1、3.2.1 几类不同增长的函数模型1一次函数的增长问题一次函数 ykxb( k0)在区间(0，)上是增函数，其增长的速度不变，k 越大，其增长得越快【例 1】下列函数增长速度最快的是( )Ayx1By2x1Cy6x5Dy20x7解析：四个选项中的函数都是一次函数，且系数 k 均为正数，选项 D 中 k20 最大，则函数 y20x7 增长速度最快答案：D2对数函数的增长问题对数函数 ylog ax(a1)在区间(0，)上是增函数，其增长的速度较慢，随着 x 的增大，ylog ax 的图象类似于与 x 轴“ 平行”一样，如图所示其底数 a 越小，增长的速度越快【例 2】下列函数增长速度最快的是(
2、)Aylog 2x Bylog 6xCylog 8x Dylg x解析：四个选项中的对数函数在区间(0，)上均是增函数，选项 A 中 ylog 2x 的底数 2最小，则函数 ylog 2x 增长速度最快答案：A3幂函数的增长问题幂函数 yx n(n0)在区间(0 ，)上是增函数，其增长速度较快，其图象如图所示 (在第一象限内) ，其指数 n 越大，增长的速度越快【例 3】下列函数中增长速度最快的是( )Ayx 2 Byx 3Cyx 4 Dyx 7解析：四个选项中的函数都是幂函数，且指数均为正数，选项 D 中 yx 7 的指数 7 最大，则函数 yx 7 的增长速度最快答案：D4指数函数的增长问
3、题指数函数 y=ax(a1)在区间(0，+)上是增函数，其增长速度最快，其图象如图所示(在第一象限内) 其底数 a 越大，增长的速度越快【例 4】下列函数中，增长速度最快的是( )Ay2 x By3 x Cy5 x Dy 10 x解析：四个选项中的函数都是指数函数，且底数均大于 1，D 项中底数 10 最大，则函数y10 x的增长速度最快答案：D5几类不同增长的函数模型的比较(1)指数函数、对数函数、幂函数的增长趋势比较(2)我们知道，对数函数 ylog ax(a1)，指数函数 ya x(a1)与幂函数 yx n(n0) 在区间(0， )上都是增函数这三类函数的增长是有差异的，我们不妨以函数y
4、2 x， yx 2， ylog 2x 为例进行探究在同一坐标系内，作出函数图象，如图 1观察归纳结论：y2 x和 yx 2 都比 ylog 2x 增长得快，但是 y2 x与 yx 2 的增长情况区分度不明显观察 y2 x和 yx 2 的增长情况在同一坐标系内画出函数 y2 x和 yx 2 的图象，如图 2观察归纳结论：从图上可观察到 y2 x与 yx 2 有两个交点，有时 2xx 2，有时 x22 x，但是当自变量越来越大时，可以看到 2x的值快速增长，x 2 比起 2x来，几乎是微不足道的一般地，对于指数函数 ya x(a1)和幂函数 yx n(n0)，通过探索可以发现，在区间(0， )上，
5、无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定变化范围内， ax会小于 xn，但由于 ax的增长快于 xn的增长，因此总存在一个 x0，当 xx 0 时，就会有 axx n(3)观察 y=x2 和 y=log2x 的增长情况在同一直角坐标系内画出函数 y=x2 和 y=log2x 的图象观察归纳结论：在区间(0，+)上，总有 x2log 2x对于对数函数 y=logax(a1)和幂函数 y=xn(n0)，在区间(0， +)上，随着 x 的增长，logax 增长得越来越慢，图象就逐渐接近与 x 轴平行，尽管在 x 的一定变化范围内，log ax 可能会大于 xn，但由于 logax 的增长慢于 x
6、n的增长，因此总存在一个 x0，当 xx 0 时，就会有logaxx n综上所述，在区间(0，+)上，尽管函数 y=ax(a1)，y =logax(a1) 和 y=xn(n0) 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着 x 的增大，y =ax(a1) 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y=xn(n0)的增长速度，而 y=logax(a1) 的增长速度则会越来越慢，总会存在一个 x0，当 x x0，就有 logaxx na x【例 51】当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )Ay100x Bylog 100xCyx 100 Dy100 x解析：由于指
7、数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来越大时，函数 y100 x增长速度最快答案：D【例 52】当 2x4 时，2 x，x 2，log 2x 的大小关系是( )A2 x x2log 2x Bx 22 xlog 2xC2 xlog 2x x2 Dx 2log 2x2 x解析：本题主要考查三种递增函数增长的差异，以及应用函数解决问题的能力思路 1：在同一平面直角坐标系中画出函数 ylog 2x，y x 2，y2 x的图象，在区间(2,4)上从上往下依次是 yx 2，y2 x，y log 2x 的图象，所以 x22 xlog 2x思路 2：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法，
8、可取 x3经检验易知选 B答案：B6体会指数函数的增长速度(1)感受直线上升、对数增大、指数爆炸以 ykxb( k0)，y log ax(a1)，y mx (0)，yma x(a1)为例，结合图象比较它们的增长情况通过实例结合图象初步发现：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快通过计算器或计算机得出多组数据，结合函数图象(图象可借助于现代信息技术手段画出 )进一步体会：直线上升，其增长量固定不变；指数增长，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法企及的随着自变量的不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这种差距大得惊人，所以“指数增大”
9、可以用“指数爆炸”来形容；对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上升(2)一般的分析方法是：在同一坐标系下正确、规范地作图；找到不同函数图象的交点；注重每种函数自身的单调性；整体把握；抓住各种增长模型的增长速度(3)三种递增函数中，由于指数函数增长得最快，因此，当自变量充分大时，指数函数值最大，但必须是达到一定程度因此判断一个增函数是否为指数型函数时，要比较自变量增加到一定程度时，自变量增加相同的量，函数值的增长量是否为最大，若是，则这个函数就可能是指数型函数【例 61】四个变量 y1，y 2，y 3，y 4 随变量 x 变化的数据如下表：x 1 5 10 15 20
