1、解析几何常考要点与核心内容一 直线与圆要求：熟练掌握基础知识直线与方程，圆与方程，倾角，斜率，两直线平行与垂直的判定，圆的几何性质，点到直线距离公式等这一内容的相关题目一考查基础知识，基本技能为主复习时注意：熟练掌握直线方程的求法，注意点到直线距离公式的应用.注意利用圆的几何性质解决与圆有关的问题(提示：垂径定理，相交弦定理，切割线定理等).对称问题中点 P 与 关于直线 l 对称的充要条件是： 中点在 l 上且 与 l 垂直. PP注意数形结合思想的应用.二 圆锥曲线曲线与方程：会利用已知条件求解曲线方程，求解时注意讨论取值范围.椭圆与双曲线：注意：椭圆与双曲线几何性质的异同.往往处理问题的
2、方式是一样的.相关定义，如实轴，虚轴，实半轴，虚半轴，长轴，短轴，长半轴，短半轴，离心率等.注意相关几何性质：第一定义，第二定义，对称性等.要求：会求解相关方程(这类题目在高考中常见).会求双曲线渐进线.注意求解离心率与离心率取值范围的题目(这类题目在高考中常见).解决焦点三角形相关问题时，利用好第一定义，余弦定理和面积公式.PS ：设圆锥曲线上有一点 P，圆锥曲线焦点分别为 F1，F 2，对于F 1PF2注意以下三个式子： 角 的 正 弦 值一 倍 的 两 边 长 积 乘 以 夹三 角 形 面 积 等 于 二 分 之面 积 公 式余 弦 定 理定 义 式 的 平 方抛物线：注意：定义及方程形
3、式，注意与二次函数 yax 2 的区别与联系.当圆锥曲线方程确定时，焦半径长由焦点及焦半径与 x 轴所成角唯一确定.特别的：设 P 为抛物线 y22px (p0)上一点，F 为焦点， 为 PF 与 x 轴正方向所成的角，则有： .cos1pF三 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线相切：主要考察抛物线的切线，要求会求切线(一般利用求导的方法).注：抛物线 x22py (p0)中，过定点(m ，0)(m0)的直线交抛物线于 A，B 两点.过 A，B 做抛物线的切线，交于点 C 则点 C 过定直线.注：圆锥曲线切线的一些性质：P 为椭圆 上一点，F 1，F 2 为椭圆焦点，则过 P 点的切线的法12bya
4、线平分 (即切线平分 的外角)21PF21PFP 为双曲线 上一点，F 1，F 为其焦点，则过 P 点的切线平分2byax0,bF 1PF2P 为抛物线 y22px (p 0)上一点，F 为其焦点，则过 P 点的切线的法线平分 PF 与水平线(这里指与 x 轴平行的直线)的夹角.光学性质：抛物面镜，可将焦点处电光源发射的光反射成平行光.直线与圆锥曲线有两个交点：直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，题目主要以解答题形式出现.常见的有求弦长，焦点弦长，弦中点问题，取值范围最值等问题.希望同学们在解决问题时注意利用一元二次方程相关结论(判别式，韦达定理)，函数的性质(主要是单调性)，不等式，平
5、面向量等知识. 这类题目重在考察学生基本的数学素质与数学能力，难度多为中等偏难题，运算量思维量大，综合性较强.注：常见问题的解决方法(这里设直线 l 截圆锥曲线 F(x，y)0，交 F(x，y )0 于两点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2).)韦达定理弦长公式 2121 ABABkkAB中点弦，弦中点AB 中点 M(x0，y 0)与 AB 斜率的关系将 A，B 坐标代入圆锥曲线方程，这里以双曲线 为例，代入12byax0,bA，B 坐标后得到二等式：12byax0,b2,二式相减，得02121byax利用平方差公式，化简后得到等式：2121yxxy从而有 02bakAB焦半径与焦点弦焦
6、半径公式对于圆锥曲线 C，P 为 C 上一点，F 为 C 的焦点，l 为 F 相应准线.过 F 作 FGl 于G，设 p 为 F 到 l 的距离， 为 到 的角.e 为离心率，则 PF 的长满足GPcos1eP推导还是比较简单的，这里以抛物线(抛物线的离心率 e1)为例如图，设 P 为抛物线 y22px (p0)上一点，F 为焦点， 为 PF 与 x 轴正方向(也就是)所成的角，过 P 作 PMx 轴于 M，PP 1准线 l 于 P1.则|FG |p(焦点到准线的距离GF是 p).|PP 1|PF|(抛物线定义)，|PP 1|GM |(垂直)所以|PF|GM |GF |FM |在 RtFMP
