1、初等数论论文素数及其应用摘要：质数又称素数。指在一个大于 1 的自然数中，除了 1 和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。因为合数是由若干个质数相乘而得来的，所以，没有质数就没有合数，由此可见素数在数论中有着很重要的地位。比 1 大但不是素数的数称为合数。1 和 0 既非素数也非合数。质数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一。基于质数定义的基础之上而建立的问题有很多世界级的难题，如哥德巴赫猜想等。算术基本定理每一个比 1 大的数（即每个比 1 大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数的在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。
2、这个定理的重要一点是，将 1 排斥在素数集合以外。关键词：素数，无穷性，著名问题，应用素数的概念概念只有 1 和它本身两个正因数的自然数，叫素数(Prime Number)，又称质素。（如：由21=2，22=1，可知 2 的因数只有 1 和它本身 2 这两个约数，所以 2 就是质数。与之相对立的是合数：“除了 1 和它本身两个因数外，还有其它因数的数，叫合数。”如：41=4，42=2，44=1，很显然，4 的因数除了 1 和它本身 4 这两个因数以外，还有因数 2，所以 4 是合数。）100 以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，5
3、9，61，67，71，73，79，83，89，97，在 100 内共有 25 个质数。注：（1）2 和 3 是所有素数中唯一两个连着的数。（2）2 是唯一一个为偶数（双数）的质数。（3）质数的平方数只有三个因数.素数无穷性的证明素数的个数是无穷的。最经典的证明由欧几里得证得，在他的几何原本中就有记载。它使用了证明常用的方法：反证法。具体的证明如下：假设质数只有有限的 n 个，从小到大依次排列为 p1，p2，pn，设 N = p1 p2 pn，那么，N+1 是素数或者不是素数。如果 N+1 为素数，则 N+1 要大于 p1，p2，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。如果 N+1 为合数，因为任
4、何一个合数都可以分解为几个素数的积；而 N 和 N+1 的最大公约数是 1，所以 N+1 不可能被 p1，p2，pn 整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。其他数学家也给出了他们自己的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特库默的证明更为简洁， Hillel Furstenberg 则用拓扑学加以证明。素数计算尽管整个素数是无穷的，仍然有人会
5、问“100,000 以下有多少个素数?” ， “一个随机的100 位数多大可能是素数?” 。素数定理可以回答此问题。素数、即质数，是在大于 1 的整数中只能被 1 和其自身整除的数。梅森素数以法国数学家马兰.梅森命名，指的是形如 2 的 P 次幂减一的素数，而 P 本身也是素数。迄今为止，数学界共计发现 48 个梅森素数。中央密苏里大学在 2013 年 1 月 25 日协调世界时23:30:26 发现的那一素数 2 的 57,885,161 次幂减一为迄今发现的最大素数。素数检验检查一个正整数 n 是否为素数，最简单的方法就是试除法，将该数 n 用小于等于根号n 的所有素数去试除，若均无法整除
6、，则 n 为素数，参见素数判定法则。2002 年，印度人 M. Agrawal、N. Kayal 以及 N. Saxena 提出了 AKS 质数测试算法，证明了可以在多项式时间内检验是否为素数。著名问题哥德巴赫猜想 在 1742 年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于 2 的整数都可写成三个质数之和。因现今数学界已经不使用“1 也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于 5 的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2 的偶数想陈述为欧拉的版本。把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过 a 个的数与另一个素因子不超过 b 个的数之和
7、“记作“a+b“。1966 年陈景润证明了“1+2“成立，即“任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和“。 今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于 2 的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想” 。从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出任一大于 7 的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想” 。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。若哥德巴赫猜想尚未完全解决，但 1937 年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥
8、德巴赫-维诺格拉朵夫定理 ”或“三素数定理”，数学家认为弱哥德巴赫猜想已基本解决。黎曼猜想黎曼猜想是关于黎曼 函数 (s)的零点分布的猜想，由数学家 波恩哈德黎曼（1826-1866）于 1859 年提出。德国数学家希尔伯特列出 23 个数学问题其中第 8 问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼 函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼 函数 (s)非平凡零点（在此情况下是指 s 不为-2、-4、-6 等点的值）的实数部份是 1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线 1/2 + ti（“临界线”（critical line） ）上。t 为一实数，而 i 为
9、虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta 函数的零点都在直线 Res(s) = 1/2 上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代
10、数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。孪生素数猜想1849 年，波林那克提出孪生质数猜想（ the conjecture of twin primes） ，即猜测存在无穷多对孪生质数。猜想中的“孪生质数” 是指一对质数，它们之间相差 2。例如 3 和 5，5 和 7，11 和13，10,016,957 和 10,016,959 等等都是孪生质数。费马数被称为“17 世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2(2n)+1，则当 n 分别等于 0、1、2、3、4 时，Fn 分别给出3、5、17、257、65,537，都是质数，由于