10、 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05106 3.36107 1.07109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907关于 x 呈指数函数变化的变量是_解析：从表格观察函数值 y1，y 2，y 3，y 4 的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x 呈指数函数变化以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量 y1，y 2，y 3，y 4 均是从 2 开始变化，变量 y1，y 2，y 3，y 4 都是越来越大，但是增长速
11、度不同，其中变量 y2 的增长速度最快，画出它们的图象( 图略)，可知变量 y2 关于 x 呈指数函数变化故填 y2答案：y 2点技巧 函数模型的判断依据 在线性函数、指数函数、对数函数、幂函数四种递增函数中，线性函数的增长速度不变，当自变量充分大时，指数函数增长得最快，对数函数增长较为平缓，幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间因此，判断一个增函数为某个函数模型的依据是函数值增长量的变化【例 62】某学校为了实现 100 万元的生源利润目标，准备制订一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到 5 万元时，按生源利润进行奖励，且奖金 y 随生源利润 x 的增加而增加，但奖金总数不超过 3
12、万元，同时奖金不超过利润的 20%现有三个奖励模型：y0.2x，ylog 5x，y1.02 x，其中哪个模型符合该校的要求？解析：作出函数 y0.2x ，ylog 5x，y1.02 x的图象，利用图象求解解：在同一平面直角坐标系中作出函数 y0.2x，y log 5x，y1.02 x的图象( 图略)观察图象可知，在区间5,100内，函数 y0.2x ，y1.02 x的图象都有一部分在直线 y3 的上方，只有函数 ylog 5x 的图象始终在直线 y3 和 y90.2x 的下方，这说明只有按模型 ylog 5x 进行奖励才符合学校的要求点技巧 选择函数模型的方法 根据实际情况选择函数模型的一般思
13、路是：先画出散点图，作出模拟函数的图象，然后根据实际情况选择合适的函数模型7图象信息迁移问题用函数图象分析函数模型是一种常见的题型，是高考中一道亮丽的风景线主要考查学生识图的能力，利用图象信息分析问题和解决问题的能力这类问题应结合图象的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值等) 即可得到完美的解决例如：一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示，某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丙所示给出以下 3 个论断：0 点到 3 点只进水不出水；3 点到 4 点不进水只出水；4 点到 6点不进水不出水，则一定正确的是( )A
14、 BC D解析：由甲、乙两图可知，进水速度是出水速度的 ，所以 0 点到 3 点只进水不出水3 点12到 4 点有一个进水口进水，一个出水口出水4 点到 6 点，两个进水口和一个出水口可以同时进水和出水或者两个进水口和一个出水口不进水也不出水因此一定正确的是故选 A答案：A_【例 71】下图所示的是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的有 ( )(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；(2)人民生活费收入增长最快的一年是 2009 年；(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是 2010 年；(4)虽然 2011 年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较
15、大的改善A1 项 B2 项 C3 项 D4 项解析：由题意，“生活费收入指数”减去“生活费价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在 20092010 年最陡，故(2)正确；“生活费价格指数”在20102011 年最平缓，故(3)不正确；由于“生活费价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故(4)正确答案：C【例 72】某天 0 时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常(正常体温为 37 )，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了下面能大致反映出小鹏这一天(0 时至 24 时)体温变化情况的图象是( )解析
16、：观察图象 A，体温逐渐降低，不符合题意；图象 B 不能反映“下午他的体温又开始上升”；图象 D 不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”综上，只有 C 是正确的答案：C【例 73】函数 f(x)2 x和 g(x)x 3 的图象如图所示设两函数的图象交于点 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)，且 x1x 2(1)请指出图中曲线 C1，C 2 分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断 f(6)， g(6)，f(2 013)，g(2 013)的大小解析：(1)随着自变量 x 的增大，图象位于上方的函数是指数函数 y2 x，另一个函数就是幂函数 yx 3解：(1)C 1 对应的函数为 g(x) x3，C 2 对应的函数为 f(x)2 x(2)f(1)g(1)， f(2)g(2)，f(9)g(9) ，f(10)g(10)，1x 12,9x 210x 16x 2,2 013x 2从图象上可以看出，当 x1x x 2 时，f(x)g(x )，f(6)g(6)当 xx 2 时，f(x )g(x )，f(2 013)g(2 013)又 g(2 013)g(6)，f(2 013)g(2 013)g(6)f(6)