7、中，|FM|FP|cos，从而有|PF|p|PF |cos，化简后即可得到 cos1pPF当然，这只是 (0，)时的情况，其他情况通过分类讨论也是容易得到的 .焦点弦长公式由上面的公式，易知，若 为焦点弦，则 PF从而利用上面的焦点弦长公式，可得到2cos1cos1cs epepepP公式特点：这一公式刻画了焦点弦长与所在直线倾角之间的关系.焦点弦与第二定义圆锥曲线 C，F 为 C 的焦点，l 为 F 相应准线.交 x 轴于 M，弦 AB 过 F.如图，过 A，B 作 l 于 ， l 于 .设 e 为 C 的离心率AB此时，梯形 为直角梯形.AB所以，由第二定义：Fe从而MB所以 A由相似，我
8、们可以得到 MF 平分AMB .当然，利用梯形的几何性质，我们还可以得到更多的结论，有兴趣的同学可以去研究一下.这里只给出这一简单的几何性质，目的是提示同学们注意这一以焦点弦为一腰的直角梯形.不一定经过焦点的弦定 比 分 点 公 式韦 达 定 理椭 圆 与 双 曲 线抛物线(1)注意直线与抛物线联立的特点设抛物线 y22px (p0)与直线 l：myxt 交于 A，B 两点.l 交 x 轴于(t，0)直线方程 myxt(注意这样设直线的好处)与抛物线 y22px 联立后利用韦达定理可以得到 x1x2t 2，y 1y22pt这时 x1x2 和 y1y2 由 t 决定，注意 t 的几何意义(直线
9、myxn 与 x 轴交点的横坐标)若t 一定，则 x1x2 和 y1y2 为定值.(2)直线 AB 的方程可以直接利用 AB 的坐标表示.(利用两点式或点斜式设出直线方程代入 A，B 点坐标，注意 A，B 都在抛物线上，从而可以将直线方程化简)化简结果 AB： pxy2121四 综合问题圆锥曲线有关的最值，定值，参数的取值范围取值范围问题注意：根据已知条件利用韦达定理，将几何问题转化为解含参数的不等式问题或不等式恒成立问题.过定点，有定向问题：利用韦达定理，积累二级定理公式这里提供一个定理，有兴趣的同学可以自己证明并将其推广：设 P 为圆锥曲线上一点，过 P 作圆锥曲线的两条弦 PA，PB，交
10、圆锥曲线于 A，B 两点当 KPAK PB为定值或 KPAKPB为定值时，弦 AB 过定点或有定向.(同学们可以先证明这一定理在抛物线中的情况，然后尝试推广到椭圆和双曲线)在复习解析几何时希望同学们注意选择适合自己的复习策略.在练习时注意要多练多算，解题时一定要动笔算，不能想出思路后就过了.记住，运算出错是因为你算的不够多，该犯的错误还没有犯够，解析几何中尤其要注意练习运算能力.基础篇10 课标 (15)过点 A(4，1)的圆 C 与直线 yx 1 相切于点 B(2，1)，则圆 C 的方程为 232yx考点：直线与圆的方程规律方法：圆的几何性质 解析：设圆心坐标为 ，由圆的几何性质，CB 与直
11、线 yx1 垂直且交 yx1 于baC,B.同时，圆心在 AB 垂直平分线上，故圆心横坐标为 3，即 a3.CB 斜率 即2b，所以圆心坐标为 C(3，0). ，所以圆 的方程为0b 2BrCyx答案： 232yx(14)直线 与圆 相交于 、B 两点，则 _.582yxA考点：直线与圆的方程规律方法：圆的几何性质点到直线距离公式解析：圆心为(0，0)，半径为 2圆心到直线 的距离为05yx5210d故 22AB得|AB| 3答案： 210 广东12已知圆心在 轴上，半径为 的圆 位于 轴左侧，且与直线 相切，x5Oy02yx则圆 的方程是_O考点：直线与圆的方程规律方法：圆的几何性质，点到直
12、线的距离公式解析：设圆心为 ，则 ，解得 0,a5210ar5a答案： 52yx10 江西 8直线 与圆 相交于 M，N 两点，若3kxy42y，则 k 的取值范围是32MNA B0,4 ,043,C D3, ,2考点：直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，规律方法：数形结合的运用.， 解析：圆心的坐标为(3，2)，且圆与 y 轴相切.当 时，32MN利用垂径定理的图形，可得：弦心距 2半弦长 2r 2.从而可知弦心距 21 所以 0弦心距1再由点到直线距离公式，解得 ；0,43答案：A10 上海 3动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，则 的轨迹P,2F02xP方程为_考点：考查抛物线定
13、义及标准方程解析：定义知 的轨迹是以 为焦点的抛物线，p2 所以其方程为 y28x0,也可以利用距离公式求解， ，求得 y28x()xyx答案： xy8210 福建 2以抛物线 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )xy42A B0xy 02xyC D02xy 022xy考点：本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题解析：因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为 ，故所求圆的方程为 ，即 ，选 Dr12yx22yx答案：D10 陕西 8已知抛物线 的准线与圆 相切，02p0762则 的值为pA B1 C2 D412考点：本题考查抛物线的
