1、贵州省兴义四中 2013 届高三数学一轮复习单元测试：导数及其应用本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 若函数 f(x)=2x2+1，图象上 P(1,3)及邻近上点 Q(1+x,3+y)， 则 xy=（ ）A . 4+2x B .4x C 4 D . 2x【答案】A2函数 xef)( (e为自然对数的底数)在区间-1，1 上的最大值是A1B1 Ce+1 De-1【答案】D3已知 yfx是定义在 R上的
2、奇函数，且当 0x时不等式 0fxf成立，若0.3.af， ,log3lbf 331,logl9cf，则 ,bc大小关系是A B cabC acbD cba【答案】D4设函数 xf6)(2，则 )(f在 0x处的切线斜率为 ( ）A0 B-1 C3 D-6【答案】D 解析： )(xf在 x=0 处的切线斜率为 6|)2()0xf5若 sincox,则 (等于( )A cB sinC sincoD 2sin答案：B 6已知 0,(21)6ttxd若，则 t 的值等于 ( ）A2 B3 C6 D8【答案】B7 若曲线 C:y=x-2a 2+2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，那么 a 的取值
3、范围是 ( )A0 32【答案】C8已知函数 fx()在 R 上可导，且 2fxf()()，则 1f()与 f的大小是（ ）A 1= B 1C D不确定【答案】B9设 a,函数 ()exxfa的导函数是 ()fx,且 ()f是奇函数.若曲线()yfx的一条切线的斜率是 32,则切点的横坐标为 ( )A ln2B lnC ln2D ln2答案：A10 若对任意 xR, 3()4fx,f(1)=- 1，则 f(x)是 ( ）A 4()fxB 4()2fxC 35D 【答案】B11 若 0()fx，则 00()(3)limhfxfh（ ）A 3B 6C 9D 12【答案】D12函数 y f(x)在定
4、义域( ，3)内可导，其图象如图所示，记 y f(x)的导函数为32y f( x)，则不等式 f( x)0 的解集为( )A ，12,3) B1， ， 13 12 43 83C ， 1,2 D ， ， 32 12 32 13 12 43【答案】A第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13 曲线 21yx在点 ,2P处的切线方程是 【答案】 014已知函数 2)(23xcbaxf 在 处取得极值，并且它的图象与直线xy在点（1，0）处相切，则函数 )(f的表达式为 _ _答案： 68)(23xf15曲线 y x31
5、1 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是_【答案】916已知函数 f(x) x42 x33 m， xR，若 f(x)90 恒成立，则实数 m 的取值范围是12_【答案】 m32三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17今有一块边长 a的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大， x值应为多少？【答案】折成盒子后底面正三角形的边长为 2(0)aax，高为 3tan0hxx设：容积为 V，则 213()sin60shaxx234x22aV令 0得 ,xb（舍去）当
6、 6a时， 0；当 axb时， 0Vxb时，3334216215V最 大答： 为 a时，盒子的容积最大为3a18已知 a0,函数 ax)ln(2fx).(）设曲线 (y在点（1， f(1)处的切线为 l,若 与圆 1y)(x2相切，求 a 的值；(）求函数 f(x)的单调区间；(）求函数 f(x)在0,1上的最小值.【答案】 （）依题意有 21)(,2xafx过点 )1(,f的切线的斜率为 1a，则过点 a,的直线方程为 )(xy 又已知圆的圆心为（-1，0） ，半径为 1 1)(a|2，解得 a (） 21)( xxxf 0a， 2a1令 ,(x)f解得 ，令 0(x)f，解得 2xa1所以
7、 的增区间为 a1,2(，减区间是 ),2(）当 0a12，即 时， fx)在0,1上是减函数所以 f(x)的最小值为 af() 当 1a20即 时f(x)在 ),上是增函数，在 )1,2(a是减函数所以需要比较 2lnf(0和 f1)两个值的大小因为 e3e21，所以 1lne23l当 lna时最小值为 a，当 12l时，最小值为 2ln 当 a，即 时， f(x)在0,1上是增函数所以 f(x)最小值为 2ln 综上，当 la0时， f(x)为最小值为 a当 2ln时， f()的最小值为 2ln.19某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y（单位一：千克）与销售价格x（单位：元
8、千克）满足关系式 2ay10(x6)3其中 3x6，a 为常数，已知销售价格为 5 元千克时，每日可售出该商品 11 千克。(1）求 a 的值(2）若该商品的成本为 3 元千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。【答案】 （1）因为 x=5 时，y=11，所以 a10,22(2）由（1）可知，该商品每日的销售量 2y10(x6)3，所以商场每日销售该商品所获得的利润222f(x)3)10(x6)10(x),从而， 2 34(6)于是，当 x 变化时， f(x),的变化情况如下表：X (3,4) 4 (4,6)f(x)+ 0 -f(x) 单调递增 极大值 42 单调
9、递减由上表可得，x=4 是函数 f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；所以，当 x=4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42。答：当销售价格为 4 元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。20 已知函数 32()fabc在 23x与 1时都取得极值(1)求 ,ab的值与函数 x的单调区间(2)若对 1,2x，不等式 2()fc恒成立，求的取值范围 【答案】 （1） 32 2(),()3fxabfxaxb由 4(039f ， 10得 1,2 2)(32)xx，函数 ()fx的单调区间如下表：,2,3(1,)()fx0 0 极大值 极小值 所以函数 ()fx的递增区
10、间是 2(,)3与 (1,),递减区间是 2(,1)3；(2） 321xc，当 x时， 7fc为极大值，而 (2)fc，则 (2)fc为最大值，要使 2(),1,fxc恒成立，则只需要 f，得 1,2或 21已知 ()lnfx， 217()gxmx（ 0） ，直线 l与函数 ()fx、 g的图像都相切，且与函数 f的图像的切点的横坐标为 1求直线 l的方程及 m的值；【答案】依题意知：直线 l是函数 ()lnfx在点 (,0)处的切线，故其斜率1()kf，所以直线 l的方程为 1yx又因为直线 与 ()g的图像相切，所以由 22119()072yxxm，得 2()90m（ 4不合题意，舍去） ；22已知函数 xgkxfln)(,(）求函数 l)(的单调区间；(）若不等式 )(xf在区间 ),0(上恒成立，求实数 k 的取值范围；【答案】 （） ）， （lnxg，故其定义域为 ),0(2l-1)(xg令 0,得 e0令 )(0,得 故函数 xgln的单调递增区间为 ),0(e单调递减区间为 ),(e(） ,0k2lnxk令 2l)(xh又 3ln2-1)(xh令 0解得 e当 x 在 ),(内变化时， )(xh， 变化如下表x ,e),(eh() + 0 -x e21由表知，当 e时函数 )(xh有最大值，且最大值为 e21所以， 21k