11、 F5 太大（F5=4,294,967,297） ，他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn 都是质数。这便是费马数。费马死后 67 年，25 岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=6416,700,417 是一个合数。以后的 Fn 值，数学家再也没有找到哪个 Fn 值是质数，全部都是合数。由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得 Fn 的最大值为：n=1,495，其位数多达1010584 位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。高斯已经证明，一个正多边形能用直尺和圆规作出当且仅当边数为质数的 Fn 或若干个为质数的 Fn 的乘积。梅森素数17 世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾
12、经做过一个猜想：当 2p-1 中的 p 是质数时，2p-1 是质数。他验算出：当 p=2、3、5、7、17、19 时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明 p=31 时，2p-1 是质数。 p=2，3，5，7 时，2p-1 都是素数，但 p=11 时，所得2,047=2389 却不是素数。梅森去世 250 年后，美国数学家科勒证明，267-1=193,707,721761,838,257,287，是一个合数。这是第九个梅森数。20 世纪，人们先后证明：第 10 个梅森数是质数，第 11个梅森数是合数。质数排列得杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。目前最大的已知质数是梅森质数 257,8
13、85,1611。迄今为止，人类仅发现 48 个梅森质数。由于这种质数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝” 。中国数学家和语言学家周海中根据已知的梅森质数及其排列，巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法，于 1992 年正式提出了梅森素质分布的猜想(即周氏猜测)。相关定理素数定理素数定理描述素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数 x，定义 (x)为不大于 x 的素数个数。数学家找到了一些函数来估计 (x)的增长。以下是第一个这样的估计。 (x)x/ln x 其中 ln x 为 x 的自然对数。
14、上式的意思是当 x趋近，(x) 和 x/ln x 的比趋 近 1（注：该结果为高斯所发现） 。但这不表示它们的数值随着 x 增大而接近。 下面是对 (x)更好的估计： (x)=Li (x) + O (x e(-(ln x)(1/2)/15)，当 x 趋近。 其中 Li(x) = (dt/ln x2,x)，而关系式右边第二项是误差估计。素数定理可以给出第 n 个素数 p(n)的渐近估计：p(n)n/ln n. 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于 n 的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是 1/ln n。 这定理的式子於 1798 年法国数学家勒让德提出。1896 年法国数学家哈达玛(Ja
15、cques Hadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Valle-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼 函数。 因为黎曼 函数与 (x)关系密切，关于黎曼 函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901 年瑞典数学家 Helge von Koch 证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 :(x)=Li (x) + O (x(1/2) ln x) 至於大 O 项的常数则还未知道。素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明于 1949 年由匈牙利数学家保罗艾狄胥（“ 爱尔多斯
16、” ，或 “爱尔多希”）和挪威数学家阿特利 西尔伯格合作得出。 在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的深度 。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。算术基本定理任何一个大于 1 的自然数 N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=(P_1a1)
17、*(P_2a2)(P_nan) , 这里 P_11）时 2p-1 能被 2m-1 整除不是质数，故梅森质数必须满足 p 为质数。当 p=2,3,5,7 时，2p-1=3,7,31,127，都是质数，似乎其逆命题，p 为质数是 2p-1 一定是质数，也成立。实则不然，第一个反例出现在 p=11 时，2p-1=2047=23*89 是合数。这样一来 2p-1 是否质数便变得不可捉摸，这成了数学界上又一个方兴未艾的研究主题。大家有没有发现，各种“人类发现的最大质数”这类新闻，里面所发现的质数，都是梅森质数说明梅森质数比起一般的质数具有更好的性质。而信息时代发现的越来越大的质数，都是依赖于一个叫做 G
18、IMPS 的网络系统，它从因特网免费下载开放源代码的Prime95 和 MPrime 软件来搜索梅森素数。 8俗话说“众人拾柴火焰高”利用“每个志愿者的小米加步枪” ，人类便可以更快地发现更大的梅森质数。梅森质数还有另一个意义：如果 2p-1 是素数，则 2(p-1)(2p-1)是完美数。并且所有的偶完美数都有这种形式。也就是说，每个梅森质数对应一个偶完美数，发现了多少个梅森质数就发现了多少个偶完美数。完美数的极其美妙的性质也吸引了众多数学爱好者投入梅森质数的研究中。费马质数与梅森质数相对，形如 2m+1 的数，如果是质数，则称为费马质数。可以证明，m 一定是 2 的幂若 m=ab，其中 1a
19、,bn 且 b 为奇数，则 2m+1 (2a)b+1 (1)b+1 0 (mod 2a+1)。故费马质数可以写成 2(2n)+1 的形式。费马曾错误地猜想，当 n 为任意自然数时，2(2n)+1 都是质数。但是，命运给费马开了个大玩笑。费马死后，大家找到了很多 2(2n)+1 形式的合数，却至今仍未发现当 n5 的费马质数。也就是说，至今发现的费马质数只有 3，5，17，257，65537 五个。至于费马质数是否只有这五个，或者是否是有限个，至今还是一个未解之谜。费马质数的一个意义在于，一个正 k 边形能用尺规作出，当且仅当 k 为费马质数（或者互不相同的费马质数的乘积）乘以 2 的任意自然数次幂。这样，就已发现的费马质数而言，能用尺规作出的最大正奇数边形为正 4294967295 边形，它等于 232-1，正好是五个费马质数的乘积。有趣的是，4294967295 也是无符号 32 位整型的最大值。 参考文献：陈景润,(初等数论)科学出版社,1978 年。华罗庚,数论导引，北京科学出版社,1957 年。潘承洞、潘承彪,解析数论基础 ,北京科学出版社,1991 年。潘承洞，数论基础，北京高等教育出版社，2012 年。