14、相关几何性质及直线与圆的位置关系解析：抛物线 y22px (p0)的准线方程为 ，因为抛物线 y22px(p0)的准px线与圆(x3) 2y 216 相切，所以 ，423答案：C10 北京 13已知双曲线 的离心率为 2，焦点与椭圆 的焦点相12byax 1925yx同，那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_.考点：椭圆与双曲线焦点坐标的求法以及双曲线的渐近线解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为 ，又双曲线离心率为 2，即0,4， ，故 ， ，渐近线为2ac42a3bxaby3答案： ，0,xy10 全国 II (12)已知椭圆 ： 的离心率为 ，过右焦点C12bya023且斜率为 的直
15、线与 相交于 、 两点若 ，则F0kABFB3kA1 B C D22考点：本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.解析：设直线 l 为椭圆的有准线， e 为离心率，过 A，B 分别作 AA1，BB 1 垂直于l，A 1，B 为垂足，过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E，由第二定义得， ，eAF，由 ，得 ，所以|AB|4|BF|eF1A3eFA31 ， ，213cos4BFAEeB36sinBAE2tan即 ，故选 B. （将 AB 念成 AE）k答案：B10 全国 II (15)已知抛物线 ： 的准线为 ，过 且斜率为Cpxy20l0,1M的直线与 相交于点 ， 与 的一个交点为 若 ，则
16、_3lAlBAp考点：本题主要考查抛物线的定义与性质.解析：过 B 作 BE 垂直于准线 于 E， ，M 为中点，l ，又斜率为 ，AM213， ， ，M 为抛物线的焦点， 2.30E21Bp本题亦可以利用定比分点公式，设出 A，B 坐标 ， .0,2yp02,yB利用题目条件可列出方程 ， 即可求得结果 p=2.20py310答案：210 课标 (12)已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过 的直线 与 相E0,3FEFlE交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 ，则 的方程式为15,2NA B1632yx 142yxC D2 52考点：利用点差法处理弦中点与斜率问题解析：设双曲线方程为
17、 ，即 ， ，12byax22bayx1,yxA2,B由 ， 得212bayxb22bayx0212121 xyyax又中点 ， ， 即 ，5,N350FNABk 0554ab92ab所以 ， ，选 B42b答案：B10 浙江 (8)设 、 分别为双曲线 的左、右焦点.若在双1F2 12byax0,b曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，P21F1PF则该双曲线的渐近线方程为A B C D043yx053yx034yx045yx考点： 本题主要考察三角形与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系
18、， ，21PFc，过 做 垂直于直线 ，垂足为 E， =2a，根据等腰三角形12PFa2FE1PF性质，E 为 中点。然后利用勾股定理，解得 ，得出 a 与 b 之间的等量关系，可1 53c知答案选 C答案：C 10 浙江 (13)设抛物线 的焦点为 ，点 .若线段 的中点02pxyF2,0AF在抛物线上，则 到该抛物线准线的距离为_BB考点：抛物线的定义及几何性质解析：利用抛物线的定义结合题设条件，设 F 的坐标为 ，B 点坐标为 ，(,0)2p(,1)4p带入抛物线方程，可得出 的值为 ，B 点坐标为 所以点 B 到抛物线准线的距p21,4离为 ，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易
