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类型高中数学人教a选修1-1精品学案附解析:第三章3.3.2 函数的极值与导数.doc

  • 上传人:无敌
  • 文档编号:453257
  • 上传时间:2018-04-06
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    高中数学人教a选修1-1精品学案附解析:第三章3.3.2 函数的极值与导数.doc
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    1、3.3.2 函数的极值与导数问题导学一、求函数的极值活动与探究 1求下列函数的极值:(1)f(x)x 33x 29x 5;(2) f(x) 3ln x3x迁移与应用1如图为 yf( x)的导函数图象,则下列判断正确的是( )f(x)在(3,1) 上为增函数;x1 是 f(x)的极小值点;f(x)在(2,4)上为减函数,在 (1,2)上是增函数;x2 是 f(x)的极小值点A B C D2求函数 f(x)sin x x,x(0,2)的极值12求函数极值的方法:(1)求导数 f(x);(2)求方程 f(x)0 的全部实根;(3)列表,检查 f(x)在方程 f(x)0 的根左、右的值的符号;(4)判

    2、断单调性,确定极值二、求含参数的函数的极值活动与探究 2(1)设 f(x)x 33ax( a0),求函数 f(x)的单调区间与极值点(2)求函数 f(x) x33x 22 在(a1,a1)内的极值( a0)迁移与应用设 x1 与 x2 是函数 f(x)aln xbx 2x 的两个极值点(1)试确定常数 a 和 b 的值;(2)判断 x1,x2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由(1)对于可导函数而言,它的单调递减和单调递增区间的分界点应是其导数符号正负交替的分界点解题时,按照求函数极值的步骤来解,要注意表格的作用,利用表格,可使极值点两边的增减性一目了然,便于求极值(2)如果含

    3、有参数,必要时要对参数的取值进行讨论通常有三类:一类是对 f(x)0 是否有解进行讨论,二是对 f(x) 0 的根是否在所给区间或定义域内进行讨论,三是对 f(x)0 在所给区间或定义域内的根大小进行讨论三、由函数的极值确定参数的值活动与探究 3(1)已知函数 f(x)x aln x 在 x1 处取得极值,则 a 与 b 满足的关系式为_bx(2)已知函数 f(x)ax 3bx 23x 在 x1 处取得极值,求 a,b 的值,并确定 f(1)和 f(1) 是函数的极大值还是极小值迁移与应用1已知函数 yax 3bx 2,当 x1 时,有极大值 3(1)求 a,b 的值;(2)求函数 y 的极小

    4、值2已知函数 f(x) x3bx 2cxbc,如果函数 f(x)在 x 1 处有极值 ,求 b,c 的13 43值已知一个函数,可以用单调性研究它的极值反过来,已知函数的极值,可以确定函数解析式中的参数,解这类问题,通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值需注意的是,可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取到极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件答案:课前预习导学【预习导引】1(1)f(x)0 f(x)0 (2)f(x) 0 f(x)0 极大值点 极小值点 极大值 极小值预习交流 1 提示:(1)对于可导函数

    5、来说,yf( x)在极值点处的导数为 0,但导数为 0 的点不一定是极值点例如,函数 yx 3 在 x0 处,f(0)0,但 x0 不是函数的极值点(2)可导函数 yf(x )在 x0 处取得极值的充要条件是 f (x0)0,且在 x0 的左侧与右侧,f(x)的符号不同(3)若函数 yf(x )在(a,b)上有极值,则 yf( x)在(a,b)上不是单调函数,即在区间上的单调函数没有极值例如,函数 yx 2 在 2,2上有极值,其单调性是先减后增;函数 yx 3 在 R上是单调递增函数,没有极值(4)函数 f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个,也可能没有函数的极大值与极小值没有必然的大小关

    6、系,函数的一个极小值也不一定比极大值小预习交流 2 提示:1 5课堂合作探究【问题导学】活动与探究 1 思路分析:先求 f(x)0 时 x 的值,然后列表,根据极值的定义判断在这些点处的极值情况解:(1)函数 f(x)x 33x 29x 5 的定义域为 R,且 f(x)3x 26x9解方程 3x26x90,得 x11,x 23当 x 变化时,f(x )与 f(x)的变化情况如下表:x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)f(x) 0 0 f(x) 单调递增 A10 单调递减 A22 单调递增 A因此,x1 是函数的极大值点,极大值为 f(1)10;x 3 是函数的极小值点,极小值为 f(3)

