1、3.2.2 函数模型的应用实例1用已知函数模型解决实际问题解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答解决此类型函数应用题的基本步骤是：第一步：阅读理解，审清题意读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题第二步：根据所给模型，列出函数关系式根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题第三步：利用数学方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果第四步：再将所得结
2、论转译成具体问题的解答【例 1】我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花经测定，古莲子出土时 14C(半衰期为 5 730 年)的残余量占原始含量的 87.9%，试推算古莲子的生活年代(经过科学鉴定，若 14C 的原始含量为 Q0，则经过 t 年后的残余量 Q 与 Q0 之间满足 QQ 0ekt )解析：利用半衰期求出参数 k，再根据出土的古莲子 14C 的残余量求出古莲子的生活年代解：已知残余量 Q 与 Q0 之间满足 QQ 0ekt ，其中 Q0 是初始量，t 是时间因为半衰期为 5 730 年，即当 时，t5 73012所以 e5 730k ，解得 k0.
3、000 12所以 QQ 0e0.000 12t 12由题目条件得 87.9%，代入上式，解得 t1 0750Q故古莲子的生活年代约是 1 075 年前2建立函数模型解决实际问题通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：第一步：收集数据第二步：根据收集到的数在平面直角坐标系内画出散点图第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型第四步：选择其中的几组数据求出函数模型第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际若不符合实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步第六步：用求得的函数模型去解释实际问题【例 2】在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组
4、数据：x 2.0 1.0 0 1.00 2.00 3.00y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02则 x，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？( 其中 a，b 为待定系数)( )AyabxByb xCy b2Dy x解析：散点图如图所示：由散点图可知，此函数图象不是直线，排除 A 选项；此函数图象是“上升”的，因此该函数为增函数，排除 C，D 选项，故选择 B答案：B3已知函数模型的应用题(1)常用到的函数模型：正比例函数模型：ykx( k 0)；反比例函数模型：y (a0)；cxdb一次函数模型：ykxb( k 0)；二次函数模型：yax 2bx c(a0)；指数函数模型：y
5、m axb(a0，且 a1，m0)；对数函数模型：ymlog axc (m0，a0，且 a1)；幂函数模型：yk xnb(k0)(2)二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，必将在高考舞台中扮演愈来愈重要的角色_【例 31】在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 v(m/s)和燃料的质量 M(kg)、火箭(除燃料外) 的质量 m(kg)的关系式为 当燃料质量是火箭质量的多少倍2 0ln1Mvm时，火箭的最大速度可达 12 km/s?解：由 12 000 ，即 6 ，20ln1l1 e 6，利用计算器算得 402M故当燃料质量约是火
6、箭质量的 402 倍时，火箭的最大速度可达 12 km/s【例 32】现有甲、乙两桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有 a L 水，t min 后，剩余水 y L 满足函数关系式 yae nt ，那么乙桶的水就是 yaae nt ，假设经过 5 min，甲桶和乙桶的水相等，则再经过_min，甲桶中的水只有 L8解析：由题意可得 5 min 时，ae 5n ，解得 121ln25那么剩余水 y L 满足的函数关系式为 l 2tyae由 ，解得 t151ln25e8ta因此，再经过 10 min 后，甲桶中的水只有 L8a答案：10点技巧 解决已知函数模型应用题的方法 一般来说，若题中已给出了函数
7、模型，通常利用条件列方程(组)，解得解析式中的参数的值，这样已知的函数模型完全确定，再将实际问题转化为求函数的函数值或最值等常见的函数问题来解4一次函数模型的应用现实生活中很多事例可以用一次函数模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长和拉力的关系等对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长，即为增函数，一次项系数为负时为减函数一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理【例 4】某列火车从北京西站开往石家庄，全程 277 km火车出发 10 min 开出 13 km 后，以 120 km/h 匀速行驶试写出火车行驶的
8、总路程 s 与匀速行驶的时间 t 之间的函数关系式，并求离开北京 2 h 时火车行驶的路程解析：由“匀速行驶”可知总路程 s 关于时间 t 的函数为一次函数，注意时间 t 的范围限制解：因为火车匀速行驶的时间为 (h)，所以 0t 27130515因为火车匀速行驶 t h 所行驶的路程为 120t km，所以火车行驶的总路程 s 与匀速行驶的时间 t 之间的函数关系式为 s13120t 故离开北京 2 h 时火车行驶的路程 s13120 233(km)165二次函数模型的应用(1)在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的
9、单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最省问题(2)在应用题中能够列出函数的解析式解答应用题的实质是要转化题意，寻找所给条件含有相等关系的关键词，用等式把变量联系起来，然后再整理成函数的解析式的形式常用的方法有：待定系数法：题目给出了含参数的函数关系式，或可确定其函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中相关参数(未知系数)的值，就可以得到确定的函数解析式归纳法：先让自变量 x 取一些特殊值，计算出相应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数解析式方程法：用 x，y 表示自变量及其他相关的量，根据问题的实际意义，运用掌握的数学、物理等方面的知识，列出 x，
