p ，综上，p（ ） 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知直线
30、 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为=4cos（ ） （1）求圆 C 的直角坐标方程；（2）若 P（x，y ）是直线 l 与圆面 的公共点，求 x+y 的取值范围【解答】 （本小题满分 10 分）解：（1）圆 C 的极坐标方程为 =4cos（ ） ， ，又 2=x2+y2，x=cos，y=sin，（5 分） ，圆 C 的普通方程为 =0（2）设 z= ，圆 C 的方程 =0即（x+1 ） 2+（y ） 2=4，圆 C 的圆心是 C（1， ） ，半径 r=2，将直线 l 的参数方程为 （t 为参数）代入 z= ，得 z=
31、t，又直线 l 过 C（1， ） ，圆 C 的半径是 2，2 t2 ，2t2，即 的取值范围是2，2 （10 分）23已知函数 f（x ）=|1xa|+|2a x|（1）若 f（1）3，求实数 a 的取值范围；（2）若 a ，xR，判断 f（x ）与 1 的大小关系并证明【解答】解：（1）因为 f（1）3，所以|a|+|12a|3，当 a0 时，得a+（1 2a）3，解得：a ，所以 a0；当 0a 时，得 a+（12a）3，解得 a2，所以 0a ；当 a 时，得 a（12a）3，解得：a ，所以 a ；综上所述，实数 a 的取值范围是（ ， ） （5 分）（2）f（x ）1，因为 a ，所以 f（ x）=|1xa|+|2ax |（1 xa）（2a x）|=|13a |=3a11（10 分）