    7、22(2)函数 f(x) 3ln x 的定义域为(0,),3xf(x) ,3x2 3x 3x 1x2令 f(x)0,得 x1当 x 变化时,f(x ),f(x )的变化情况如下表:x (0,1) 1 (1,)f(x) 0 f(x) 单调递减 A极小值 3 单调递增 A因此当 x1 时,f( x)有极小值 3,无极大值迁移与应用 1B 解析:x(3,1)时,f( x)0,x (1,2)时,f(x)0,f(x )在(3, 1)上为减函数,在( 1,2)上为增函数,不对;x 1 是 f(x)的极小值点;x(2,4)时,f (x)0,f(x )是减函数;x2 是 f(x)的极大值点故正确2解:f(x)

    8、 cos x ,令 f(x)cos x 0,12 12得 cos x 12又x(0,2),x 或 x 23 43当 x 变化时,f(x ),f(x )的变化情况如下表:x (0,23) 23 (23,43) 43 (43,2)f(x) 0 0 f(x) 单调递增 A极大值32 3 单调递减 A极小值23 32 单调递增 A当 x 时,f(x )取极大值 ;23 32 3当 x 时,f(x )取极小值 43 23 32活动与探究 2 (1)思路分析:求单调区间时,注意对参数 a 的讨论,以便确定 f(x)的符号解:f(x) 3( x2a)( a0)当 a0 时,f(x)0 恒成立,即函数 f(x

    9、)在(,)上单调递增,此时函数 f(x)没有极值点当 a0 时,令 f(x)0,得 x1 ,x 2 a a当 x 变化时,f(x )与 f(x)的变化情况如下表:x (, )a a ( , )a a a ( , )af(x) 0 0 f(x) 单调递增 Af( )a 单调递减 Af( )a 单调递增 A因此,函数 f(x)的单调递增区间为( , )和( , ),单调递减区间为( , ),a a a a此时 x 是 f(x)的极大值点,x 是 f (x)的极小值点a a(2)思路分析:求出 f(x)在 R 上的单调区间,判断区间(a1,a1)与 f(x)单调区间的关系,分类讨论求解解:由 f(x

    10、)x 33x 22 得 f(x)3x(x2),令 f(x)0 得 x0 或 x2当 x 变化时,f(x ),f(x )的变化情况如下表:x (,0) 0 (0,2) 2 (2,)f(x) 0 0 f(x) 单调递 增 A极大值 单调递 减 A极小值 单调递 增 A由此可得:当 0a1 时,f(x )在(a1,a1)内有极大值 f(0)2,无极小值;当 a1 时,f(x )在(a1,a1)内无极值;当 1a3 时,f(x )在(a1,a1)内有极小值 f(2)6,无极大值;当 a3 时,f(x )在(a1,a1)内无极值综上得:当 0a1 时,f(x )有极大值2,无极小值;当 1a3 时,f(

    11、x )有极小值6,无极大值;当 a1 或 a3 时,f(x )无极值迁移与应用 解:(1)因为 f(x)aln xbx 2x,所以 f(x) 2 bx1ax由极值点的必要条件可知:f(1)f(2) 0,即Error!解方程组得 a ,b 23 16(2)由(1)知 f(x) ln x x2x (x0),23 16故 f(x) x1 x123 13当 x(0,1)时,f(x)0;当 x(1,2)时,f(x)0;当 x(2 , )时,f(x)0故在 x1 处函数 f(x)取得极小值 ,在 x2 处函数取得极大值 ln 256 43 23所以 x1 是函数 f(x)的极小值点,x2 是函数 f(x)