10、y 的二元方程，把 x 看成常数，解方程得 y(即函数关系式)，此种方法形式上和列方程解应用题相仿，故称为方程法_【例 51】有 A，B 两城相距 100 km，在 A，B 两城之间距 A 城 x km 的 D 地建一核电站给这两城供电为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于 10 km已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数 0.25若 A 城供电量为 20 亿度/月，B 城供电量为10 亿度/月(1)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数，并求定义域；(2)核电站建在距 A 城多远时，才能使供电费用最小？解：(1)由题意：y 0.2520x 210(100x) 2 x10，
11、且21057.53x100x10， 10x 90函数的定义域为10,90(2)由二次函数知当 时，y 最小，103x因此当核电站建在距离 A 城 km 时，供电费用最小【例 52】某企业实行裁员增效，已知现有员工 a 人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收 0.01 万元，但每年需付给每位下岗工人 0.4 万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的 ，设该企业裁员 x 人后年纯收益为 y 万元34(1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围(2)当 140a280 时，该企业应裁员多少人，
12、才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁员)解：(1)由题意可知，y(a x)(10.01x)0.4x 211400axxaax ，x ，即 x 的取值范围是区间 中的自然数34a,(2) ，且 140a280，当 a 为偶数22117700ay时，x 70 ，y 取最大值2当 a 为奇数时，x 70，y 取最大值(尽可能少裁人，舍去 )12a 1702x当员工人数为偶数时，裁员 人，才能获得最大的经济效益；70当员工人数为奇数时，裁员 人，才能获得最大的经济效益12a6指数函数模型的应用(1)实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题
13、常可以用指数函数模型来表示，在建立函数模型时注意用区分、列举、归纳等方法来探求内在的规律(2)当实际应用题中没有给出函数模型而函数模型又唯一时，其解题步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景；第二步：恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；第三步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；第四步：将所得函数问题的解还原成实际问题的结论(3)解决函数应用题关键在于理解题意，这就要求：一要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；二要不断拓宽知识面，提高自己的间接生活阅历；三要抓住题目中的关键
14、词或关键量，特别是关于变量的相等关系，这是函数解析式的原型【例 6】有一种放射性元素，因放出射线，其质量在不断减少，经测算，每年衰减的百分率相同若该元素最初的质量为 50 g，经过一年后质量变为 40 g(1)设 x(x0)年后，这种放射性元素的质量为 y g，写出 y 关于 x 的表达式；(2)求经过多长时间，这种放射性元素的质量变为原来的一半？(精确到 0.1 年，参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)思路解析：本题属于降低率问题，建立指数函数模型解决解：(1)由题意可知每经过一年该放射性元素衰减的百分率为 20%，故504y50(1 20%) x，则 y500.8 x
15、(x0) (2)由题意知 500.8x25，即 0.8x0.5，则 lg 0.8xlg 0.5，从而可知 xlg 0.8lg 0.5因此 x 3.1lg0.5l20.31839故约经过 3.1 年这种放射性元素的质量变为原来的一半析规律 指数函数模型的应用 在实际问题中，有关增长率(减少率)问题常常用指数函数模型表示通常可以表示为 yN(1p) x，其中 N 为基础数，p 为增长率(减少率) ，x 为时间，增长率问题取“”，减少率问题取“”7对数函数模型的应用形如 ylog ax(a0，且 a1)的函数是对数函数，a1 时，此函数为增函数；0a1 时，此函数为减函数虽然直接以对数函数作为模型的
16、应用问题不是很多，但我们要知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算_【例 7】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v ，单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量25log10Q(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度 v0，代入题给公式可得 0 ，解25log1Q得 Q10故燕子静止时的耗氧量是 10 个单位(2)将耗氧量 Q80 代入题给公式得 v 5log 2815(m/s)25log1故当一只
17、燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度为 15 m/s8分段函数模型的应用由于分段函数与日常生活联系紧密，已成为考查的热点；对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”例如，某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元，但实际出厂单价不能低于 51 元试写出订购量与实际出厂单价的函数关系式解：设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时，一次订购量为 1
18、00 550 个6051.2因此，当一次订购量为 550 个时，每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元设一次订购量为 x 个，零件的实际出厂单价为 P 元，当 0x100 时，P 60，当 100x550 时，P 600.02( x100)62 ，50x当 x550 时，P 51，所以 Pf( x)6,01,2,5,.x【例 8】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 t 时，每吨为 1.80 元，当用水超过 4 t 时，超过部分每吨 3.00 元，某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为 5x,3x(1)求 y 关于 x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交
19、水费 26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费解：(1)当甲的用水量不超过 4 t，即 5x4 时，乙的用水量也不超过 4 t，y (5x 3x)1.814.4x；当甲的用水量超过 4 t，乙的用水量不超过 4 t，即 3x4 且 5x4 时，y41.803x1.803(5x4)20.4x4.8；当甲、乙的用水量都超过 4 t，即 3x4 时，y24x 9.6故1., 0,520.8, ,3449.6, .yx(2)由于 yf(x)在各段区间上均为单调递增函数，当 x 时，y 11.5226.4；0,55f当 x 时，y 22.426.4；4,343当 x 时，令 24x9.626.
