1、第四章 向量代数与空间解析几何 页第一节 向量代数一、空间直角坐标系二、向量概念 + + 坐标aixjykzzyx,模 方向角22,方向余弦 cos,cos ； ； 22zyx22zyxcos22zyx三、向量运算设 ； ； a1, b2,xc3,1 加（减）法 a211, zy2 数 乘 1,zyx3 数量积（点乘）（）定义 =abba,cos（）坐标公式 = + +21xy21z（）重要应用 =0ab4 向量积（叉乘）（）定义 abba,sin与 和 皆垂直，且 ， ， 构成右手系 （）坐标公式 =ab2211zyxkji（）重要应用 = ， 共线0ab5、混合积 （）定义 （ ， ， ）
2、（ ）cabc第四章 向量代数与空间解析几何 页（）坐标公式（ ， ， ）=abc332211zyx（） 表示以 ， ， 为棱的平行六面体的体积c,例 1、点 P 到过 A，B 的直线之间的距离d 例 2、点 P 到 A,B,C 所在平面的距离d ACB,因为四面体 PABC 的体积 V ABCSd31而 ，则 VABCS21P,6例 3、过点 A，B 与过点 C，D 的异面直线之间的距离d ,因为 ，DC则 d 平 行 四 边 形 面 积平 行 六 面 体 体 积第四章 向量代数与空间解析几何 页第二节 平面与直线（甲） 内容要点一、 空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。（1 ）已知
3、曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，（2 ）已知坐标 x，y 和 z 间的一个方程（组） ，研究这方程（组）所表示的曲面（线） 。2 距离公式 空间两点 与 间的距离 d 为1,A2,zyxB2112zd3 定比分点公式 是 AB 的分点： ,点 A,B 的坐标为 ， ，zyxM, MA1,zyxA2,zyxB则， ，1212y12z当 M 为中点时， ，21x21y21z二、平面及其方程1 法（线）向量，法（线）方向数。与平面 垂直的非零向量，称为平面 的法向量，通常记成 。法向量 的坐标称为法（线）npnm,方向数。对于给定的平面 ，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有
4、两个。2 点法式方程 已知平面 过 点，其法向量 A,B,C,则平面 的方程为0,zyxM00 CBA或 nr其中 00,xyzrxyz3 一般式方程DCBA其中 A, B, C 不全为零. x, y, z 前的系数表示 的法线方向数， A,B,C 是 的法向量n特别情形：，表示通过原点的平面0yx，平行于 z 轴的平面DBA，平行 平面的平面xyOx0 表示 平面。z第四章 向量代数与空间解析几何 页4 三点式方程 设 , , 三点不在一条直线上。则通过 A,B,C 的平1,zyxA2zyxB3,zyxC面方程为 0132132132 zyx5 平面束 设直线 L 的一般式方程为 ，则通过
5、L 的所有平面方程为 02211DzCyBxA 1K+ ，其中11DzCyBxA2K0,21k6 有关平面的问题两平面为 ：1011zyx：222与 间夹角12 221211cos CBACBA垂直条件 022平行条件 212121DBA重合条件 2121C设平面 的方程为 ，而点 为平面 外的一点，则 M 到平面 的0DCzByAx1,zyxM距离 d：2211zd三 直线及其方程1 方向向量、方向数与直线平行的非零向量 ，称为直线 L 的方向向量,方向向量的坐标称为方向数。S2 直线的标准方程（对称式方程）其中 为直线上的点， 为直线的方向数。nzmylx0000,zyxnml,3 参数式
6、方程ntzmylt0第四章 向量代数与空间解析几何 页4 两点式设 , 为不同的两点，则通过 A 和 B 的直线方程为1,zyxA2,zyxB1212125 一般式方程（作为两平面的交线） 12,SABC6 有关直线的问题两直线为 :1L11nzmylx:2 22l间 夹 角与 21l 221211cos nmlnll垂直条件 022平行条件 2121nl四、平面与直线相互关系平面 的方程为：0DCzByAx直线 L 的方程为： nzml0L 与 间夹角 222sinnmlCBAlL 与 垂直条件 lL 与 平行条件 0nlL 与 重合条件 CBmAL 上有一点在 上02211DzCyBxA第
