1、3.4 生活中的优化问题举例问题导学一、面积、容积的最大值、最小值问题活动与探究 1请你设计一个包装盒如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C ，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设 AEFB x(cm) (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值迁移与应用1要做一个圆锥形漏斗，其
2、母线长为 20 cm，要使其体积最大，则其高应为 ( )A cm B100 cm203C20 cm D cm2032将一段长为 100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？利用导数解决几何问题，往往是求体积、面积的最值，首先看清题意，分析几何图形的特征，设出变量，列出目标函数式，注明定义域，再转化为用导数求最值若在定义域内只有一个极值，则这个极值便为最值二、费用最省、用料最省、利润最大问题活动与探究 2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克) 满足关系式 y 10(x6) 2其中 3x6
3、，a 为常数已知销售价格为 5 元/千克时，ax 3每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大迁移与应用为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系： C(x) (0x10) ，若不建隔热k3x 5层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及
4、 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值经济中优化问题的解法：经济生活中，要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动正确表示出函数解析式，然后利用导数求最值，其中把实际问题转化为数学问题，正确列出解析式是解题的关键答案：课前预习导学【预习导引】1利润最大 用料最省 效率最高预习交流 提示：(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量 y 与自变量 x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式 yf(x) ；(2)确定定义域，一定要从问
5、题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围；(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值；(4)下结论，回扣题目，给出完整的答案课堂合作探究【问题导学】活动与探究 1 思路分析：用 x 表示出包装盒的底边长、高，再运用数学知识求最值解：设包装盒的高为 h(cm)，底面边长为 a(cm)由已知得 a x，h (30x )，0x30260 2x2 2(1)S4ah8x(30x )8(x 15)21 800，所以当 x15 时，S 取得最大值(2)Va 2h2 (x 330x 2)， V6 x(20x)2 2由 V0 得 x0(舍) 或 x20当 x(0,20)时，V 0；当 x(20,30
6、)时，V 0所以当 x20 时，V 取得极大值，也是最大值此时 即包装盒的高与底面边长的比值为 ha 12 12迁移与应用 1A 解析：设高为 x cm，则底面半径为 cm，400 x2圆锥体积 V (400x 2)x (cm3)，13 400x x33V ，令 V0，400 3x23得 x 或 x (舍去) ，经判断可得 x (cm)时，V 最大2033 2033 20332解：设弯成圆的一段长为 x cm，另一段长为(100x) cm，记正方形与圆的面积之和为S，则 S 2 2(0x100)，则 S (100x )(x2) (100 x4 ) x2 18令 S0，则 x 100 4由于在(
7、0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和最小值显然存在，故当 x时，面积之和最小100 4故当截得弯成圆的一段长为 cm 时，两种图形面积之和最小100 4活动与探究 2 思路分析：(1)把 x5，y 11 代入关系式中即可求 a；(2)计算出每件的利润，求出总利润函数关系式，运用导数求最值解：(1)因为 x5 时，y11，所以 1011，a2a2(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y 10(x6) 2，2x 3所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x 3) 210(x 3)(x6) 2,3x 62x 3 10x 62从而，f(x) 10(x6) 22(x 3)(x6)
8、30(x 4)(x6)于是，当 x 变化时，f(x )，f(x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6)f(x) 0 f(x) 单调递增 A极大值 42 单调递减 A由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42答：当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大迁移与应用 解：(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为 C(x) ，k3x 5再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x) 403x 5而建造费用为 C1(x)6x最后得隔热层建造费用与 20 年
9、的能源消耗费用之和为 f(x)20C (x)C 1(x)20 6x 6x (0x10)403x 5 8003x 5(2)f(x)6 2 4003x 52令 f(x)0，即 6，2 4003x 52解得 x5 或 x (舍去)253当 0x5 时，f (x)0；当 5x10 时，f(x )0故 x5 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)65 7080015 5当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元当堂检测1以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A10 B15C25 D50答案：C 解析：设内接矩形的长为 x，则宽为 ，254x
10、S 2x 2 y，254y50xx 3令 y0 得 x2 50，x 0(舍去)，S 2625，即 S252某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )A32,16 B30,15C40,20 D36,18答案：A 解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短设场地宽为 x 米，则长为米，512x因此新墙总长 L2x (x0)，则 L2 51251x令 L0，得 x16 或 x16(舍去)此时长为 32(米)，可使 L 最小63已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量
11、x(单位：万件) 的函数关系式为 yx381 x234 ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )1A13 万件 B11 万件C9 万件 D7 万件答案：C 解析：y x 281 ，令 y0，解得 x9 或 x9( 舍去)，当 0x 9 时，y0；当 x9 时，y 0所以当 x9 时，y 取得最大值4某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 (0x60)，则当箱子的容积最260()=V大时，箱子的底面边长为_答案：40 解析：V(x ) ，V(x) x260x2360令 V(x) 0，得 x400x40 时，V (x)0；40x60 时，V (x)0，x40 时，V (x)最大5设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V，则其表面积最小时，底面边长为_答案： 解析：设底面边长为 x，则底面积 ，34 23=4Sx ，2=hSxS 表 ，22343=VVxS表 ，令 S表 0，则 243x3S 表 只有一个极值，故 为最小值点34x提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记