20、4，解得 x1.5，,因此 5x7.5，甲户用水量为 7.5 t，甲应付费 s141.803.5317.70(元)3x4.5，乙户用水量为 4.5 t乙应付费 s241.800.538.70(元)点技巧 分段函数解析式的求法 分段函数的每一段的自变量变化所遵循的规律不同，可先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，从而写出函数的解析式要注意各段自变量的变化范围，特别是端点值9拟合函数模型的应用(1)此类题目的解题步骤作图：根据已知数据作出散点图画散点图时，首先确定自变量和因变量，再以自变量的值为横坐标，以观察到的对应的因变量的值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点当然，如
21、果条件允许，最好借助于计算机画出最准确的散点图选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图象形状，利用“假设”，找出比较接近的函数模型这要求会根据图象形状估计函数模型：图象是直线，那么函数模型是一次函数模型 ykxb(k 0)；图象是抛物线，那么函数模型是二次函数模型 yax 2bx c (a0)；图象位于某条垂直于 y 轴的直线一侧，与 y 轴相交，且是“上升”的或“下降”的，那么函数模型是指数函数模型；图象位于某条垂直于 x 轴的直线一侧，与 x 轴相交，且是“上升”的或“下降”的，那么函数模型是对数函数模型根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式利用函数关系式，根据条件对所
22、给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据(2)关于“假设”问题就一般的数学建模来说，是离不开“假设”的，如果在问题的原始状态下不作任何“假设”，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了“假设”的作用主要表现在以下几个方面：进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用通常初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗在“假设”时就可以设这些因素不需考虑降低解题难度经过适当的“假设”可以建立数学模型，使问题简单化，从而得到相应的解一般情况下，最先在最简单的情形下组建模型，然后
23、通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解【例 9】某个体经营者把开始六个月试销 A，B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资 A 商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40投资 B 商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51该经营者准备下月投入 12 万元经营这两种商品，但不知投入 A，B 两种商品各多少万元才合算请你帮助设计一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有
24、效数字)解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：观察散点图可以看出：A 种商品的所获纯利润 y 与投资额 x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图所示：取(4,2)为最高点，则 ya(x 4) 22，再把点(1,0.65)代入，得 0.65a(1 4) 22，解得a0.15故 y0.15( x4) 22B 种商品所获纯利润 y 与投资额 x 之间的变化规律是线性的，可用一次函数模型模拟，如图所示：设 ykxb，取点(1,0.25) 和(4,1)代入得 0.5,14kb解得 0.25,k故 y0.25x因此前 6 个月所获纯利润 y 关于月投资 A 种商品的金额 x 的函数关系式是 y0.15( x4)22；前 6 个月所获纯利润 y 关于月投资 B 种商品的金额 x 的函数关系式是 y0.25x设下月投入 A，B 两种商品的资金分别为 xA，x B(万元)，总利润为 W(万元) ，则212,0.5(4)0.5,AWyx于是 W0.15 0.15 2.6，962196当 xA 3.2(万元) 时，W 取最大值，约为 4.1 万元196此时 xB8.8(万元)故该经营者下月把 12 万元中的 3.2 万元投资 A 种商品，8.8 万元投资 B 种商品，可获得最大利润约为 4.1 万元