7、四章 向量代数与空间解析几何 页（乙） 典型例题例 1求通过 和直线 的平面方程。2,10M051:zyxl解 通过 的所有平面的方程为 l 0521 zyxKK其中 为任意实数，且不同时为 0。 今把 代上上面形式的方程得21,K,10M52,202121K由于方程允许乘或除一个不为 0 的常数，故取 ,得 ，代入方程得1252zyxzyx即 4xy z 30 它就是既通过点 又通过直线 的平面方程。0Ml例 2 求过直线 且切于球面 的平面2zyx 122zyx解 过所给直线除平面 外的其它所有平面方程为0即 式子一3zyxzyx03212zyx球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径
8、于是 121202得 3669代入 式子一 得两个所求的平面第四章 向量代数与空间解析几何 页第三节 曲面与空间曲线（甲） 内容要点一、曲面方程1、一般方程 0,zyxF2、参数方程 vuz,平 面 区 域D,二、空间曲线方程1、一般方程 0,21zyxF2、参数方程 tztt三、常见的曲面方程1、球面方程设 是球心，R 是半径， P（x，y ，z ）是球面上任意一点，则 ,即00,zyxP 0PR。2022 Rz2. 旋转曲面的方程（）设 L 是 平面上一条曲线，其方程是 xOz .0,yzxfL 绕 z 轴旋转得到旋转曲面，设 P（x，y，z）是旋转面上任一点，由点 00,xP旋转而来（点
9、 是圆心）.zM,由 20 0,xxyz得旋转面方程是 ;,2f（）求空间曲线 绕 z 轴一周得旋转曲面的方程0,21zyxF第一步：从上面联立方程解出 gyf,第二步：旋转曲面方程为 zx222绕 y 轴一周或绕 x 轴一周的旋转曲面方程类似地处理第四章 向量代数与空间解析几何 页3、二次曲面曲面名称 方 程 曲面名称 方 程椭球面 122czbyax旋转抛物面 )0(2pzypx椭圆抛物面 )0,(qpzp双曲抛物面 ),(q单叶双曲面 122czbyax双叶双曲面 122czbyax二次锥面 022椭圆柱面 2双曲柱面 12byax抛物柱面 (0)xyp四、空间曲线在坐标平面上的投影曲线
10、 C 的方程 曲线 C 在 平面上的投影0,zyxGFxy先从曲线 C 的方程中消去 Z 得到 ，它表示曲线 C 为准线，母线平行于 Z 轴的柱面方程，那,H么 就是 C 在 平面上的投影曲线方程。0,zyxHxy（乙）典型例题例 1、求以点 A（0，0，1）为顶点，以椭圆 为准线的锥面方程。,31925zyx解 过椭圆上任一点 P 的母线方程为0,zyx因为点 在椭圆上，所以 。而 t ，将其ttztyx2110 0,zyx 19252tyx2z代入椭圆方程，得锥面的方程为 。419522例 2、求旋转抛物面 与平面 =1 的交线在 平面上投影方程2yxzzxy第四章 向量代数与空间解析几何
11、 页解 从曲线方程 中消去 z ，得曲线向 平面得投影柱面方程 。于是曲12zyxxy12yx线在 平面商得投影曲线的方程为x045212zx例 3、求直线 L： 在三个坐标面上的投影；tzytx321解 在三个坐标面上的投影分别为在 平面上： 在 平面 在 平面上xy01ztyxxztyt3201yztx320例 4、求直线 L： 在平面 上的投影直线 的方程，并求 绕 y 11:z0L0L轴一周所成曲面的方程。解：过 L 作垂直于 的平面 的法向量 *, kjikjiln2312* 故 的方程为 投影直线 的方程为*0123zyx0L03zyx从（1）+（2 ）得 2x4y 0从（1）（2 ）得 2y+4z20 这样得到 的另一个方程为0 12yz于是 绕 y 轴一周所得曲面方程为0L22214zx即 0174yzy