19、题243答案：提高篇1设 A ，B 是平面直角坐标系 xOy 上的两点，先定义由点 A 到点 B 的一1,yx2,种折线距离 p(A，B)为 .P1212yx对于平面 上给定的不同的两点 A ，BxOy,2,x(1)若点 是平面 上的点，试证明 ；C,xyBApCP,(2)在平面 上是否存在点 ，同时满足xyC, BAPAP,B,若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明考点：直线性质和绝对值不等式规律方法：分类讨论去绝对值负号解析：(1)由绝对值不等式知， yyxxBCPA2121,Ayx,212当且仅当 且 时等号成立.21y(2)当点 C(x，y)在以 AB 为对角线，边分
20、别与 x，y 轴平行的长方形区域内，则满足 ，BAPAP,对 分类讨论不妨设 ，21当 时21y22211 yxyxyxx 即有 从而 C 点轨迹为过 AB 中点且斜率为 1 的线段.2y当 时21yxyxyxyx 2221111即有 从而 C 点轨迹为过 AB 中点且斜率为1 的线段.2当 或 时，C 点的轨迹为线段 AB 的中点.21x1y2.（10 福建 17）已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2，3)，且点 F(2，0)为其右焦点(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在平行于 OA 的直线 ，使得直线 与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与 的距ll l离等于 4？若存在
21、，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由考点：本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，规律方法：函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想解析： ，从而有 ，解得 ，0,2F8532AFac42ac又 ，所以 ，故椭圆 的方程为 22cba1bC126yx(2)假设存在符合题意的直线 ，其方程为 ，lty3由 得 ，1263yxt 01232tx因为直线 与椭圆有公共点，所以有 ，l 012342tt解得 ，34t另一方面，由直线 与 的距离 4 可得： ，从而 ，OAl 419t132t所以直线不存在。3 （10 广东 20 ）已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，
22、 ，点 ，12yx1A21,yxP是双曲线上不同的两个动点1,yxQ(1)求直线 与 交点的轨迹 的方程；PAQ2E(2)若过点 的两直线 和 与轨迹 都只有一个交点，且 求 的hH,011l2 21lh值考点：主要考察直线、椭圆，双曲线等知识解析：(1)由 ， 为双曲线的左右顶点知， ， 1A2 0,21A,2： ， ： ，两式相乘得P101xyQ21xy，而点 在双曲线上，所以 ，即221xy1,P121y21xy故 ，即 222yx也可以这样解：由 知 ，即222yx212PAkxy从而 E 的方程为21212121 PAQAPEAk 12yx(2)设 ： ，则由 知， ： lhxylh
23、ky将 ： 代入 得1lk12y，即 ，22hx0242hkx由 与 E 只有一个交点知， ，即 1l 162 21hk同理，由 与 E 只有一个交点知， ，消去 得 ，即 ，2 2hk22从而 ，即 3khh也可以这样解：利用几何性质，由图形可知：l 1l 2， l1，l 2 与 E 轨迹相切，且过点 H.利用图形的对称性，我们可知 l1，l 2 关于 y 轴对称.从而 l1 的斜率 k1.y (0， )时2E 的方程为2xy求导后，令 1，可得到切点横坐标 .从而可以得到 l1 的方程 yx23，H 坐标为 .3xy3,0h(20)设 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过 斜率为 11F2
24、E12byax01F的直线 与 相交于 ， 两点，且 ， ， 成等差数列iEABAFB2(1)求 的离心率；(2)设点 满足 ，求 的方程1,0pPE考点：本题主要考察直线、椭圆，双曲线等知识解析：(I)由椭圆定义知 ，又 ，aABF4222BFA得 aAB34的方程为 ，其中 lcxy2ba设 ， ，则 A、B 两点坐标满足方程组1,2,2byaxc化简的 022bcax则 ，221bacx21因为直线 AB 斜率为 1，所以 2121124xxxAB得 故243ba2所以 E 的离心率2abce(II)设 AB 的中点为 ，由(I)知0,yxN， cbax32221030cx由 ，得 ，P
