1、3.1.2 用二分法求方程的近似解1二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x) ，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法谈重点 对二分法的理解 (1)二分法就是不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点(2)二分法的理论基础是根的存在性定理【例 11】下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )Ayx7 By5 x1Cylog 3x Dy x2解析：对于A，解方程 x70，得 x7，因此函数 y
2、x7 不一定非得用二分法求零点；对于B，解方程 5x1 0，得 x0，因此函数 y5 x1 不一定必须用二分法求零点；对于C，解方程 log3x 1，得 x1，因此函数 ylog 3x 不是必须用二分法求零点；对于D， 无法通过方程 x0 得到零点故选 D.2答案：D【例 12】下列函数中，不能用二分法求零点的是( )解析：能否用二分法求函数的零点，关键是在零点附近是否存在 x1，x 2 使 f(x1)f(x2)0，从直观上看，就是图象是否穿过 x 轴答案：C点技巧 判断能否用二分法求函数零点的依据 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点是变号零点(
3、即零点两侧某区域内函数值异号)因此用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用2二分法的步骤(1)使用二分法的前提条件是：如果函数 yf( x)在选定的区间a，b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0 ，才能用二分法去求函数的零点(2)给定精确度 ，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证 f(a)f(b)0，给定精确度 ；求区间(a，b)的中点 c；计算 f(c)；a若 f(c)0，则 c 就是函数的零点；b若 f(a)f(c)0，则令 bc(此时零点 x0 (a，c)；c若 f(c)f(b)0，则令 ac (
4、此时零点 x0 (c，b)判断是否达到精确度 ；即若|ab|，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复谈重点 用二分法求函数零点近似值的注意点(1)在第一步中要使：区间a，b 的长度尽量小；f(a)，f( b)的值比较容易计算，且 f(a)f(b)0(2)二分法仅对函数变号零点( 即零点两侧某区域内函数值异号) 适用(3)利用二分法求函数的零点时，要随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算【例 21】用二分法研究函数 f(x)x 33x1 的零点时，第一次计算 f(0)0，f (0.5)0，可得其中一个零点 x0 _，第二次应计算_ 以上横线上应填的内容为( )A(0,0.5)，f(
5、0.25)B(0,1)，f(0.25)C(0.5,1)，f(0.75)D(0,0.5)，f(0.125)解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由 f(0)0，f(0.5)0 知 x0 (0,0.5)，再计算 0 与 0.5 的中点 0.25 处相应的函数值，以判断 x0 的更准确位置答案：A【例 22】用二分法求函数 f(x)3 xx4 的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)0.200 f(1.587 5)0.133 f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003 f(1.556 25)0.029 f(1.550 0)0.060据此数据，可得 f(x)3 xx 4
6、 的一个零点的近似值(精确度 0.01)为_解析：由参考数据知 f(1.562 5)0.0030，f(1.556 25)0.0290，即 f(1.562 5)f(1.556 25)0，且 1.562 51.556 250.006 250.01，函数 f(x)3 xx 4 的一个零点的近似值可取为 1.562 5答案：1.562 5(答案不唯一)3利用二分法求方程的近似解应用二分法求函数零点近似值的方法可以求某些方程的近似解或某些无理数的近似值，其方法是构造函数，转化为求函数零点近似值的问题利用二分法求方程近似解的步骤是：(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n
7、1)，n Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M；(3)区间 M 内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间 M 的一个端点用二分法求方程的近似解要注意的问题：(1)要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大(3)在二分法的第四步，由|ab|，便可判断零点近似值为 a 或 b，即只需进行有限次运算即可(4)用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0 这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值例如，求方
8、程 lg x3x 的近似解 (精确到 0.1)解析：使用计算器或计算机，最好使用几何画板软件，画出函数 ylg x 的图象，利用数形结合的方法估算出方程的解所在的一个区间如图所示，由函数 ylg x 与 y3x 的图象，可以发现，方程 lg x3x 有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3) 内，设 f(x)lg xx3，用计算器计算，得f(2)0，f(3)0 x1 (2,3)，f(2.5)0，f(3)0 x2 (2.5,3)，f(2.5)0，f(2.75)0 x3 (2.5,2.75)，f(2.5)0，f(2.625)0 x4 (2.5,2.625)，f(2.562 5)0，f(2.62