    12、的极大值点活动与探究 3 (1)思路分析:利用“若函数 yf( x)在 xx 0 取得极值,则 f(x0)0”求 a与 b 满足的关系式ab1 解析:f(x)1 ax bx2x1 时,函数 f(x)取得极值,f(1)0ab1(2)思路分析:由函数 f(x)在 x1 处取得极值,则 f(1)0,f (1)0,列方程组求出a,b 的值,再判断 f(x)的单调性,确定 f(1),f(1)是极大值还是极小值解:f(x) 3ax 22bx3,依题意 f(1)f(1)0,即Error!解得 a1,b0,f(x)x 33x,f(x)3x 233(x1)(x 1)令 f(x)0,得 x11,x 21,当 x

    13、变化时,f(x ),f(x )的变化情况如下表:x (,1) 1 (1,1) 1 (1,)f(x) 0 0 f(x) 单调递增 A极大值 单调递减 A极小值 单调递增 Af(1)2 是极大值,f(1) 2 是极小值迁移与应用 1解:(1)当 x1 时,函数有极大值 3,Error!Error!解之,得 a6,b9(2)f(x)18x 218x 18x( x1)当 f(x)0 时, x0 或 x1当 f(x)0 时, 0x 1;当 f(x)0 时, x0 或 x1函数 f(x)6x 39x 2 的极小值为 f(0)02解:f(x) x22bxc ,由 f(x)在 x1 处有极值 ,43可得Err

    14、or!解得Error!或Error!若 b1,c1,则 f(x)x 22x1( x 1)20,此时 f(x)没有极值;若 b1,c3,则 f(x)x 22x3( x 3)(x1)当 x 变化时,f(x),f(x )的变化情况如下表:x (,3) 3 (3,1) 1 (1,)f(x) 0 0 f(x) 单调递减 A极小值12 单调递增 A极大值43单调递减 A当 x1 时,f( x)有极大值 ,43故 b1,c3 即为所求当堂检测1设函数 f(x) ln x,则 ( )2A 为 f(x)的极大值点=B 为 f(x)的极小值点2Cx2 为 f(x)的极大值点Dx2 为 f(x)的极小值点答案:D

    15、解析:由 f(x) 0 可得 x2当 0x2 时,f(x)21=x0,f(x )单调递减;当 x2 时, f(x)0,f( x)单调递增故 x2 为 f(x)的极小值点2已知函数 y|x 21|,则( )Ay 无极小值,且无极大值By 有极小值1,但无极大值Cy 有极小值 0,极大值 1Dy 有极小值 0,极大值1答案:C 解析:函数 y|x 21|的大致图象如图所示函数 y 有极小值 0,极大值 1故选 C3设 f(x)x( ax2bx c),其中 a0,并且在 x1 或 x1 处均有极值,则下列点中一定在 x 轴上的是 ( )A(a, b) B(a,c ) C( b,c) D(ab,c)答

    16、案:A 解析:f(x )ax 3 bx2cx,f(x) 3ax 22bx c又在 x1 或 x1 处 f(x)取极值,x1 或 x1 是方程 3ax22bxc0 的两根 ,b 02=3a点(a,b) 在 x 轴上4如果函数 yf( x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:函数 yf( x)在区间 内单调递增;13,2函数 yf( x)在区间 内单调递减;1,32函数 yf( x)在区间 (4,5)内单调递增;当 x2 时,函数 yf(x )有极小值;当 时,函数 yf( x)有极大值=则上述判断正确的是_(填序号)答案: 解析:函数的单调性由导数的符号确定,当 x( , 2)时,f(x)0,

    17、所以 f(x)在(,2)上为减函数,同理 f(x)在(2,4) 上为减函数,在(2,2)上是增函数,在(4 , )上为增函数,所以可排除和,可选择由于函数在 x2 的左侧递增,右侧递减,所以 x2 时,函数有极大值;而在 的左右两侧,函数的导数都是正数,故函数在 的左右两侧均为增函数,1= 1=2x所以 不是函数的极值点排除和2x5已知函数 f(x)x 3ax 23ax1 在区间(,)内既有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是_答案:a0 或 a9 解析:f(x )3x 22ax3a,当 f(x)在(,) 上既有极大值又有极小值时,4a 236a0,a0 或 a9提示:用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记

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