25、BA1PNk即 10xy得 ，从而 ，3c2a3b故椭圆 E 的方程为 198yx法二(1)利用题目所给的条件，得到焦点弦长. 利用焦半径公式aAB34其中 为倾角或其补角， 为焦点到准线的距离 .cosepAFp2cos1cos1eeB代入 得到 其中 ，cap2 ap3421tnk2cos从而可得 所以 .223e下证焦点弦长公式：过 A 作 左准线 l 于 准线交 x 轴于 K.过 A 作 AMx 轴于 AM，从而有| |KF 1|F 1M|，即 e|F1A|p|AF 1|cos，整理得cosepAF推导还是比较简单的，这里以抛物线(抛物线的离心率 e1)(2)由|PA|PB |可知 P
26、 点在 AB 垂直平分线上，与中点相关，利用点差法及A(x1，y 1)，B (x2，y 2)AB 中点 N(x0，y 0)与 AB 斜率的关系将 A，B 坐标代入椭圆方程，代入 A，B 坐标后得到二等式：21ba2yx0二式相减，得02121byax利用平方差公式，化简后得到等式：2121yxxy从而有 02bakABAB 中垂线方程我们可以写为 ，N(x 0，y 0)满足 x0y 01.且由(1)问知 ey1所以212ba所以 ，即 N(2，1)所以 AB： .所以 a ，b3c，0xy 21xy2故椭圆 E 的方程为 9182y4.（10 全国 I ）(21)已知抛物线 ： 的焦点为 F，
27、过点 的直线 与Cxy420,1Kl相交于 、 两点，点 A 关于 轴的对称点为 D.CBx()证明：点 F 在直线 BD 上；()设 ，求 的内切圆 M 的方程 .98K考点：本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，规律方法：综合运用数学知识进行推理论证，同时运用数形结合思想、设而不求思想.解析：设 ， ， ， 的方程为 .1,yxA2,B1,yxDl1myx0()设 代入 并整理得m4，042y从而 ， 2121y直线 的方程为BD212xxyy即 4212yy令 ，得 0
28、x所以点 在直线 上,FBD()由知，2412121 mymxy因为 ，1,xFA2,yxFB 21221 48mxB 故 ，984m解得 3所以 的方程为l，04yx034yx又由知 734212 m故直线 BD 的斜率 ，712y因而直线 BD 的方程为 ， 03x037yx因为 KF 为 的平分线，故可设圆心 ， 到 及 BD 的BKD,tM1t,tl距离分别为 ， .513t4t由 得 ，或 (舍去)，tt9t故 圆 M 的半径 .3251tr所以圆 M 的方程为 .9412yx注意：求平分线的其他的思路：求出方向向量即可.再利用 B 坐标亦可求出过 B 的平分线方程，这一直线与 x
29、轴焦点即为圆心.同时本题中第一问有一推论：对于圆锥曲线 C，F为焦点，l 为 F 的准线，直线 m 交 l 于 M，交 c 于 A，B，则 FM 平分AFB 或其外角.10 安徽 19(本小题满分 13 分)已知椭圆 经过点 ，对称轴为坐标轴，焦点 ， 在 轴上，离心E3,2A1F2x率 21e()求椭圆 的方程；E()求 的角平分线所在直线 的方程；21AFl()在椭圆 上是否存在关于直线 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由考点：本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识规律方法：解析几何的基本
30、思想即代数解法和几何解法，代数解法要提高运算能力。解析：()设椭圆 的方程为 ，E12byax由 ，即 ， ，得 21eacc23c椭圆方程具有形式 .1342yx将 代入上式，得 ，解得 ，3,2A2c2c椭圆 的方程为 E162yx()解法 1：由()知 ， ，所以0,1F,2直线 的方程为： ，即 直线 的方程为：1AF243xy064y2AF2x由点 在椭圆 上的位置知，直线 的斜率为正数El设 为 上任一点，则yP,l25643xx若 ，得 (因其斜率为负，舍去)10y08yx于是，由 得 ，5643x12所以直线 的方程为： lyx解法 2：， ， ， ， 3,A0,1F,23,41AF3,02AF,5,03,4521， ，即 kl1xy012y()解法 1：假设存在这样的两个不同的点 和 ，1,B2,xC， lBC212xykBC设 的中点为 ，则 ， ，0,M210x210y由于 在 上，故 lyx又 ， 在椭圆上，所以有 与 BC1261126yx两式相减，得 ，即 016122yx02111 y将该式写为 ，并将直线 的斜率 和线段262812xBCBCk的中点表示代入该表达式中，得 ，即 BC080y0230yx由得 ， 即 BC 中点仅可能为 A.从而满足条件的 B，C 不存在.20x30y