9、5) 0 x5 (2.562 5,2.625)因为 2.625 与 2.562 5 精确到 0.1 的近似值都为 2.6，所以原方程的近似解为 x52.6本题关键是应用数形结合，直观地寻求方程的近似解所在的区间(2,3)，并借助计算器等辅助工具【例 31】求方程 lg x 1 的近似解(精确度 0.1)2x解析：可先作出函数 ylg x 和 y 1 的图象，估算出方程的解所在的一个区间，x再用二分法求解解：如图所示，由函数 ylg x 与 y 1 的图象可知，方程 lg x 1 有唯一2x2x实数解，且在区间(0,1)内设 f(x)lg x 1，f(1) 0，用计算器计算，列表如下：2x2取值
10、区间 中点值 中点函数近似值 区间长度(0,1) 0.5 0.008 1 1(0.5,1) 0.75 0.280 5 0.5(0.5,0.75) 0.625 0.147 5 0.25(0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125由于区间(0.5,0.625)的长度为 0.1250.2，此时该区间中点 0.562 5 与真正零点的误差不超过 0.1，所以函数 f(x)的零点近似值为 0.562 5，即方程 lg x 1 的近似解为 x0.562 52x析规律 利用二分法求方程的近似解的方法 (1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的求方程的
11、近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解(2)对于求形如 f(x)g( x)的方程的近似解，可以通过移项转化为求形如 F(x)f(x) g(x )0的方程的近似解，即转化为求函数 F(x)的零点近似值，利用二分法求解即可【例 32】求方程 3x 0 的近似解(精确度 0.1)1解：原方程可化为 3x 10，即 3x 1在同一坐标系中，分别画出函数 g(x)3 x 与 h(x) 1 的简图，如图所示：g(x)与 h(x)的图象交点的横坐标位于区间(1,0)且只有一个交点，原方程只有一解 xx 0令 f(x)3 x 3 x 1，f(0)11110，f( 0.5) 21 0，33x 0 (
12、0.5,0)用二分法求解，列表如下| 0.375(0.437 5)|0.062 50.1，原方程的近似解可取为0.3754二分法在生活中的应用我们知道，二分法是一种体现了现代信息技术与数学课程的结合，将数学学习与信息技术紧密结合在一起，渗透了算法思想和合理运用科学型计算器、各种数学教育技术平台的方法二分法不仅仅可以用来求解函数的零点和方程的根，还在现实生活中也有许多重要的应用，可以用来处理一些实际应用问题如在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用例如，中央电视台有一档娱乐节目“幸运 52”，主持人给选
13、手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手某次猜一种品牌的手机，手机价格在 5001 000元之间，选手开始报价：1 000 元，主持人说：高了选手紧接着报价 900 元，高了；700 元，低了；880 元，高了；850 元，低了；851 元，恭喜你，猜中了表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间500,1 000的中点 750，如果主持人说低了，就再取区间750,1 000的中点875；否则取另一个区间500,750的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如
14、下：750,875,812,843,859,851，经过 6 次可以猜中价格_【例 41】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条 10 km 长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很大每查一个点要爬一次电线杆子，10 km 长，大约有 200 多根电线杆子呢想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？解析：先检查中间一根电线杆，则将故障的范围缩小一半，再用同样方法依次检查下去解：如图，维修工人首先从中点 C 查用随身带的话机向两端测试时，发现 AC 段正常，断定故障在 BC 段，再到 BC 段中点 D，这次发现 BD 段正常，可见
15、故障在 CD 段，再到 CD 段中点去查每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到 50 m 至 100 m，即一、两根电线杆附近【例 42】某电脑公司生产 A 种型号的笔记本电脑，2008 年平均每台电脑生产成本为 5 000 元，并以纯利润 20%标定出厂价从 2009 年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2012 年平均每台 A 种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2008 年出厂价的 80%，但却实现了纯利润 50%的高效益(1)求 2012 年每台电脑的生产成本；(2)以 2008 年的生产成本为基数，用二分法求 200820
16、12 年生产成本平均每年降低的百分率(精确到 0.01)解：(1)设 2012 年每台电脑的生产成本为 P 元，根据题意，得 P(150%)5 000(120%) 80%，解得 P3 200(元)故 2012 年每台电脑的生产成本为 3 200 元(2)设 20082012 年生产成本平均每年降低的百分率为 x，根据题意，得 5 000(1x) 43 200(0 x1)，令 f(x)5 000(1x) 43 200，作出 x， f(x)的对应值表：x 0 0.1 0.15 0.2 0.3 0.45f(x) 1 800 80.5 590 1 152 2 000 2 742观察上表，可知 f(0.
17、1)f(0.15)0，说明此函数在区间(0.1,0.15)内有零点 x0取区间(0.1,0.15)的中点 x10.125 ，可得 f(0.125)269因为 f(0.125)f(0.1)0，所以 x0 (0.1,0.125)再取区间(0.1,0.125)的中点 x2 0.112 5，可得 f(0.112 5)98因为 f(0.1)f(0.112 5)0，所以 x0 (0.1,0.112 5)同理可得，x 0 (0.1,0.106 25)，x 0 (0.103 125,0.106 25)，x 0 (0.104 687 5，0.106 25)，x0 (0.105 468 75,0.106 25)，由于|0.105 468 750.106 25| 0.01，此时区间的两个端点精确到 0.01 的近似值都是 0.11，所以原方程的近似解为 0.11故 20082012 年生产成本平均每年降低的百分率为 11%
